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第Ⅱ部 協力ゲームの理論
第7章 提携形ゲームと配分
2008/07/01(火)
ゲーム理論合宿
Ｍ１ 藤井敬士
内容
• 提携形ゲーム
– 提携形ゲームとは
– 提携形ゲームの特性
• 全体としての協力関係
– 湖の汚染浄化問題
• タダ乗り
• 全体提携の成立
• 配分
1
提携形ゲームとは
企業１
企業２
企業３
提携構造：[{1,2},{3}]
提携：共同事業のようなものをプレイヤーNの
部分集合として表したときの，その部分集合
許容提携：可能性として想定できるすべての提
携（たとえば，φや{1,2,3}も含む）
2
提携形ゲームとは
v    0
v 1  10
x   x1 , x 2 , x 3 
v 2   20
 ( 40 , 40 , 40 )
v 3  30
v 1, 2   60
利得ベクトル
v 1, 3  70
※利得をどのように分けるか
についてはまた別のプロセス
による．
v 2 , 3  80
v 1, 2 , 3  120
v  v  , v 1,  v 2 ,3, v 1, 2 ,3, 
 v  S 
:
S  N

 0 ,10 , 20 , 30 , 60 , 70 ,80 ,120

提携形ゲーム：プレイヤーの集合 N
と特性関数 v と利得ベクトルの集
合X の組 ( N , v , X ) によって表される
もの．
提携の特性関数
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多数決ゲーム
• 12万円を3人の多数決で
分け，多数派が全部取っ
て山分けしてよい．
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多数決ゲーム
プレイヤーの集合 N  {1, 2 ,3}
多数派になるのは，1, 2  1,3 2 ,3 1, 2 ,3
のときのみ
特性関数は以下のようになる
v    0
v i   0 , i  1, 2 , 3
v 12   12
まとめると
v  v  S  :
S  N   0 , 0 , 0 , 0 ,12 ,12 ,12 ,12 
利得ベクトル
X  x   x1 , x 2 , x 3   R
3
 N , v , X  の形式で表された
v 13   12
v  23   12
v 123   12
ここで，v i   v i , i  1, 2 , 3
v 12   v 1, 2 
たとえば
K 
6 , 6 , 0 , 6 , 0 , 6 , 0 , 6 , 6 
という利得ベクトルの集合が考
えられる．

v 123   v 1, 2 , 3とする
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協力ゲームの提携形（定義）
プレイヤーの集合
N  1, 2 ,  , n 
提携
2
N
 S : S  N 
N
 R
R : 実数空間
値 v  S を提携 S の持つ
提携値という．
ける
 v  S   max min f S  S ,  N  S 
S
特性関数
v:2
一般に， v  S は N  S のメンバーに影響を受
 N S
提携 S , N  S が持つ戦略
提携 S のもつ利得関数
以上のような形で定義された特性関数を，フォ
ン・ノイマン／モルゲンシュテルン型関数という．
利得ベクトル
x   x1 , x 2 ,  , x n 
プレイヤー１の利得
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協力ゲームの提携形（定義）
提携形ゲーム
譲渡可能効用と別払い
プレイヤーの集合 N と
特性関数 v と利得ベクトルの
集合 X によって定義される協 力ゲーム
 N , v , X または  N , v と書く
ゲームの解
提携形ゲーム
 N , v , X に対して，
利得ベクトルの集合
ここで扱う利得は制限なしに分
割可能で，プレイヤーの間で自
由に譲渡できる．プレイヤーA
からBに譲渡した場合，Aの
失った利得の大きさとBの得た
利得の大きさは等しい．
譲渡した利得を別払いという．
X の部分集合 Y
を定めるルール F ．すなわち，
F  N , v , X   Y  x   x1 , x 2 ,  , x n   X
解集合
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提携形ゲームの特性
バラバラよりも一緒
にやったほうがいい
合理性
vN  
単調性とゼロ単調性
v  S   v T
 v i 

S ,T  N ,T  S
のとき，このゲームは 単調である
i N
のとき，合理的である という．
といい，さらに
v  S   v T  
非本質的と本質的
v  N    v i 
提携してもしなくても
一緒

v i 
i N
が成り立つゲームを
本質的ゲームという．
 v i 
i S  T
のとき，ゼロ単調であ るという．
任意の部分集合
が成り立つゲームを
非本質的ゲームといい
提携が大きくなると全
体として利得が大きい
弱優加法性と優加法性
i N
vN  
提携が大きくなると
利得も大きい
，
提携したらよくなる
v  N   v S  
S に対して
 v i 
任意の部分集合
でゼロ単調
i N  S
であるとき，弱優加法 的であるという．
また，互いに素な任意
の提携 R , S について
v R  S   v R   v S 
が成立するとき，優加 法的であるという．
小さい提携複数よりも，大きな提携一つ
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提携形ゲームの特性
定和
任意の提携 S について
特性関数を作ると，
v S   v  N  S   v  N 
v 1   max min a ij  1
が成り立つとき，定和 である
v  2   max min b ij  1
j
i
j
という．
i
v 12   max a ij  b ij   2
（例）
1 2
1 1,1 1,0
2 0,1 1,1
提携系ゲームとしては定和
ゲームである
戦略系ゲームとして
は定和ではない
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湖の浄化問題
排水を，浄化してから放流するor浄化しな
いで放流する．（浄化には費用がかかる）
浄化しないと，使うときに各工場で浄化す
る費用が発生
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湖の浄化問題
N  1, 2 ,  , n 
・・・
水１単位を浄化するには，B円必要
K個の工場が浄化しないと，利用するとき
に水１単位当たりkD円かかる．
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湖の浄化問題
Nの部分集合Sが，浄化すると
いう協定を結ぶ．
→提携Sと提携N-Sについて考
える．
D  B ：どの工場も浄化する
B  nD ：どの工場も浄化しな い
D  B  nD :
浄化すると費用が安く なる可能性
 話し合い，協定
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湖の浄化問題
提携Sのメン
バーの数
＜
C  S   s B   n  s  D 
＜
N=10,B=9,D=2として費用の
変化を見る
D  S   snD
D  S   C  S のとき，S は浄化しない．
r=B/D=9/2=4.5とすると，
すなわち， snD  s B   n  s  D 
s<rのときはこの提携では意味なし．
つまり，sD  B のとき．
s≧rのときは協定成立可能性．
参加者は多ければ多いほどいい
が，実際はどうなるのか？
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タダ乗りの存在
実際は最初から全員が集まるのは不可能．
提携S＝｛1,2,3,4,5,6｝とすると，
→熱心な提携Sのメンバー（s人）は浄化する
このとき，提携N-Sの費用は
浄化したとき : E  N  S    n  s  B
浄化しないとき : F  N  S    n  s  B
2
それぞれの提携の費用関数をまとめると，
このとき，残りのN-S＝｛7,8,9,10｝
は，r=4.5よりもメンバー数が少な
いので浄化しないほうが費用が安
い．
→（浄化する，浄化しない）という均
衡点
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タダ乗りの存在
提携N-Sのメンバーは，自
分たちでは浄化しないで浄
化してもらうことによって利
益を得ている
[{1,2,3,4,5,6},{7,8,9,10}]という提携
構造になると，それぞれの提携にお
ける一人当たりの負担額は，
→タダ乗り
＜
S:102/6=17
N-S:32/4=8
もし全員が浄化すると，一人当たり
の費用は，
9×10/10=9
※水不足などの際に自粛的な行動
をとる人は約６０％という社会心理
学者の調査結果もある．
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