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第５章： 偏微分の応用（§3~§5）
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極大・極小の判定
陰関数定理
（平面曲線）
条件付き極値、特にラグランジュの乗数法
（最大・最小）
1
極大・極小
(§3 (p.183～))
• 「局所的に（＝十分狭い範囲では）」最大・最小
 ( x , y )  U (( a , b ),  )  {( x , y ) |
( x  a)  ( y  b)   }
2
2
f ( x , y )  f ( a , b ) （狭義の極大）
f ( x , y )  f ( a , b ) （広義の極大）
（弱い意味で
...)
• 以下 f (P) = f (x,y) は微分可能とする。
– 点 A(a,b) が広義極大（極小）点では：
f x (a, b)  0
f y (a, b)  0

df  0
（極点＝極値をとる点である必要条件）
A を「停留点（stationary point）」と言う。
2
停留点の判定（分類）
(5.3.5)
• 停留点：
f x (a, b)  f y (a, b)  0
• この時テーラー展開は：
f ( a  h , b  k )  f ( a , b )  ( hf x ( a , b )  kf y ( a , b ))

1
2!
( h f xx ( a , b )  2 hkf xy ( a , b )  k f yy ( a , b ))
2
2
 ..........
• ２次式 F=Ax2+2Bxy+Cy2 の符号が問題
– ３次以上の項は、h, k が十分小さければ２次
の項の符号に影響しない。
3
２次曲面の分類
• F(x,y)=Ax2+2Bxy+Cy2 で表される曲面：
Δ(x,y) = AC－B2 により分類。
• 変数変換により：
2
1.5
1
0.5
0
1
–
–
–
–
楕円型：
双曲型：
放物型：
さらには：
Δ >0:
Δ <0: F=αX2—βY2
Δ =0: F=αX2
Δ =0: F=0
F=αX2+βY2
（αβ>0）
（αβ>0）
• 点 (x,y)=(0,0) は：
0.5
1
0.5
0
0
-0.5
-0.5
-1
-1
1
0.5
0
-0.5
-1
1
0.5
1
0.5
0
0
-0.5
-0.5
-1
-1
1
0.8
0.6
0.4
– 楕円型のとき「極点」（極大または極小）
– 双曲型のとき「鞍点（saddle point）」
– 放物型のときは、広義極点
0.2
0
1
0.5
1
0.5
0
0
-0.5
-0.5
-1
-1
4
２次曲面の分類（２）
• 前ページの標準形は、２次形式：
Ax  2 Bxy  Cy
2
2
A
 ( x , y ) 
B
B  x 
  
C  y 
において、間の行列を対角化したことにあ
たる（対称行列なので、必ず対角化可能：
線形代数の授業参照：  A B  1   0 
P は適当な回転行列） P  B C  P   0  
5
記号についての注意
• 高校以来、おなじみの判別式 D= B2－ACは
教科書 (p.184, 5.3.4) にあるヘッセ行列式 ：
 f xx
 ( x , y )  det H ( x , y )  det 
 f yx
f xy 
2
  f xx f yy  f xy
f yy 
とは正負が逆になっている。
• どちらがわかりやすいかは問題だが、混乱を
避けるため、できるだけ教科書の流儀に合わ
せていく。しかし個々の場合について意味を
考えることが大事。
6
停留点の分類 (定理 5.3.5)
• 停留点： fx(a, b)= fy(a, b)=0
• Δ(a,b)>0
（楕円型）
– fxx(a, b), fyy(a, b) は同符号
– fxx(a, b)>0: 極小点、fxx(a, b)<0: 極大点
– 任意の断面について極大／極小
• Δ(a,b)<0
（双曲型）
– (a, b) を「鞍点 (saddle point)」と言う。
– 必ず等高線（２本）が交差し、等高線を境にして、
f (x, y) の正負が入れ替わる。
– ある断面については極大、別の断面については
極小、等高線沿いには定数関数（変化なし）。
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停留点の分類（続き）
• Δ(a,b)=0
いろいろな場合がある
– 放物型： 広義の極大／極小点
– その他
• f (x,y)=x4+y4
• 等高線が３本以上 f (x,y)=xy(x2-y2)
• 等高線が１本： f (x,y)=y3
• 等高線が０本（２次元領域で定数）
• 等々
– テイラー展開の３次以上を見る必要がある。
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極大・極小の判定手順（１）
• 微分可能でない場合：
– 個別に調べる。
例： f ( x , y ) 
x  y
2
2
r
上は円錐面で、原点で極小（最小）だが、原点
では微分不能。
• 微分でわかる以外の性質（対称性、周期
性等）について事前によく考察しておく。
（それにより後の計算も楽になる。）
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極大・極小の判定手順（２）
• fx, fy を計算して停留点 fx(a, b)= fy(a, b)=0 を
求める。
– 実際にはこの計算がかなり大変。
• Δ(a,b)= fxx(a, b) fyy(a, b) ー{fxy(a, b)}2
を求める。
• Δ(a,b)>0 なら極大・極小点、 Δ(a,b)<0 なら鞍
点。
• Δ(a,b)=0 の場合は、テイラー展開の３次以上
を求める、個別に考察する等。
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陰関数定理 （5.4.2）
• 陰関数 f (x, y) = 0 ⇒ f (x, y(x)) = 0 が
陽形式 y=φ(x) と表せるための条件。
– (a, b) の近傍で fx , fy が連続、
f (a, b)=0, fy(a, b)≠0
– このとき (a, b) で接線を持つ y=φ (x) が存在。
– また dy   f x ( x , y )
dx
f y ( x, y )
• 要するに、等高線が引けるための条件。
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陰関数の微分
• 実際にはすでに高校でもやっている。
– 例：円の方程式 x2+y2=r2
両辺を x で微分して整理
( x )'  ( y )'  ( r )'
2
2
2

