Transcript 発表スライド

ベルヌーイ数と冪乗和の公式
大阪大学
@s.t.fake
ベルヌーイ数の定義
ベルヌーイ数
を
次のように逐次的に定義する。
ここで、
は2項係数である。すなわち
ベルヌーイ数の計算
まず
から確かめてみよう。
の時はこうである。
ベルヌーイ数の計算
ある程度表にまとめると、こうなる。
お気づきだろうか、そう。奇数番目では（1以外
すべて0になるのである。（証明可
これは重要なことなのだがここでは置いておく。
冪乗和の公式
先のベルヌーイ数を使うと、冪乗和の公式
が記述できる。
Thm：冪乗和の公式
ただし
ほんとに正しいの？
では実際計算してみよう。
1から100までの和を求めてみる。
証明
のとき
とする。2項展開の式
において
に 1～
をそれぞれ代入して辺々加えると
証明
したがって
ここで、
のとき
帰納的に
が
多項式だとわかる。
で始まる
証明
以降
とおいて、多項式として話をすすめる。
が、すべての自然数について成り立つので
を代入して
証明
よって
これは
の定数項＝0を示している。
次に他の係数を見ていこう。微分して
を代入すれば1次、2次…と求まっていく。
微分する式 ：
証明
先の両辺を微分する。
を代入して辺々加えると
ここで、
とおく。
証明
先の式を整理すると
よって
とおいて
以下繰り返し。
証明
微分元の式に代入して
証明
またこの時
従って
ゆえに
はベルヌーイ数
である。
証明
またここで
に注意すると、
Q.E.D.
おまけ
ベルヌーイ数は次のように求めることができる。
参考文献
「ベルヌーイ数とゼータ関数」
荒川恒男・伊吹山知義・金子昌信 著
牧野書店 出版
以上