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０章 数学基礎
1
大学では、高校より厳密に議論を行う。そのために、議論の
対象を明確にする必要がある。
集合
集合の定義
物の集まりである集合Xに対して、Xを構成している
物をXの要素または元という。
集合については、
３セメスタ開講の「離散数学」で詳しく扱う。
2
集合の表現
１．要素を明示する表現。
(外延的表現）
中括弧で、囲う。
X  {0,1, 2, 3}
慣用的に、
英大文字を用いる。
カンマで区切る
N  {1, 2, 3,
自然数の集合
}
類推が容易なとき、
・・・で表す。
3
２．（必要十分）条件での表現。
（内包的表現）
Y  { x | P ( x )}
代表元、
慣用的に英小文字
真偽が判定できる文（命題）、
すなわち必要十分条件
K  { n | n  1 0 0, nは 偶 数 }
p

Q 
p , qは 整 数 , q  0 
q

4
空集合
定義1．2
要素が一つも無いようなものも集合と考え、
それを空集合といい、
 あるいは { }
と表す。
  {}
要素が一つも無いので，
括弧だけを記述する。
5
慣用的な集合の記号
N  { x | xは 自 然 数 }  {1, 2, 3,
Z  { x | xは 整 数 }  {
}
,  2,  1, 0,1, 2, 3,
}
Q  { x | xは 有 理 数 }
R  { x | xは 実 数 }
C  { x | xは 複 素 数 }
これらの記号は万国共通に用いられる。
6
集合の要素
集合の要素
集合
X
に対して、
x
がX の要素であることを、
x X
と表し、
集合 X に対して、 x が
X
の要素で無いことを、
x X
と表す。
X
Y
x
x X
xY
7
例題
A  {1, 3, 5, 7, 9}
とする。
このとき、次の式が正しいかどうかを示せ。
（１）
（2）
1 A
（4）
（3）
2 A
（6）
（5）
4 A
3 A
5 A
6 A
解
（１）○（２）×（３）×
（４）○（５）○（６）×
8
練習
N  {1, 2, 3,
}
とする。
このとき、次の式が正しいかどうかを示せ。
（１）
（3）
（2）
10  N
（4）
3 .4  N
1  N
（5）
132124  N
（6）
10  4  3  N
10  4  3  N
9
部分集合
部分集合
2つの集合 X , Y について、
yY  y X
が成り立つとき、
Y は X の部分集合であるといい、
Y  X または Y  X
と表す。
X
Y
Y  X
10
例題
次の集合において、
部分集合の関係にあるものをすべて示せ。
A  {1, 2, 3, 4, 5}
B  {1, 3, 5}
C  {3, 5}
D  {2, 3, 5, 7}
解
A  A, B  A, C  A
B  B, C  B
C C
C  D, D  D
11
練習
次の集合において、
部分集合の関係にあるものをすべて示せ。
Ν
2
A   x | xは x  5 x  6  0の 解 
B   x | xは 素 数 
C   x | xは 奇 数 
12
集合の相等
集合の相等
2つの集合 X , Y について、
Y  X かつ X  Y
が成り立つとき、
X と Y は「等しい」といい、
X Y
と表す。
Y
X
X Y
13
和集合
和集合
2つの集合 X , Y について、
X または Y の要素全体からなる集合を
X と Y の和集合といい、
X Y
と表す。すなわち、
X  Y  {x | x  X ま た は x  Y }
Y
X
左辺を右辺で
定義している。
X Y
14
共通部分
共通部分
2つの集合 X , Y について、
X と Y のどちらにも含まれる要素全体からなる集合を
X と Y の共通部分（積集合）といい、
X Y
と表す。すなわち、
X  Y  {x | x  X か つ x  Y }
Y
X
X Y
15
例題
A  {1, 2, 3, 4, 5}
C  {3, 5}
B  {1, 3, 5}
