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線形代数学
1
履修にあたって
2007年度１セメスタ開講
電子情報システム学科 必修
時間割：水曜3時限（12:50-14:20）
講義室：K101(AVホール）
担当
草苅良至 （電子情報システム学科）
教員室：G I 511
（オフィスアワー、水曜日１時限）
内線：2095
e-mail:[email protected]
質問は上記のいずれかに行なうこと。
注意 計算用のノートを準備すること。
2
教科書等
教科書：
「やさしく学べる線形代数」
石村園子著 共立出版社 2000円
参考書：
「テキスト 線形代数」
小寺平治著 共立出版社 2000円
「プログラミングのための線形代数」
平岡和幸、堀玄 共著、オーム社 3000円
「線形代数とその応用」
G・ストラング著 産業図書 4200円
演習書：
「演習と応用 線形代数」
寺田文行・木村宣昭著
サイエンス社 1700円
3
線形代数学とは、
○線形代数学とは、簡単にいうと
「行列」や「ベクトル」
を扱う数学です。
○高校の数学Cで扱った行列を、
より一般的に拡張したものを扱います。
4
数学Cの復習
数学Cでは主に２×２の行列を扱っているはずです。
ここでは、復習もかねてそれらを順に振り返ります。
○慣用的な行列の表現
0

3
a
A
c
2 

1
1

x
2

5
b

d
p
Β 
r
q

s
行列を表す変数には、
太大英文字を用います。
5
行列の相等
行列A,Bが同じ型で対応する成分が等しいとき、
行列Aと行列Bは「等しい」といいます。
記号では以下のように書きます。
a

c
b  p

d r
q

s
2 1

4 3
2

4
a  p,

 c  r,

bq
d s
例
1

3
1

3
2 1

4 3
2

5
6
例題
次の等式が成り立つように、 x , y , u , v
の値を定めよ。
x y

 u 1
解
x  y 1

2v   2
3

4
行列の相等の定義より、
 x  y  1,

 u  1  2,
x y 3
2v  4
が成り立つ。よって、
x  2, y  1, u  1, v  2
7
練習
次の等式が成り立つように、
の値を定めよ。
（１）  2

x
（２）
6   u

2 y   3
3
A
x
7

y
x, y, u , v
3v 

12 
u
B 
2
v

0
とする。
A= B
8
行列の加法
同じ型の行列A,Bについて、対応する成分の和を成分とする
行列を、
AとBの和といい、
A+ B
と表す。
記号では以下のように書きます。
a

c
b  p

d r
q a  p

s  cr
bq

d  s
9
例題
次の計算をせよ。
 1

 3
解
2   4

6   2
3 

1
行列の和の定義より、
 1

 3
2   4

6   2
3 

1
 1  (  4)

 3  2
 3

 1
2  3 

6  (  1) 
1

5
10
練習
次の計算をせよ。
（１）
 2

 1
4 1

3 2
2 

3 
（２）
6

0
5   4

4   3
1

8
5

1
2   2

8   4
9

0
（３）
11
加法逆元(－A)
行列Aに対して、Aの各成分の符号を反転させた
行列を
－A
で表す。
（なお、この行列－Aは、加法に関するAの逆元
（加法逆元）とも呼ばれる。）
a
A
c
b

d
のとき、
 a
A  
 c
b 

d 
12
零行列
すべての成分が0である行列を零行列といい、
O
で表す。
0
O 
0
0

0
13
例題
 3
A
 1
（１）
解
（１）
2

0
A
 3
A  
 1
（３） A  (  A )
に対して、次の行列を求めよ。
（２）  ( 
（２）
2 

0 
 3

 1
0

0
A)
（３）
 ( A)
A  ( A)
 3
 
 1
 3

 1
2   3

0  1
2 

0 
2 

0 
2

0
 A
0

0
O
14
練習
4
A
3
（１）
に対して、次の行列を求めよ。
A
（２）  ( 
（３）
2 

x 
A)
A  ( A)
15
加法についての性質
同じ型の行列の加法について、
次ぎのことが成り立つ。
A+ B = B+ A
１．交換法則
２．結合法則 (A + B ) + C = A + (B + C )
３．零行列と、加法逆元の存在。
A + O = A,
O + A = A,
A + (-A ) = O , (-A ) + A = O
16
行列の差
同じ型の行列AとBに対して
A  ( B )
を、
AとBの差といい
AB
と書く。記号で表すと次のようになる。
a

c
b  p

d r
q a  p

s  cr
bq

d  s
17
練習
次の計算をせよ。
（１）
 2

 1
4 1

3 2
2 

3 
（２）
6

0
5   4

4   3
1

8
5

1
2   2

8   4
9

0
（３）
18
行列の実数倍（スカラー倍）
実数 k に対して、行列 A の各成分を k 倍する行列を
kA
と書く。記号では次のように書く。
a
k
c
b   ka

d   kc
kb 

kd 
また、実数倍の定義から、次ぎの性質が成り立つ。
1Α  A,
(  1) Α   A ,
0A  O,
kO  O
19
例題
 1
A
 4
（１）
解
（１）
2