2 x  2 yy '  0

y' 
x
y
• 全微分の観点からは：
– 接線方向には全微分は 0：
df  F x dx  F y dy  0
f ( x, y )  x  y
2
2
と置くと
df  2 xdx  2 ydy
形式的に割り算して：
y'
dy
dx
 
Fx
Fy
• 陰関数定理（２変数版）はy’ の存在保証。
– y’ しか与えないので、y を得るには積分が必要
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陰関数定理： 特異点
• 陰関数定理：
dy
dx

Fx
dx
Fy
dy

Fy
Fx
• Fx(a,b)=Fy(a,b)=0 のとき： 特異点
（singular point）： 後述の停留点でもある。
• 正則点（特異点以外の点）では F(x,y) は１つ
の方向にだけ水平； それが y’ の方向。
– 特異点では複数の方向に水平である可能性が
ある。
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参考： 陰関数定理（３変数）
• 定理 (5.4.3) の n=2 の場合。
• F(x,y,z) = 0 を満たす x, y, z に対し、
z = f(x,y)
となる f(x,y) が存在するための条件。
• このとき：  z
Fy ( x, y, z )
Fx ( x , y , z )  z
x
 
Fz ( x , y , z )
y
 
Fz ( x , y , z )
• さらに多変数→多変数（写像）への一般化、
• 条件が多い場合等 (5.4.4)
– 写像の「線形性」が前面にでてくる。
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平面曲線
• f (x,y)=0 を満たす(x,y) 全体の集合
• 参考：別の定式化：パラメタ形式
– 例： リサージュ曲線 x ( t )  sin nt , y ( t )  sin mt
• 一般に f (x,y)=0 で与えられた曲線は、
y=g(x) やパラメタ形式で簡単に表せない。
⇒ どうやって形状を調べるか？
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平面曲線（２）
• 通常点（正則点）の場合
– 近傍では等高線がただ１本ある（陰関数定理）
• 特異点（停留点）の場合 (5.5.1)
停留点の分類に呼応して：
– Δ(a,b)>0： 孤立点
– Δ(a,b)<0： 結節点（等高線が２本交わる）
– Δ(a,b)=0： 別途調べないとわからない。
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ラグランジュの乗数法 （5.6.2, 5.6.4）
• 条件付きの極大・極小問題
• 原理： ２曲面 C(x,y,z)=0 と F(x,y,z)=k とは、
k の値を変えていくと：
2
2
a. 共通点を持たない
b. 接する
c. 交わる
1.5
1.5
1
1
0.5
0.5
0
1
0
1
0.5
1
0.5
0
0
-0.5
0.5
1
0.5
0
0
-0.5
といった状態を移り変わるだろう。
– b, c のとき、C=0 という条件を満たす点が F 上にある。
– b のとき、F は C=0 という条件下での極値（極大／極
小）をとりうる。（いつでもそうとは限らないが。）
-0.5
-1
-1
-0.5
-1
-1
17
ラグランジュの乗数法（２）
• （２変数版の場合： (5.6.2)）
• g(x,y)=0, f (x,y)=k が (a,b) で接するなら、その
点での法線ベクトルが一致する：
 g x (a, b) 
 f x (a, b) 

  

 g (a, b) 
 f (a, b) 
 y

 y

• これを満たすλ, a, b を求めればよい。
– λ がいわゆる「未定係数」である。
g x (a, b)
f x (a, b)

g y (a, b)
f y (a, b)

として
 を消去
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ラグランジュの乗数法（３）
• （３変数版の場合）
• g(x,y,z)=0, f (x,y,z)=k が (a,b,c) で接するなら、
その点での法線ベクトルが一致する：
 g x (a, b, c) 
 f x (a, b, c) 




 g y (a, b, c)     f y (a, b, c) 
 g (a, b, c) 
 f (a, b, c) 
 z

 z

• これを満たすλ, a, b, c を求めればよい。
g x (a, b)
f x (a, b)

g y (a, b)
f y (a, b)

g z (a, b)
f z (a, b)

として
 を消去
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最大・最小問題
• ポイント： 有界閉領域で連続な関数には
最大値・最小値が存在する。 (5.7.9)
• したがって、連続関数の場合：
– 有界閉領域での最大値は、極大点か境界上
の最大点。最小値についても同様。(5.7.13)
– 開領域（境界を含まない領域）では、最大（小）
値が存在するなら極大（小）点で最大（小）。
(5.7.10)
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補足：Jacobi 行列、行列式（Jacobian）
• x = x(u,v), y = y(u,v) のとき：
• u = u(x,y), v = v(x,y) のとき：
 xu

 xv
yu 

yv 
 ux

u
 y
vx 

v y 
• その行列式を
 (u , v )
 ( x, y )

ux
vx
uy
vy

ux
uy
vx
vy
と書き、「関数行列式」、「Jacobi 行列式」
（Jacobian）などと言う。
（重積分の変数変換で使う。）
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教科書訂正
• p.208 (5.7.14): p.187 問題1 1) と同じ
f ( x, y ) x  y  3 x  3 y
3
2

f ( x, y ) x  y  3 x  3 y
3
3
22