D  {2, 3, 5, 7}
とする。このとき、以下の集合を求めよ。
（１）
A D
（２） A
B
（３） B
D
（４） A
 BC
解
（１）
A  D  {1, 2, 3, 4, 5, 7}
（２）
A  B  {1, 3, 5}
（３）
B  D  {1, 2, 3, 5, 7}
（４）
A  B  C  {3, 5}
16
練習
A  {2, 4, 6, 8}
C  {3, 6, 9}
B  {1, 3, 5}
D  {5, 7, 8, 9}
とする。このとき、以下の集合を求めよ。
（１）
A B
（２）
A B
（３）
BD
（４）
A D
（５）
A BC
（６）
BC D
17
直積集合
直積
n 個の集合 X , X ,
1
2
次の集合
 ( x1 , x 2 ,
, X n に対して、
, x n ) | x i  X i ( i  1, 2,
n )
をX 1 , X 2 ,
, X n の直積（直積集合）といい、
X1  X 2 
 Xn
と表す。
b B
(a, b)  A  B
b
a
a A
18
例題
A  {3, 4, 5}
B  {2, 3}
とする。このとき、 A 
B
と
B A
を求めよ。
解
A  B   (3, 2 ), (3, 3), (4, 2 ), (4, 3), (5, 2 ), (5, 3) 
B  A   (2, 3), (2, 4 ), (2, 5), (3, 3), (3, 4 ), (3, 5) 
A B  B A
19
練習
A  {1, 2}
B  {3, 6}
C  {k , l}
とする。このとき、以下の集合を求めよ。
（１）
A B
（２）
B A
（３）
BC
（４）
A A
（５）
A BC
（６）
AC  B
20
写像
写像
2つの集合 X , Y について、 X の各要素事に Y の
ある要素（１つ）が対応づけられているとき、
この対応づけのことを X から Y への写像（関数）という。
f が X から Y への写像を
f :X Y
と表す。
X
f
Y
定義域と
いいます。
値域と
いいます。
行き先は一箇所
21
２つの集合 X , Y に対する写像を f : X  Y
とする。このとき、 X の要素 x （ x  X ）に対応する
Y の要素を
f (x)
と表す。（このときは、もちろん f ( x )  Y である。）
X
-2
2
-1
1
0
f
Y
4
1
0
-1
-4
f (  1)  1
対応関係を式で定めることもあるが、
式でなくても写像は定義できる。
x  X に対して、 f ( x )  x  Y
2
代表元といいます。
22
像
写像 f : X  Y の定義域 X の部分集合 A ( A 
値域 Y の部分集合
 f ( x ) | x  A
を写像 f による A の像（Image)といい、
X ) に対して、
f ( A)
と表す。また、A 
Im ( f )
とも表す。
X
-2
2
-1
1
0 A
f
X
のとき、f ( X ) を
X
Y
4
1
0
-1
-4
f ( A)
-2
2
-1
1
0
f
Y
4
1
0
-1
-4
f (X )
Im ( f )
23
写像の相等
写像の相等
集合 X から Y への２つの写像 f , g は、
( f : X  Y,g : X  Y)
任意の x  X に対して、 f ( x )  g ( x )
が成り立つときに「等しい」といい、
f  g
と表す。
X
-2
2
-1
1
0
f
Y
X
4
1
0
-1
-4
-2
2
-1
1
0
f  g
g
Y
4
1
0
-1
-4
24
単射
単射
集合 X から Y への写像 f : X  Y が、
f ( x1 )  f ( x 2 )
を満たすとき、
X
f
単射
対応元が１つ

x1  x 2
f は単射（写像）であるという。
Y
X
g
Y
単射でない
25
全射
全射
集合 X から Y への写像 f : X  Y が、
f (X )  Y
を満たすとき、 f は全射（写像）であるという。
または、上への写像ともいう。
X
f
Y
全射
X
g
Y
全射でない
