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Ver.2
1
再掲：講義資料の所在 (URL)

後にレポートを回収した時に、提出者の学籍番号
を、ここに掲載する予定です。

後藤研のＷＥＢページ（日本語）の「後藤先生担
当の講義」から辿ることもできます。
http://www.goto.info.waseda.ac.jp/
~goto/infomath.html
ここに ~ が必要
2
数学は、その場で考えれば解るのか？
 解りません
 基本的な記号の意味を覚える必要がある
数学は記号の羅列
記号の辞典がある
使うことにより、学習できる
 普通に考えると解らないような箇所を出題
基本的な考え方を身に付けておく
3
参考書（金曜日・後藤担当分）


講義資料の多くの部分を作成した上田先生の参考文献
（１） J. マトウシェク, J. ネシェトリル著
根上生也, 中本敦浩訳「離散数学への招待 上」
シュプリンガー・フェアラーク東京 ISBN 4-431-70896-0
（２）M.A.アービブ, A.J.クフォーリ, R.N.モル 著
甘利俊一, 金谷健一, 嶋田晋 訳
「計算機科学入門」 (Information & Computing 1）
サイエンス社 ISBN4-7819-0375-4
後藤が教材を追加した際に参照した文献
（３）守屋悦朗「コンピュータサイエンスのための離散数学」
(Information & Computing 61)
サイエンス社 ISBN 4-07819-0643-5
（４）小野 寛晰「情報代数」情報数学講座 第2巻
共立出版 ISBN 4-320-02652-7
4
演習問題の解答はスライドに掲載せず

例外として次を解説「ラッセルのパラドックス」
 集合Ｘを次のような「もの」の集まりとする
Ｘの要素は「自分自身を要素として含まない集
合」である
X  { x | x  x },
x は集合
［説明］Ｘは集合である。ＸはＸ自身を含むか、含
まないか、いずれかである。もし X  X とすると
X  X  X となる。すなわちＸはＸを含むから定
義によりＸはＸの要素ではありえない。これは矛
盾。一方 X  X とすると、ＸがＸ自身を含まない
のであるから、定義によりＸはＸの要素となる筈
である。これは矛盾。
5
写像 (map) または関数 (function)


ＡとＢを集合とする
f
がＡからＢへの写像 (map) または関数 (function)
であるとは
 ｆがＡの各要素に対して、Ｂのただ一つの要素を対
応させる規則であること
［例題］実数ｘにｘの実数平方根を対応させる規則
x  0 に対して　x は定義されない。
x  0 に対して　二つの実数平方根
xと 
上の対応規則は関数（写像）ではない。
xが対応する。
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関数と関数空間
A の要素にB の一つの
要素を対応づける規則 f
A から B への
写像（関数）全体の集合
f : A B
定義域（始集合）
domain
終集合
codomain (値域と区別)
集合Ｂの要素の中でｆの像になっている要素の集合
f ( A )  { f ( a ) | a  A } をｆの値域 (range) という。


A と書くことがある。説明は後述。
を
A B
B
7
関数のグラフ
2
y  x  3x  5
関数の内包的定義：
 外延的定義：   ,  1,  7 , 0 ,  5 , 1,  1 , 2 , 5 ,  
これを関数のグラフという
f : A  B のグラフとは { a , f ( a ) ) | a  A }


グラフは直積ＡＸＢ
の部分集合である
A

B
グラフが同じ関数は等しい（外延的な等しさ）
単射と全射
論理記号 ならば
implies
8

写像 (関数) f : X  Y が任意の x 1, x 2  X に対し
て、 f ( x 1)  f ( x 2 )  x 1  x 2 という性質を満たす
時に単射という。１対１写像ともいう。
上の性質は x 1  x 2  f ( x 1)  f ( x 2 ) とも書ける。

写像 (関数) f : X  Y が、任意の y  Y に対して
f ( x )  y なる x  X が存在する時に全射という。
上への写像ともいう

全射かつ単射である写像を全単射という。
［例］ f : R  R を f ( x )  x 3 と定めると、全単射
となる
9
関数と部分関数

f B
A
①
f  A B
論理記号 同値

②  x  A y  B ( x, y  f )
③  x  A y  B y  B


x, y  f  x, y  f  y  y 
条件②が成り立たない場合は部分関数(部分写像)
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多変数の関数（多引数の関数）
2 引数関数 f ( x , y ) の考え方
 直積の上の1 引数関数 f ( x , y ) と同一視
 x だけ指定すると y に関する 1 引数関数になる．
つまり f ( x , y )  f ( x ) ( y ) を満たすような関数
f  （＝ x を与えると「y に関する1引数関数」を
返す関数）を考えることができる (currying)
 A  B  C と A  ( B  C ) は対等
 2次元配列 は1次元配列の配列 (プログラム)
 0 引数関数 f ( ) というのは定数のことである
 数学ではあまり見ないがプログラムで使う

11
配列と関数

プログラムでは区別がある。
数学的には同一視できる。
 n 要素の一次元配列： A

n
 0 , 1,  , n  1 を 定義域 (domain) とし、
A を終集合とする関数
上の二つは対等（同一視可能）．
 集合論では自然数を n  { 0 , 1,  , n  1} と定義
 上の見方は A n という表記と合致する
12
部分集合と特性関数


S  ( A ) （または S  2 A ）と S  A とは同じ意味
集合 A の部分集合を一つ与えることは A   0 , 1
に属する関数を一つ決めることと同じ
A
2
 つまり
と A   0 , 1 とは対等
 部分集合 S に対応する関数のことを
S の特性関数 (characteristic function) という
cs( x)
S 
 red,
 1 if x  S