5
（２） (  2) A
3A
 1
3A  3
 4
に対して、次の行列を求めよ。
2   3  (  1)

5   3 4
3  2   3

3  5   12
6 

15 
（２）
 1
(  2) A  (  2) 
 4
2   (  2)  (  1)

5   (  2)  4
(  2)  2   2

(  2)  5    8
4 

 10 
20
練習
 1
A
 2
6 
,
5 
 1
B 
 3
2
,
5
k  2, l   3
とする。
次の行列を求めよ。
（１）
kA
（３）
kB
（２）
lA
（４）
lB
21
実数倍についての性質
行列の実数倍について、次ぎのことが成り立つ。
ここで、 A , B は同じ型の行列で、k , l は実数である。
１． ( kl ) A  k ( l A )
２． ( k  l ) A  k A  l A
３． k ( A  B )  k A  k B
22
練習
 2
A
 1
3
,
4
1
B 
2
2 
,
3 
 5
C 
 3
1

1
とする。
次の行列を求めよ。
（１） 2 A  3 C
（３） 2( A  B )  A
（２） 2 A  3 B  4 C
（４） 2(3 A  B )  2 B  C
23
ベクトル
ベクトル
x 成分、y 成分を並べた ( x , y ) のように、
複数の成分を並べたもの。
成分が n 個のベクトルは、
1  n あるいは、 n  1 の行列とみなせる。
1  n のとき、行ベクトル
n  1 のとき、列ベクトルとよぶ。
 2
3
a  a
行ベクトル
b
3
 
2
 x
x  
 y
列ベクトル
24
ベクトルと行列の積
a
A
c
b
 x
, x   ,
d
 y
p
p
q
とする。
行列と列ベクトルの積
a
Ax  
c
b   x   ax  by 
   

d   y   cx  dy 
行ベクトルと行列の積
pA   p
a
q
c
b
   pa  qc
d
pb  qd 
25
行列と連立方程式
行列とベクトルを用いて連立方程式を表現できる。
次のような連立方程式
 ax  by

 cx  dy
 p
q
・・・①
は、
a

c
b  x   p
    
d  y  q 
・・・②
と書く事ができる。
a
A
c
b
,
d
Ax = p
 x
x   ,
 y
 p
p 
q
とおくと、
・・・③
とも書ける。
①、②、③は、同じ連立方程式の異なる表現。
26
1次方程式と２元連立１次方程式
一次方程式
未知数
5x  3
既知の値
既知の値
2元連立１次方程式
2 x  3 y

 x  5 y
 2

 1
 2
A
 1
成分全て
既知の値
3
7
3 x   3
    
5 y  7
3
 x
3
x   , p   
,
7
 y
5
Ax = p
成分全て
未知数
として、
成分全て
既知の値
27
2組の式から行列の積へ
次のような２組の式を考える。
 ax  by

 cx  dy
s
t
・・・①
 es  ft

 gs  ht
u
v
・・・②
このとき、 u,v を s,t を用いずに、x,y で表す。
①の s,t を、②に代入する。
u

v
 ( ea  fc ) x  ( eb  fd ) y
 ( ga  hc) x  ( gb  hd ) y
・・・③
これを行列の表現で調べてみる。
28
s a
 