値域に“余り”がない。
26
全単射
単射かつ全射であるような写像を、
全単射（写像）という。
また、全単射は、１対１上への写像ともいう。
X
f
Y
全単射
値域に“余り”がなく、
値域の各元がちょうどひとつの
定義域の元に対応している。
27
合成写像
集合 X , Y , Z に対して、２つの写像
f : X  Y , g :Y  Z
があるとき、 X の各要素 x を Z の要素 g ( f ( x ))
に対応させることにより X から Z への写像ができる。
これを、 f , g の合成写像といい、
g
f
と表す｡すなわち、
f )( x )  g ( f ( x ))
(g
である。
X
f
Y
g
Z
X
g
f
Z
28
逆像
逆像
写像
f :X Y
x |
は
f ( x )  B
の部分集合である。これを、
X
f
に対して、 Y の部分集合 B をとると、
1
f
による
B
の逆像といい
(B)
と表す。すなわち、
f
X
1
f
( B )   x | f ( x)  B
Y
X
B
f
1
(B)
f
Y
B
29
逆写像
逆写像
写像 f : X  Y が全単射ならば、 Y の各要素 y に
対して、 X の要素 f  1 ( y ) を対応させる写像を定義できる。
これを、 f の逆写像といい、 f  1と表す。
X
f
Y
X
全単射
f
1
Y
逆写像
矢印を反対にする。
30
１章 行列と行列式
31
１．１ 行列の定義
行列
数（実数）を縦横をそろえて並べたもの。
éa 11
ê
êa 21
ê
A = ê
M
ê
êa
êë m 1
a 12
L
a 22
L
M
O
am 2
L
a 1n ù
ú
a 2n ú
ú
Mú
ú
amn ú
ú
û
縦が m 行、横が n 列あるとき、
m ´ n 行列という。
32
行列の型（大きさ）
行数×列数を行列の型あるいは大きさという。
m 行 n 列の行列を、
m ´ n 行列
あるいは
(m , n ) 型行列
という。
n
m
m ´ n
33
例
２行３列の行列
(3, 3 ) 型行列
4 ´ 3 行列
é1
ê
ê8
êë
4
é2
ê
ê
ê- 2
ê
ê1
êë
é3
ê
ê4
ê
ê
ê2
ê
ê7
êë
- 2ù
ú
3 ú
ú
û
3
0
4
7
2
1
1
- 3
6 ùú
ú
3ú
ú
5ú
úû
5 ù
ú
- 1ú
ú
ú
0 ú
ú
- 2ú
úû
34
練習
次の行列の型を答えよ。
（１）
é- 1
ê
ê
ê3
ê
ê7
êë
（４）
3 ùú
ú
- 5ú
ú
2 ú
úû
é- 3 ù
ê ú
ê0 ú
ê ú
ê ú
ê2 ú
ê ú
ê4 ú
êë úû
（２）
é2
êë
（５）
3
3
é2
ê
ê3
ê
ê
ê0
ê
ê- 2
ê
ê2
êë
（３） [4 ]
2ù
ú
û
3
1
- 1
6
5
6
11
0
7
1
8 ù
ú
2 ú
ú
ú
4 ú
ú
9 ú
ú
- 7 úú
û
35
行列の成分
i 行 j 列の要素 a ij を ( i , j ) 要素（ ( i , j ) 成分）
という。
j列
éa 11
ê
êM
ê
ê
A = êa i 1
ê
êM
ê
êêa m 1
ë
L
a1j
O
M
L
L
a ij
L
L
M
O
amj
L
a 1n ù
ú
Mú
ú
a in ú
ú
ú
Mú
ú
amn ú
ú
û
添字は、
行が先で、
列が後。
i
行
行列を ( i , j ) 成分だけに注目して、
A = éa ij ù
ë û
のように表すこともある。
36
ベクトル
ベクトル
大きさが、 1 ´ n あるいは、 m ´ 1
行列をベクトルという。
1´ n
の
のベクトルを行ベクトル（row vector)という。
r = éêr1 r2 L
rn ù
ú
ë
û
r = (r1 , r 2 , L , rn )
m ´ 1 のベクトルを列ベクトル(column vector)という。
éc 1 ù
ê ú
êc 2 ú
c = êê úú
M
ê ú
êc ú
êë n úû
37
行列と行ベクトル
m ´ n 行列は、 m
