Transcript プログラミング言語第一

情報基礎学
第２回目
中嶋 正之
講義の進め方
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講義
– 教科書「計算機科学入門」 サイエンス社を利
用
•
•
情報工学の基礎を広く解説
毎回授業の開始後、または後、 簡単な問題を出す
– 評価の対象
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出席が重要。
成績評価法
– 中間テスト2回・期末テスト、出席点

受講の態度
– 講義より自分で理解することが重要
– 予習や復習が重要
メールのお願い
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電子メールアドレスを中嶋まで送付すること
[email protected]
メールの内容：半角にて学籍番号 カンマ
全角にて名前 の順に
各種の連絡は同報メールにて知らせる
計算機科学（復習）
– 前書き
•
•
プログラミンだけではだめ
理論的な構成を理解する。
先週の復習
数学的な思考の４つの基本
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第1 物事を分類する。それを集めれば集合
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第2
第3
そもそも物の名前を覚えるの対応づけ
組み合わせ
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集合の概念は数学の基礎
一対一対応 写像や関数へ発展
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数学が色々分野に応用可能、形式化している。
道具として利用されている。本書の構成
第4
形容詞と名詞、主語と述語
並べる事（系列化）
•
アルゴリズム 順序立てる。
言語や組み合わせ
第１章 集合、写像、関係
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１．１集合
–
–
–
–
–
高校の復習
ブール集合｛T，F｝、空集合｛ ｝、Φ
直積 A×B、直和 A+B
濃度 要素の数 ｜A|
べき集合 ２＊＊｜A|
集合と部分集合（ｐ２）
– 元、要素の集まり
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代数系記号（特殊な集合）
N 自然数全体の集合（０含む）
Z 整数全体の集合
Zm mod ｍの剰余群（５．１節）
–
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
Zm={0,1,2,..ｍ－１｝
Q 有理数全体の集合
R 実数全体の集合
C 複素数全体の集合
集合と部分集合（ｐ２）
– 元、要素の集まり
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代数系記号（特殊な集合）
N 自然数全体の集合（０含む）
Z 整数全体の集合
Zm mod ｍの剰余群（５．１節）
–
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Zm={0,1,2,..ｍ－１｝
Q 有理数全体の集合
R 実数全体の集合
C 複素数全体の集合
集合と部分集合（ｐ２）
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代数記号
mod ａ≡ｂ（ｍｏｄ ｎ）
– （ａはｂとｍを法として合同）
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｜
ａ｜ｂ
ａはｂを整除する
集合と部分集合（ｐ４）
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順列との違い。
– 全く別物である。
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（１）集合
順列
（２） 集合
順列
｛ａ，ｂ｝＝｛ｂ，ａ｝
（ａ，ｂ）≠（ｂ，ａ）
｛ａ，ｂ，ｂ｝＝｛ａ，ｂ｝
（ａ，ｂ，ｂ）≠（ａ，ｂ）
集合と部分集合（ｐ５）

素数が無限にあることの証明
– ユークリッドの背理法
– デカルト積、直積
–
Ａ×Ｂ＝｛（ａ，ｂ）｜ａ∈Ａ，ｂ∈Ｂ｝
集合と部分集合（ｐ５）

素数が無限にあることの証明
– ユークリッドの背理法
– デカルト積、直積
–
Ａ×Ｂ＝｛（ａ，ｂ）｜ａ∈Ａ，ｂ∈Ｂ｝
集合と部分集合（ｐ５）

素数が無限にあることの証明
– ユークリッドの背理法
– デカルト積、直積
–
Ａ×Ｂ＝｛（ａ，ｂ）｜ａ∈Ａ，ｂ∈Ｂ｝
集合と部分集合（ｐ５）

素数が無限にあることの証明
– ユークリッドの背理法
– デカルト積、直積
–
Ａ×Ｂ＝｛（ａ，ｂ）｜ａ∈Ａ，ｂ∈Ｂ｝
集合と部分集合（ｐ５）

素数が無限にあることの証明
– ユークリッドの背理法
– デカルト積、直積
–
Ａ×Ｂ＝｛（ａ，ｂ）｜ａ∈Ａ，ｂ∈Ｂ｝
集合と部分集合（ｐ５）

素数が無限にあることの証明
– ユークリッドの背理法
– デカルト積、直積
–
Ａ×Ｂ＝｛（ａ，ｂ）｜ａ∈Ａ，ｂ∈Ｂ｝
今週は、1.3 写像と関係
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数学の基本の２番目
１対１ の対応付け
– 写像 １対１
– 関係 １対多
１．３ 写像と関係
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覚えて欲しいこと
写像とは（定義域、値域、関数）
–
–
–
–
–
全射、単射、全単射
合成写像、恒等写像、同型写像
特性関数、部分関数
グラフ
関係（例えば ＜ ）

•
推移的閉関係、推移的反射閉関係
写像の定義（ｐ16）
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定義 集合A、集合B
写像 ｆ：A  B

– a
A に対して、Bの要素を割り当てること。


– 全ての a
と
Ｆ： a| b,
A が ｂ

Bに割り当てられているこ
b=f(a) ：a の像
ｆ：a| f(a)
集合 A を定義域(Domain),集合Bを値域（range)
写像 ｆ を関数という。
写像の定義（ｐ1８）
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定義 集合A、集合B
写像 ｆ：A  B
全射： ｆ（A)=B の時
単射： a a’ ならば f(a)  f(a’)
全単射：全射かつ単射
A  Bと書く


全ての写像の集合も重要
[A B]と書く
合成写像（ｐ21）
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定義 集合A、集合B
写像 ｆ：A  B ,g:B C
g・f: A  C f とg の合成写像
ｆの値域と,gの定義域が一致しなければな
らない
b1
a1
a2
a3
c1
b2
X
c2
b3
c3
合成写像の定理（問題５）
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＜定理＞
ｆ： A  B 全単射 g: B  C 全単射
なら、 g・f : 全単射
＜証明＞
１．f,g :全射  g・f :全射 （黒板）
２．f,g :単射  g・f :単射 （問題５）

恒等写像
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f: A  A
自身への写像 idA と書く
定義：同型写像、逆写像
g・f=idA f・g=idB
を満たす、g：B
Aが存在するとき、
ｆを同型写像、 ｇを逆写像という。
f
B
A
g
特性関数（P22)
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全体集合 S
部分集合 A
Aの特性関数
χA:S {0,1}
χA(a)= 1 a A
0 a A
部分関数
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Bが割り当てられない集合が存在する。
Bに属さない新しい元  を値域に加える。
全域の関数となる。
定義域
A
f
B

関係 R(Relation)
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関数 ある要素 a に対してある要素
b=f(a)が割り当てられる。
関係 ある集合を割り当てる。
{n| m<n}
関数も関係の一種である。
関係の合成
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関係
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
合成
R AXB
S BXC

S・R={(a，c)｜ b,(a,b)  R,(b,C) S}
Rの推移的閉関係
反射的関係
問題
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P31
問題 ３
と
問題８
宿題
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問題
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問題１１
lcm:最小公倍数
least common multiple
gcd:最大公約数
Greatest Common division
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５，１１ です。
答え
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問題３
（１）単射
（２）どれでもない： -n,nが同じところへ
（３）単射：n=0 Bのとき、Aがない。全単射とな
らない。
（４）全単射：逆写像n-1
(5) 全単射： n| n/2
(6) 全射：
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各１０点
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問題８