Transcript Document

電磁気学C
Electromagnetics C
7/27講義分
点電荷による電磁波の放射
山田 博仁
点電荷の運動方程式
ここでは、電子のような点電荷によって放射される電磁波のエネルギーを求める。
点電荷 e の電荷密度は、
 e ( x , t )  e  ( x  z ( t ))
3

(1)
点電荷
+e
で表される。 ここで、z(t)は、点電荷の軌道関数である。
このとき、電気双極子モーメントは、
p ( t )  e  x '  ( x '  z ( t )) d x'  e z ( t )
3
3

(2)

(3)
V
で与えられ、従ってその時間微分はそれぞれ、
p ( t )  e z ( t ),
p ( t )  ez( t )
これを、先週導出した以下の(37)式に代入する。
P (t ) 
0
6 c
 p ( t 0 ) 2
軌道
z(t)

( 37 )
ラモーアの公式
点電荷から放射される単位時間当たりの電磁波エネルギーは、
P (t ) 
0
( p ( t 0 )) 
2
6 c
 0e
2
6 c
( z( t 0 ))
2

(4)

(5)
で与えられる。 ここで t0 は、
x  z (t 0 )
t0  t 
c
の解として決められる点電荷からの発信時刻
(4)式より、電磁波は、点電荷が加速された時に放射されることが分かる。
ただし、(4), (5)式が成立するのは、点電荷の速度が光速に比べて十分小さい時
このとき、観測点での時刻 t と点電荷の時刻 t0 とはほぼ同一と見なせるので、
P (t 0 ) 
 0e
2
6 c
( z( t 0 ))
2

(6)
この式は、点電荷の単位加速時間当たりの放射エネルギーを与えると解釈する
ことができる。この式をラモーア(Larmor)の公式という。
点電荷からの放射エネルギー
いま、質量 m, 電荷 +e の点電荷が、
m z( t )   m  0 z ( t )
2

(7 )

(8 )

(9 )
の運動方程式に従って、角振動数 0 で単振動をしているとする。
(7)式の解は、
z ( t )  z 0 sin  0 t
と書くことができる。 このとき(6)式は、
P (t 0 ) 
 0e
2
 0 z 0 sin ( 0 t 0 )
4
6 c
2
2
となる。そこで、この単振動の1周期 T=2/0 当たりの平均値を求めると、
P 
 0e
2
6 c
 z 
4
0
2
0
0
2

2 /  0
0
sin ( 0 t 0 ) dt 0 
2
e
2
12  0 c
 0 z0
4
3
2
を得る。これは、点電荷の単位加速時間当たりの平均放射エネルギー

(10 )
ラザフォード原子模型の寿命
ラザフォードが1911年に提唱した原子模型は、中心に
正電荷をもつ重い原子核があり、その周りを負の電荷
を有する軽い電子が回っているというもの。
電子 -e
原子核
ところが、原子核の周りを回転している電子は、加速度
運動をしているから、それに伴い電磁波が放射される。
すると、回転している電子の運動エネルギーは次第に
減少し、電子は原子核に向かって落ち込んでいくはず。
+e
ラザフォードの水素原子の模型
即ち、古典物理学の法則に従えば、ラザフォードの原子
は不安定で、ある一定の寿命で消滅するはずである。
以下では、古典物理学の法則に基づき、水素原子の寿命を計算してみる。
今簡単のために、電子は陽子とのクーロン力によってのみ引かれて、原子核の
周りを回っているものとする。
ラザフォード原子模型の寿命
このとき、質量 m, 電荷 –e の電子の回転半径を r,
その速さを v, 回転の角速度を  とする。
すると、この電子の動径方向の運動方程式は、
mr  
e
2
4 0 r
2
1
2

(11 )

(12 )
v

電子 -e
m
陽子
r
+e
また、電子のエネルギー W は、
W 
1
mv 
1
2
2
e
ラザフォードの水素原子の模型
2
4 0 r
で表される。ここで v = r の関係に注意して、(11)式を(12)式に代入すると、
W 
を得る。
1
e
2
8 0 r

(13 )
ラザフォード原子模型の寿命
一方、単位時間に電子が放射する電磁波のエネルギーは、(6)式と(11)式より、
2

e
2
( 加速度 ) 

3
3 
2
6  0 c
6  0 c  4  0 mr
e
2
e
2




2

(14 )

(15 )

(16 )
で与えられる。 従って、単位時間当りに電子の失うエネルギーは、

dW

dt

e


3
2
6  0 c  4  0 mr
e
2
2
によって与えられる。
e
2
1 dr
8 0 r
2
dt

2




2
(15)式の左辺に(13)式を代入すると、
e
6
3 ( 4 0 c ) m
3
2

1
r
4
となる。
そこで、はじめの時刻 t = 0 における電子の回転半径が a であったとし、それが原
子核に落ち込んでしまうまでの時間を t とすると、(16)式を積分することにより、
ラザフォード原子模型の寿命

t
0
3 2 3
dt    m c
4

 e2

 4 
0





2
 0
2
  r dr
 a

(17 )

(18 )
を得る。 これから、
t 
1
2
3
m c a
3
4 ( e / 4 0 )
2
2
が得られる。
これに電子の電荷の大きさ e = 1.602×10-19 C, その質量 m = 9.11×10-31 kg お
よび原子半径 a = 5.29×10-11 m の数値を代入すると、およそ
t ~ 10
 11
s

(19 )
となる。
従って、原子は約10 psという非常に短い時間で潰れてしまうことになり、この矛盾
から、ボーアの原子模型、さらには量子力学が誕生することとなる。