éa 11
ê
êa 21
A = êê
M
ê
êa
êë m 1
個の
a 12
L
a 22
L
M
O
am 2
L
ただし、 1 £ i £ m
n
次元行ベクトルで表現可能。
a 1n ù
ú
a 2n ú
ú
Mú
ú
amn ú
ú
û
に対して、r i = éêa i 1
ë
ér 1 ù
ê ú
êr 2 ú
A = êê úú
M
ê ú
êr ú
êë m úû
ai2
L
a in ù
ú
û
38
例
é3
ê
ê4
ê
A = ê
ê2
ê
ê7
êë
2
1
1
- 3
5 ù
ú
- 1ú
ú
ú=
0 ú
ú
- 2ú
úû
ér 1 ù
ê ú
êr 2 ú
ê ú とする。
êr 3 ú
ê ú
êr 4 ú
êë úû
r 1 = éê3 2 5 ù
= ( 3, 2, 5)
ú
ë
û
r 2 = éê4 1 - 1 ù
= ( 4, 1, - 1)
ú
ë
û
r 3 = éê2 1 0 ù
= (2, 1, 0)
ú
ë
û
r 4 = éê7 - 3 - 2 ù
= (7, - 3, - 2)
ú
ë
û
39
行列と列ベクトル
個の m 次元列ベクトルで表現可能。
m ´ n 行列は、 n
éa 11
ê
êa 21
A = êê
M
ê
êa
êë m 1
A = é
c1
ê
ë
a 12
L
a 22
L
M
O
am 2
L
c2
L
ただし、 1 £ j £ n
a 1n ù
ú
a 2n ú
ú
Mú
ú
amn ú
ú
û
cn ù
ú
û
に対して、
éa 1 j ù
ê ú
êa 2 j ú
c j = êê ú
Mú
ê ú
êa ú
êë m j ú
û
40
例
é3
ê
ê4
ê
A = ê
ê2
ê
ê7
êë
2
1
1
- 3
5 ù
ú
- 1ú
ú
ú=
0 ú
ú
- 2ú
ú
û
é3 ù
ê ú
ê4 ú
ê ú
c1 = ê ú
ê2 ú
ê ú
ê7 ú
êë úû
c2
éc
êë 1
c2
é2 ù
ê ú
ê1 ú
ê ú
= ê ú
ê1 ú
ê ú
ê- 3 ú
êë úû
c3ù
ú
û
c3
とする。
é5 ù
ê ú
ê- 1 ú
ê ú
= ê ú
ê0 ú
ê ú
ê- 2 ú
êë úû
41
例
é3
ê
ê4
ê
A = éa ij ù = ê
ë û ê2
ê
ê7
êë
2
1
1
- 3
5 ù
ú
- 1ú
ú
ú とする。
0 ú
ú
- 2ú
ú
û
このとき、
a 11 = 3
a 23 = - 1
a 41 = 7
42
例
A = éa ij ù を 3 ´ 4 行列とし、a ij = i + j とする。
ë û
このとき、
é2
ê
ê
A = ê3
ê
ê4
êë
3
4
4
5
5
6
5ù
ú
ú
6ú
ú
7ú
ú
û
43
練習
é2
ê
ê3
ê
ê
A = ê0
ê
ê- 2
ê
ê2
êë
3
1
- 1
6
5
6
11
0
7
1
8 ù
ú
2 ú
ú
ú
4 ú = éa ù =
ij
ú ë û
9 ú
ú
- 7ú
ú
û
ér 1 ù
ê ú
êr 2 ú
ê ú
êr 3 ú =
ê ú
êr 4 ú
ê ú
êr 5 ú
êë ú
û
éc
êë 1
c2
c3
c4ù
ú
û
とする。
次に答えよ。
（１）（１，１）成分、（２，３）成分、（５，２）成分
（２）値が１１である成分、値が９である成分、
値が３である成分の集合
（３） a 34 , a 53 , a 44
（４） r 2 , r 5
（５） c 3
44
練習
é2 3 - 1 ù, r = é- 3
é
ù
r
=
r 1 = ê- 2 6 3 ú, 2
3
êë
ú
êë
û
ë
û
r 4 = éê9 0 - 5 ù
ú
とする。
ë
û
このとき、
8
2ù
,
ú
û
ér 1 ù
ê ú
êr 2 ú
A = ê ú を求めよ。
êr 3 ú
ê ú
êr 4 ú
êë ú
û
45
練習
a ij = 10i + j
A = éa ij ù を 4 ´ 3 行列とし、
ë û
このとき、 A
とする。
を求めよ。
46
行列の相等