t c
b  x 
 
d  y
・・・①’
u
 ea  fc
   
v
 ga  hc
u  e
 
v g
eb  fd   x 
 
gb  hd   y 
f  s
 
h  t 
・・・②’
・・・③’
と、表現できる。
ここで、①’と②’から形式的に、次のような
表現を書いてみる。
u  e
 
v g
f a

h  c
b  x
 
d  y
・・・③’’
このことより、
 e

g
f a

h  c
b
 ea  fc



d 
 ga  hc
eb  fd 

gb  hd 
と決めてあげると都合がよさそう。
29
行列積の定義
a
A
c
b
e
, B  
d
g
f 

h
とする。
行列Bと行列Aの積 BAは、
e
BA  
g
f a

h  c
b   ea  fc

d   ga  hc
eb  fd 

gb  hd 
で定義される。
30
行列積の覚え方
e

g
f a

h  c
b

d
の計算
（１）まず、出来上がる行列の型をきめる。
a

c
e

g
b

d
f 

h
（２）個々の成分を求める。
a

c
e

g
f 

h
b

d
a

c
e

g
f 

h
b

d
31
練習
次の行列を求めよ。
（１）
1

2
（２）
（３）
2

4
 2

 3
3 2
 
1 3
 5

 3
0 1

2   0
33
 
42
（４）
3   1

1   2
3

4
2 

1 
32
行列積の性質
AB  BA
となる行列A、行列Bがある。
33
例題
1
A
0
AB,
1
,
2
BA
AB  BA
解
1
B 
3
2

0
とする。
を計算することによって、
を確かめよ。
1
AB  
0
11

23
2 1 3

0 0  6
2  0 4

0  0 6
2

0
1
BA  
3
21

00
1 1 0

2 3  0
1 4  1

3 0 3
5

3
4

6
2 1

0 3
5
 なので、
3
AB  BA
34
単位行列
対角成分が１で、他の成分が0である行列を
単位行列といい、 E で表す。
1
E 
0
0

1
35
単位行列と零行列の性質
A を任意の正方行列、 A と同じ型の単位行列を E
零行列を O とする。このとき、次が成り立つ。
１． A E = E A = A
２． A O = O A = O
36
零因子
行列の積では、 A  O かつ B  O であっても、
A B  O となることがある。
このとき、 A および B
を零因子という。
37
例
2
A
4
AB
1
 1
, B  
2
 2
2

4
1 1

2   2
22

44
0

0
2 

4 
とする。
2 

4 
4  4 

8  8 
0

0
38
逆行列
正方行列 A に対して、
AX = XA = E
を満たす正方行列 X が存在するならば、
X を A の逆行列といい
A
1
で表す。
39
連立方程式の解法から逆行列へ
次のような連立方程式を考える。
 ax  by  p
a
行列で表すと 

 cx  dy  q
c
a
A
c
b
x
 p
, x   , p   
d
 y
q
Ax  p
b  x   p 
    
d  y   q 
とおく。
1
ax  b  x  a b
5x  3  x  5
1
3 
3
5
x  A
1
p
通常のスカラーでの規則に、
合うように逆行列 A  1 を
定義したい。
40
 ax  by

 cx  dy
 p
(1)  c  (2)  a
(1)
q
(2)
を解く。
(1)  d  (2)  b


adx  bdy
 dp
bcx  bdy
 bq
( ad  bc ) x
 dp  bq
a d  b c  0 と仮定すると、
x
1
( ad  bc )
acx  bcy
 cp
acx  ady
 aq
( bc  ad ) y
 cp  aq
a d  b c  0 と仮定すると、
y
1
( ad  bc )
  cp  aq 
 dp  bq 
41
よって、 a d  b c  0
 ax  by

 cx  dy
のときには、
 p
(1)
q
(2)
1

 x  ( ad  bc )  dp  bq 


1
y 
  cp  aq 

( ad  bc )
行列を用いると、
a

c
b  x   p 
    
d  y   q 
a d  b c  0 ならば、
x
d
1
 

 y  ( ad  bc )   c
b   p 
 
a  q 
この部分を逆行列に
したい。
42
逆行列の存在判定
a
A
c
b

d
とする。
1
( ad  bc )  0 のとき、 A の逆行列 A が存在して、
A
1
 d


ad  bc   c
1
b 

a 
( ad  bc )  0 のとき、A の逆行列は存在しない。
43
行列式
a
A
c
b

d
とする。
このとき、 A の行列式
A
は次式で定義される。
A  ad  bc
行列式は、次ぎのように書かれることもある。
det( A )  ad  bc
44
行列式・逆行列の求め方
a
A
c
A
b

d
とする。
の求め方
a

c
A
1
乗算する符号が正
b

d
A  ad  bc
乗算して符号が負
の求め方
A  0
a

c
を確認して、
b

d
交換
A
乗算して符号が負
1
A
倍
1
1  d


A  c
b 

a 
45
練習
次の行列に対して、逆行列を持つかどうかを調べ、
もし持てばそれを求めよ。
（１）
2

3
2

4
（3）
2

3
5

7
（2）
1

3
2

6
（4）
 2

 4
5 

 10 
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逆行列の性質
正方行列 A
が逆行列
次のことが成り立つ。
A
1
を持つとき、
１． AA -1 = A -1 A = E
1
1
2． A   A
同じ型の正方行列 A 、 Β が共に逆行列を持つとき、
積 A B も逆行列を持ち、次のことが成り立つ。
３．  A B 
1
 B
1
A
1
順序に注意すること。
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