Transcript 母集団比率の仮説検定
母集団比率の検定
1.母集団比率の両側検定
2.母集団比率の片側検定
3. 母集団比率の差の検定
①母平均Pに関する仮説の設定
両側検定
H 0 : p p 0 vs H 1 : p p 0
右片側検定 H 0 : p p 0 vs H 1 : p p 0
左片側検定 H 0 : p p 0 vs
H 1 : p p0
標本nが大きいとき、検定統計量が近似
的にN(0,1)に従う。
②母集団比率検定の手順
H 0 の下で、母比率に対する検定統計量は
Z0
pˆ p 0
p 0 (1 p 0 )
n
となり、近似的に標準正規分布N(0,1)に従う
③母集団比率検定の手順
有意水準 を与えると、棄却域を決める。
両側検定の臨界値:
P (| Z 0 | c ) 1
(c ) 1
2
c z / 2
片側検定の臨界値:
P (Z 0 c) 1
(c ) 1
c z
④仮説を検定する
両側検定:
|Z
0
| c
| Z 0 | c
のとき、 H 0 を棄却する
のとき、 H 0 を棄却しない
④仮説を検定する
右片側検定:
Z 0 c のとき、 H 0 を棄却する
Z 0 c のとき、 H 0 を棄却しない
左片側検定:
Z 0 c のとき、H 0 を棄却する
のとき、H 0 を棄却しない
Z 0 c
右片側検定
H 0 : p p 0 vs H 1 : p p 0
臨界値
採択域
-3.0
-2.0
-1.0
1
0.0
1.0
2.0
棄却域
3.0
左片側検定
H 0 : p p 0 vs H 1 : p p 0
臨界値
1
-3.0
-2.0
棄却域
採択域
-1.0
0.0
1.0
2.0
3.0
練習問題
ある新薬のアレルギー症状に80%効果が
あると宣伝されている。いま、この新薬を
250人の患者に投与したところ、188人に
効果があった。この宣伝は正しいといえる
であろうか(有意水準5%で検定してみよ
う)。
母集団比率の差の検定
2つの母集団比率 p 1 p 2 となっているかをそれ
ぞれ母集団からとった標本の n 1 の標本比率 pˆ 1
および標本 n 2 の標本比率 pˆ 2 を用いて検定する。
x1
n1
x2
n2
pˆ 1 pˆ 2
は n 1 および n 2 が大きければ、次の平均と分散を
もって近似的に正規分布をする。
p1 p 2
(1)
2
p 1 (1 p 1 )
n1
p 2 (1 p 2 )
(2)
n2
①仮説の設定
両側検定 H 0 : p1 p 2 ( p ) vs H : p p
1
1
2
右片側検定 H 0 : p1 p 2 ( p ) vs H : p p
1
1
2
左片側検定 H 0 : p1 p 2 ( p ) vs H : p p
1
1
2
②検定統計量
H 0 が正しいとき、 pˆ 1
pˆ 2
の分布は式(1)と
(2)で p , p の代わりに p の値を代入し
(3)
0
1
2
p (1 p )(
1
n1
検定統計量
Z
1
(4)
)
n2
pˆ 1 pˆ 2
p (1 p )(
1
n1
1
n2
(5)
)
②検定統計量
(5)では母集団比率 p が不明なので、そのまま
計算できない。そこで標本比率をプールした値で
代用する。
p
*
x1 x 2
(6)
n1 n 2
H 0 のもとで検定統計量は
pˆ 1 pˆ 2
Z0
p (1 p )(
*
*
1
n1
1
n2
)
(7)
③ αを与えて、臨界値を決める
pˆ 1 pˆ 2
Z0
p (1 p )(
*
*
1
n1
1
(7)
)
n2
(7)が標準正規分布N(0,1) に従い、
有意水準αを与えて、臨界値を決める。
④ 仮説を検定する
両側検定
| Z 0 | c
| Z 0 | c
のとき、H 0 を棄却する
のとき、H 0 を棄却しない
右片側検定
Z 0 c のとき、 H 0 を棄却する
Z 0 c のとき H 0 を棄却しない
左片側検定
Z 0 c
のとき、 H を棄却する
0
Z 0 c のとき H 0 を棄却しない
練習問題:p172,例題6
解説:
① H o : p 1 p 2 vs
あるいは
H 0 : p1 p 2 0
H 1 : p1 p 2
vs
H 1 : p1 p 2 0