行列の相等
２つの行列A = éëa ij ùû, B
「等しい」といい、
= ébij ùが次の（１）、（２）を満たすとき、
ë û
A = B
と書く。
（１） A と B
の大きさが等しい。
（２）すべての ( i , j ) 成分について a ij = bij である。
47
例
é3
ê
ê4
ê
ê
ê2
ê
ê7
êë
é3
ê
ê4
ê
ê
ê2
ê
ê7
êë
2
1
1
- 3
5 ù
ú
- 1ú
ú
ú=
0 ú
ú
- 2ú
ú
û
é3
ê
ê4
ê
ê
ê2
ê
ê7
êë
2
1
1
- 3
5 ù
ú
- 1ú
ú
ú
0 ú
ú
- 2ú
ú
û
1
1
- 3
é3
ê
ê4
ê
ê
ê2
ê
ê7
êë
é3
ê
ê4
ê
ê
ê2
ê
ê7
êë
5 ù
ú
- 1ú
ú
ú¹
0 ú
ú
- 2ú
ú
û
2
2
1
1
- 3
2
1
1
- 3
é3
ê
ê
ê4
ê
ê7
êë
5 ù
ú
- 1ú
ú
ú¹
0 ú
ú
- 2ú
ú
û
5 ù
ú
- 1ú
ú
ú¹
0 ú
ú
- 2ú
úû
2
1
- 3
é3
ê
ê4
ê
ê
ê2
ê
ê7
êë
é3
ê
ê4
ê
ê
ê2
ê
ê7
êë
5 ù
ú
ú
- 1ú
ú
- 2ú
ú
û
2 ù
ú
1 ú
ú
ú
1 ú
ú
- 3ú
ú
û
2
1
1
- 3
5 ù
ú
- 1ú
ú
ú
0 ú
ú
2 ú
úû
48
練習
次の行列の集合から、等しい行列の組をすべて求めよ。
é1
ê
ê- 2
ëê
é1
ê
ê
ê- 3
ê
ê- 2
ëê
3ù
ú,
1ú
ú
û
3 ùú
ú
- 2 ú,
ú
1 ú
ûú
é1 ù
ê ú
ê3 ú
ê ú
ê ú,
ê- 2 ú
ê ú
ê1 ú
ëê ûú
é1
ê
ê- 2
êë
é1
ê
ê- 2
êë
3
1
- 3ù
ú,
1 ú
ú
û
- 3ù
ú,
1 ú
ú
û
é1
ê
ê- 2
êë
é1
êë
- 3
- 3ù
ú,
1 ú
ú
û
- 2
1ù
,
ú
û
é1 ù
ê ú
ê- 3 ú
ê ú
ê ú,
ê- 2 ú
ê ú
ê1 ú
êë úû
é1 ù
ê ú
ê3 ú
ê ú
ê ú,
ê- 2 ú
ê ú
ê1 ú
ëê ûú
49
行列の演算
行列の加法
行列の加法
éa ù, B = éb ù
A
=
同じ型（ m ´ n ）の行列
ë ij û
ë ij û
て、その和 A + B を
A + B = éa ij
ë
éa + b
11
ê 11
ê
ù
+ bij = ê
M
û ê
êa + b
m1
êë m 1
L
O
L
と定義する。このとき、 A + B も m ´ n
とに注意する。
に対し
a 1 n + b1 n ù
ú
ú
M
ú
ú
a m n + bm n ú
ú
û
の型になるこ
50
例
é3
ê
ê1
êë
6 ù
ú+
- 2ú
ú
û
2
5
é2
ê
ê
ê2
ê
ê1
êë
é1
ê
ê
ê4
ê
ê7
êë
2
5
8
é4
ê
ê3
êë
- 3
3ù
ú
ú
3 ú+
ú
5ú
ú
û
é1
ê
ê
ê- 3
ê
ê- 1
êë
3ù
ú
ú
6 ú+
ú
9ú
ú
û
é9
ê
ê
ê6
ê
ê3
êë
2
8
5
2
- 1ù
ú=
0 ú
ú
û
2ù
ú
ú
1ú=
ú
3ú
ú
û
7ù
ú
ú
4ú=
ú
1ú
ú
û
é7
ê
ê4
êë
é3
ê
ê
ê- 1
ê
ê0
êë
é10
ê
ê
ê10
ê
ê10
êë
- 1
7
5 ù
ú
- 2ú
ú
û
5ù
ú
ú
4ú
ú
8ú
ú
û
10
10
10
10 ù
ú
ú
10 ú
ú
10 ú
ú
û
51
和が計算できない行列
é2
ê
ê
ê0
ê
ê1
êë
1 ù
ú
ú
3 ú+
ú
- 5ú
ú
û
é- 2
êë
é- 1
ê
ê2
êë
1
3
0
é- 1
ê
ê2
êë
5ù
+
ú
û
é2
êë
é2
1 ù êê
ú + ê0
2ú ê
ú
û ê
0
êë
0ù
ú¹ ?
1ú
ú
û
3ù
¹ ?
ú
û
1 ù
ú
ú
- 2ú¹ ?