 0 if x  S
blue, yellow


black
red
cyan
green
0
1
0
0
magenta
blue
yellow
white
0
1
1
0
13
集合族 (family of sets)

プログラミングでは配列が便利である。
集合に添字をつけることがある。
 A0 , A1 , A2 , A3 , 

添字の種類は有限でも無限でもよい。自然数でな
くてもよい。添字の集合を I とする集合族を

 A ii I
と書く。
 集合族は，実は添字 i を集合 A i に写像する関数に
他ならない。
14
集合の 

関数
A
 A i  i I
B 
A
i

i I
 A
i
i  I
和集合
とするとき、


Ai 
 f B
I

 i  I  f (i )  A i 
i I
 引数の値に応じて，返す値の型が決まる関数

例： n を与えると配列 0 , 0 ,  , 0 が返る
 
n個

集合の

A

i
15


直和の個数を一般化したもの
i  I  x  Ai 
i, x
i I
例：Ａがアルファベットの集合
有限長の文字列全体の集合は
0
1
2
A  A  A  
直和


A
n
nΝ
演習：I  {0,1} , A0 { 2, 3, 4 }, A1={ 3, 5 } の場合に
上の定義による  Ai の要素を具体的に記せ。
iI
16
無限集合

無限集合の例：
Ν   0 , 1, 2 ,  ,
2n
Z    ,  2 ,  1, 0 , 1, 2 ,  
n  Ν ,
cardinal number,
cardinality
potency,
power
 集合Ａの要素の数 |Ａ| を基数、濃度という。
 上の例では、要素の数は無限。
ただし、すべての要素にもれなく通し番号をつ
けることができる。
 ここで、無限の要素に必ず通し番号がつけ
られるかどうかは自明でない。（後述）
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有限集合と無限集合の要素の数に注目

有限集合
 { 2 , { 4 , 6 , 8}, 10 , 12 , {}}
 0
 {0 } すなわち {{}}


{ x , y}
無限集合
 { 0 , 1, 2 , 3 , . . .} and { 1, 2 , 3 , 4 , ...}
 { 0 , 1,
2 , 3, . . .} and { 1, 10 , 100 , 1000 , ...}
 Z とR
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可算無限集合
「集合 S の全要素に通し番号がつけられる」
⇔ 「S と 自然数の集合N とが対等」（S  N ）
 N と対等な集合のことを可算無限集合または可算集
合 (enumerable set, denumerable set, countable set)
という。

  2 n n  Ν  や Z    ,  2 ,  1, 0 , 1, 2 ,   は
可算無限集合である
 例題：自然数の集合Nから0を除いた集合 Nー{0}
とNとの間には f 1  x  1 という全単射が存在する。
よって | N  {0} || N | である。
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集合の濃度
A や B が有限集合のとき， A と B とが対等である
ための必要十分条件は A  B である。
f : A  B が全射ならば A  B , 単射ならば A  B .
 無限集合のときも， A  B のとき，そしてそのと
きに限って A  B と書く。 A ，つまり一般化さ
れた個数のことを A の濃度 (cardinarity) という。

 数学者は N のことをしばしば  と書く
0
例： Z   0
アレフ・ゼロ
 無限集合では、自分自身の真部分集合と対等にな
る場合がある。例： | N  {0} | | N |

20
可算（無限）集合の例

 2,
素数全体の集合
3 , 5 , 7 , 11 ,  
 一般に可算集合の無限部分集合は可算集合

自然数格子点の集合
NN

有理数全体の集合
Q

有限長の数列全体の集合
0
1
2
N  N  N  

N
n
nΝ

整数Z
if m  2 k
k
f 2 : N  Z , f 2(m)  
  k if m  2 k  1
21
自然数 N と整数 Z

全単射
if m  2 k
k
f 2 : N  Z , f 2(m)  
  k if m  2 k  1
０
１
２
３
４
５
６
７
８
９
－７ －６ －５ －４ －３ －２ －１ ０
１
２
３
４
５
６
７
８
９
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可算でない無限集合
対角線論法
実数全体の集合 R は可算集合ではない
［証明の概略］R’ を 0 および正の実数の集合とする。
N⊂R’⊂Rである。|N| ≦ |R’| ≦ |R| である。
NからR’への全単射 f が存在すると仮定する。
f ( m )  k m d m 0 d m 1  d mn  有限小数は 0 を付ける
.
f ( 0 )  k .d d d 
f (1)  k .d d d 
f ( 2 )  k .d d d 
~ ~
~
r  0.d d  d 
0
1
00
10
2
20
00
01
11
21
11
02
12
22
nn
~ 1 if
d 
 0 if
d 0
d 0
ｆは全射であるからｒ＝ｆ（ｓ）
となる自然数ｓが存在する
筈。そのｄｓｓに注目する。
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可算でない無限集合
［続］r=f(s)となるsが存在する。ところでf(s)の小数点
以下第(s+1)桁目は定義によりdssである。一方で、r
～
の小数点以下第(s+1)桁目は定義によりdssであり、こ
の二つは一致しない。 ~
d
ss
 d ss
Nの部分集合全体の集合 2 N は可算集合でない
A
任意の集合Aに対して | A |  | 2 |
N
 自然数上の関数全体の集合 N は可算集合でない

2
0
 0
0

0

再履修の諸君に重要な連絡
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 再履修の諸君に大切な連絡があります
 できるだけ迅速に上田和紀先生にメールで連
絡をすること
 メールアドレスが不明の場合には、学科事務
所で尋ねるか、クラス担任の先生に質問する