Transcript 母集団比率の仮説検定

母集団比率の検定
１．母集団比率の両側検定
２．母集団比率の片側検定
3. 母集団比率の差の検定
①母平均Pに関する仮説の設定
両側検定
H 0 : p  p 0 vs H 1 : p  p 0
右片側検定 H 0 : p  p 0 vs H 1 : p  p 0
左片側検定 H 0 : p  p 0 vs
H 1 : p  p0
標本nが大きいとき、検定統計量が近似
的にN(0,1)に従う。
②母集団比率検定の手順
H 0 の下で、母比率に対する検定統計量は
Z0 
pˆ  p 0
p 0 (1  p 0 )
n
となり、近似的に標準正規分布N(0,1)に従う
③母集団比率検定の手順
有意水準  を与えると、棄却域を決める。
両側検定の臨界値：
P (| Z 0 | c )  1  
 (c )  1 

2
c  z / 2
片側検定の臨界値：
P (Z 0  c)  1  
 (c )  1  
c  z
④仮説を検定する
両側検定：
|Z
0
| c
| Z 0 | c
のとき、 H 0 を棄却する
のとき、 H 0 を棄却しない
④仮説を検定する
右片側検定：
Z 0  c のとき、 H 0 を棄却する
Z 0  c のとき、 H 0 を棄却しない
左片側検定：
Z 0   c のとき、H 0 を棄却する
のとき、H 0 を棄却しない
Z 0  c
右片側検定
H 0 : p  p 0 vs H 1 : p  p 0
臨界値
採択域
-3.0
-2.0
-1.0
1
0.0

1.0
2.0
棄却域
3.0
左片側検定
H 0 : p  p 0 vs H 1 : p  p 0
臨界値
1

-3.0
-2.0
棄却域
採択域
-1.0
0.0
1.0
2.0
3.0
練習問題
ある新薬のアレルギー症状に80％効果が
あると宣伝されている。いま、この新薬を
250人の患者に投与したところ、188人に
効果があった。この宣伝は正しいといえる
であろうか（有意水準5％で検定してみよ
う）。
母集団比率の差の検定
2つの母集団比率 p 1  p 2 となっているかをそれ
ぞれ母集団からとった標本の n 1 の標本比率 pˆ 1
および標本 n 2 の標本比率 pˆ 2 を用いて検定する。
x1
n1

x2
n2
 pˆ 1  pˆ 2
は n 1 および n 2 が大きければ、次の平均と分散を
もって近似的に正規分布をする。
  p1  p 2
（１）

2

p 1 (1  p 1 )
n1

p 2 (1  p 2 )
（2）
n2
①仮説の設定
両側検定 H 0 : p1  p 2 (  p ) vs H : p  p
1
1
2
右片側検定 H 0 : p1  p 2 (  p ) vs H : p  p
1
1
2
左片側検定 H 0 : p1  p 2 (  p ) vs H : p  p
1
1
2
②検定統計量
H 0 が正しいとき、 pˆ 1
 pˆ 2
の分布は式（1)と
(２)で p , p の代わりに p の値を代入し
（3）
  0
1
 
2
p (1  p )(
1
n1
検定統計量
Z 

1
（4）
)
n2
pˆ 1  pˆ 2
p (1  p )(
1
n1

1
n2
（5）
)
②検定統計量
（5）では母集団比率 p が不明なので、そのまま
計算できない。そこで標本比率をプールした値で
代用する。
p 
*
x1  x 2
（6）
n1  n 2
H 0 のもとで検定統計量は
pˆ 1  pˆ 2
Z0 
p (1  p )(
*
*
1
n1

1
n2
)
（7）
③ αを与えて、臨界値を決める
pˆ 1  pˆ 2
Z0 
p (1  p )(
*
*
1
n1

1
（７）
)
n2
（７）が標準正規分布N(0,1) に従い、
有意水準αを与えて、臨界値を決める。
④ 仮説を検定する
両側検定
| Z 0 | c
| Z 0 | c
のとき、H 0 を棄却する
のとき、H 0 を棄却しない
右片側検定
Z 0  c のとき、 H 0 を棄却する
Z 0  c のとき H 0 を棄却しない
左片側検定
Z 0  c
のとき、 H を棄却する
0
Z 0   c のとき H 0 を棄却しない
練習問題：p172,例題6
解説：
① H o : p 1  p 2 vs
あるいは
H 0 : p1  p 2  0
H 1 : p1  p 2
vs
H 1 : p1  p 2  0