ú
1 ú
ú
û
52
行列の性質１
行列の和に関する性質
を全て同じ型の行列とする。このとき、
次が成り立つ。
A , B ,C
（１） (A + B ) + C = A + (B + C ) （結合法則）
（２）
（３）
（４）
A + B = B + A
A + O = O + A = A
（交換法則）
（加法単位元）
A + ( - A ) = (- A ) + A = O （加法逆元）
53
零行列
すべての成分が0である行列を零行列といい、
é0 0
ê
ê0 O
ê
O = ê
êM
ê
ê0
êë
L
0ù
ú
ú
ú
ú
ú
ú
0ú
úû
で表す。特に、型にも注意するきには、
O mn
と書いて、 m ´ n 型の零行列を表す。
54
例
O = O 23
é0
= êê
0
êë
O = O
43
0
0
0ù
ú
0ú
ú
û
é0
ê
ê0
ê
= ê
ê0
ê
ê0
êë
O = O
0
0
0
0
33
é0
ê
ê
= ê0
ê
ê0
êë
0
0
0
0ù
ú
ú
0ú
ú
0ú
ú
û
0ù
ú
0ú
ú
ú
0ú
ú
0ú
ú
û
55
加法逆元
m ´ n 行列 A = éëa ij ùû に対して、
m ´ n 行列
- A = é- a ij ù
ë
û
を加法逆元という。このとき、
A + (- A ) = (- A ) + A = O m n
が成り立つ。
é3
A = êê
1
êë
2
5
6 ù
ú
- 2ú
ú
û
Û
é- 3
- A = êê
- 1
êë
- 2
- 5
- 6ù
ú
2 ú
ú
û
56
行列のスカラー倍
行列の
スカラー k Î R
の k 倍を
に対して、
m ´ n
ék a
ê 11
ê
é
ù
é
ù
k A = k a ij = k a ij = ê M
ë û ë
û ê
êk a
êë m 1
と定義する。このとき、 kA
になることに注意する。
L
O
L
の大きさも
行列 A = éëa ij ùû
k a 1n ù
ú
ú
M ú
ú
ka m n ú
ú
û
m ´ n
57
例
é3
2 êê
1
êë
2
5
é2
ê
ê
- 3 ê- 4
ê
ê0
êë
6 ù
ú=
- 2ú
ú
û
3 ù
ú
ú
1 ú=
ú
- 5ú
ú
û
é6
ê
ê2
êë
4
10
é- 6
ê
ê
ê12
ê
ê0
êë
12 ù
ú
- 4ú
ú
û
- 9ù
ú
ú
- 3ú
ú
15 ú
ú
û
58
行列の性質２
行列のスカラー倍に関する性質
を同じ型の行列とし、k , l Î R
このとき、次が成り立つ。
A ,B
（１） ( k + l )A = k A + lA
とする。
（行列のスカラーへの分配法則）
（２） k (A + B ) = k A + k B （スカラーの行列への分配法則）
（３）
( kl )A = k (lA )
（結合法則）
（４）
1A = A
（公等法則）
（５）
0A = O
（零倍）
59
練習
é- 1
ê
ê
A = ê0
ê
ê2
êë
é0
1ù
ú
ê
ú
ê
3 ú, B = ê 2
ú
ê
ê- 1
0ú
ú
êë
û
é0
2ù
ú
ê
ú
ê
0 ú, C = ê1
ú
ê
ê3
1ú
ú
êë
û
0ù
ú
ú
1ú
ú
1ú
ú
û
とする。このとき、行列演算の法則を用いることにより、
次を計算せよ。
（１）
（２）
2 A + B - 2( B + A )
5A + B - 3(2 B + 2C ) + 6C
（３） 3 (( A
- B ) + ( B - C ) + (C - A ) )
60
行列の積
行列の積
行列 B = éëbij ùûに対して、
その積である C = A B = éc ij ù を
ë û
l ´ m 行列 A = éa ij ùと m ´ n
ë û
m
c ij =
å
a i k bk j = a i 1b1 j + a i 2b2 j + L + a im bm j
k= 1
(1 £ i £ l , 1 £ j £ n )
となる行列とする。
ここで、 C = A B の型は
l´ n
になる。
61
行列積の覚え方
l´ m
´
m ´ n
=
l´ n
ここが同じでないと
乗算できない。
（１）まず、出来上がる行列の型をきめる。
ここが同じでないと
乗算できない。
l´ m
m ´ n
l´ n
62
（２）個々の成分を求める。
b1 j
b2 j
M
bm j
a i1 a i2 L
a im
c ij
63
é1 ù
ê ú
ê1 ú
ê ú
ê ú
ê1 ú
ê ú
ê1 ú
ê
ë ú
û
例
A
A B
=
é1
ê
ë
2
B
= [1 0 ]
=
é1
ê
ê1
ê
ê
ê1
ê
ê1
ê
ë
=
é1 ù
ê ú
ê1 ú
ê ú
ê ú
ê1 ú
ê ú
ê1 ú
ê
ë ú
û
é1
ê
ë
B A
4ù
ú
û
3
2
2
3
2
3
2
3
2
3
3
4ù
ú
4ú
ú
ú
4ú
ú
4ú
ú
û
とする。
4ù
ú
û
é1
ê
ë
é1 ù
ê ú
ê1 ú
ê ú
ê ú
ê1 ú
ê ú
ê1 ú
ê û
ú
ë
2
3
4ù
ú
û
64
練習
次の行列の中から、積が定義できるものに対して、
積を求めよ。
é3
A = êê
0
êë
0
- 2
é1 ù
ê ú
ê ú
C = ê0 ú,
ê ú
ê0 ú
êë úû
1 ù
ú,
- 1ú
ú
û
é1
ê
ê
B = ê0
ê
ê0
êë
D = éê- 1
ë
2ù
ú
ú
3 ú,
ú
1ú
ú
û
1ù
ú
û
65
行列の性質３
行列の積に関する性質
積が定義できる行列に関して、次が成り立つ。
（１） (A B )C = A (B C )
（結合法則）
（２） A ( B + C ) = A B + A C
（左分配法則）
（３） (A + B )C = A C + A C
（右分配法則）
（４） k (A B ) = (k A ) B = A (k B ) （スカラーの移動）
このような移動ができるのは、
スカラーに対してだけであることに、
注意すること。
66
例題
é0
A = êê
1
êë
1ù
ú,
0ú
ú
û
é0
B = êê
1
êë
0ù
ú,
0ú
ú
û
é0
C = êê
1
êë
1ù
ú,
1ú
ú
û
k = 2,
とする。次式が成り立つかどうかを調べよ。
（１）
(A B )C = A (B C )
（２） A ( B + C ) = A B + A C
（３） (A + B )C = A C + B C
（４） k (A B ) = (k A ) B = A (k B )
67
解）
（１）
(A B )C = A (B C )
左辺： A B
右辺：
é0
= êê
1
êë
1 ùé0
úê
0 úê1
ú
ûêë
é1
ê
ê0
êë
é1
\ (A B )C = êê
0
êë
é0
B C = êê
1
êë
0 ùé0
úê
0 úê1
ú
ûêë
0ù
ú=
0ú
ú
û
1ù
ú=
1ú
ú
û
é0
\ A (B C ) = êê
1
êë
é0
ê
ê0
êë
1 ùé0
úê
0 úê0
ú
ûêë
0ù
ú,
0ú
ú
û
0 ùé0
úê
0 úê1
ú
ûêë
1ù
ú=
1ú
ú
û
é0
ê
ê0
êë
é0
ê
ê0
êë
1ù
ú,
0ú
ú
û
1ù
ú,
0ú
ú
û
0ù
ú,
1ú
ú
û
0ù
ú=
1ú
ú
û
よって、左辺＝右辺
これより、 (A B )C = A (B C ) = A B C
と書いても誤解が無い。
68
（２） A ( B + C ) = A B + A C
左辺：
é0
B + C = êê
1
êë
é0
A (B + C ) = êê
1
êë
右辺：
0ù
ú+
0ú
ú
û
é0
ê
ê1
êë
1 ùé0
úê
0 úê2
úê
ûë
1ù
ú=
1ú
ú
û
1ù
ú=
1ú
ú
û
é0 1 ùé0 0 ù é1
úê
ú= ê
A B = êê
1 0 úê1 0 ú ê0
ú
êë
ú
û êë
ûêë
é0 1 ùé0 1 ù é1
úê
ú= ê
A C = êê
1 0 úê1 1 ú ê0
êë
úê
ú
ûë
û êë
é1
A B + A C = êê
0
êë
よって、左辺＝右辺
0ù
ú+
0ú
ú
û
é1
ê
ê0
êë
é0
ê
ê2
êë
é2
ê
ê0
êë
1ù
ú,
1ú
ú
û
1ù
ú,
1ú
ú
û
0ù
ú,
0ú
ú
û
1ù
ú,
1ú
ú
û
1ù
ú=
1ú
ú
û
é2
ê
ê0
êë
1ù
ú,
1ú
ú
û
69
（３） (A + B )C = A C + B C
é0
A + B = êê
1
êë
左辺：
右辺：
1ù
ú+
0ú
ú
û
é0
ê
ê2
êë
é0
(A + B )C = êê
2
êë
é0
ê
ê1
êë
1ù
ú,
0ú
ú
û
1 ùé0
úê
0 úê1
úê
ûë
0ù
ú=
0ú
ú
û
1ù
ú=
1ú
ú
û
é1
ê
ê0
êë
1ù
ú,
2ú
ú
û
é0 1 ùé0 1 ù é1 1 ù
úê
ú= ê
ú,
A C = êê
1 0 úê1 1 ú ê0 1 ú
êë
úê
ú
ú
ûë
û êë
û
é0 0 ùé0 1 ù é0 0 ù
ú= ê
úê
ú,
B C = êê
1 0 úê1 1 ú ê0 1 ú
êë
ú
ú
ú
ûêë
û
û êë
é1
A C + B C = êê
0
êë
1ù
ú+
1ú
ú
û
é0
ê
ê0
êë
0ù
ú=
1ú
ú
û
é1
ê
ê0
êë
1ù
ú,
2ú
ú
û
よって、左辺＝右辺
70
（４） k (A B ) = (k A ) B = A (k B )
é0
A B = êê
1
êë
1 ùé0
úê
0 úê1
ú
ûëê
é1
k (A B ) = 2 êê
0
ëê
é0
k A = 2 êê
1
êë
1ù
ú=
0ú
ú
û
é0
\ (k A ) B = êê
2
ëê
é0
k B = 2 êê
1
êë
0ù
ú=
0ú
ú
û
é0
\ A (k B ) = êê
1
ëê
0ù
ú=
0ú
ú
û
0ù
ú=
0ú
ú
û
é1
ê
ê0
ëê
é2
ê
ê0
ëê
0ù
ú,
0ú
ú
û
0ù
ú,
0ú
ú
û
é0 2 ù
ê
ú
ê2 0 ú
êë
ú
û
2 ùé0 0 ù
úê
ú=
úê
0 1 0ú
ú
úëê
û
û
é0 0 ù
ê
ú
ê2 0 ú
êë
ú
û
1 ùé0 0 ù
úê
ú=
úê
0 ê2 0 ú
ú
úë
û
û
よって、成り立つ。
k = 2,
é2
ê
ê0
ëê
é2
ê
ê0
ëê
0ù
ú,
0ú
ú
û
0ù
ú,
0ú
ú
û
71
練習
é0 ù
A = êê ú
,
ú
1
êë ú
û
B = éê1
ë
1ù
,
ú
û
é1
C = êê
1
êë
1ù
ú,
0ú
ú
û
k = - 1,
l = 3,
とする。次式が成り立つかどうかを調べよ。
（１）
(A B )C = A (B C )
（２） k (A B ) = (k A ) B = A (k B )
（３） l (B C ) = (lB )C = B (lC )
72
練習
é0 ù
A = êê ú
,
ú
1
êë ú
û
é1 ù
B = êê ú
,
ú
1
êë ú
û
C = éê2
ë
- 1ù
,
ú
û
D = éê- 1
ë
0ù
,
ú
û
とする。次式が成り立つかどうかを調べよ。
（１）A (C + D ) = A C + A D
（２） B (C + D ) = B C + B D
（３） (A + B )C = A C + B C
（４） (A + B ) D = A D + B D
73
行列の性質４
AB  BA
となる行列A、行列Bがある。
行列の積では、交換法則は成り立たない。
74
例題
é1
ê
ê
A = ê0
ê
ê- 2
êë
0
4
3
AB ¹ BA
解）
左辺＝ A B
- 1ù
ú
ú
5 ú,
ú
0 ú
ú
û
é0
ê
ê
B = ê- 1
ê
ê2
êë
1
0
0
7 ùú
ú
1 ú,
ú
4ú
úû
とする。
を確かめよ。
é1
ê
ê
= ê0
ê
ê- 2
êë
é0
ê
右辺＝ B A = êê- 1
ê
ê2
êë
0
4
3
1
0
0
よって、左辺
- 1 ùé
úê0
úê
5 úê- 1
úê
0 úê2
úê
ûë
7 ùé
úê1
úê
1 úê0
úê
4 úê- 2
úê
ûë
¹
7ù
ú
ú
1 ú=
ú
4ú
ú
û
1
0
0
0
4
3
- 1ù
ú
ú
5 ú=
ú
0 ú
ú
û
右辺
é- 2
ê
ê
ê6
ê
ê- 3
êë
é- 14
ê
ê
ê- 3
ê
ê- 6
êë
1
0
- 2
25
3
12
ù
ú
ú
24 ú
ú
- 11 ú
ú
û
3
ù
ú
ú
1 ú
ú
- 2ú
ú
û
5
75
行列の性質５
A B  O でも、
A O
または
B O
とは限らない。すなわち、
A O
かつ
B O
でも、
AB  O
となることがある。
76
例題
é- 1
ê
ê
A = ê- 1
ê
ê- 2
êë
AB = O
- 1
- 1
- 2
1ù
ú
ú
1 ú,
ú
2ú
ú
û
é2
ê
ê
B = ê1
ê
ê3
êë
4
3
7
- 3ù
ú
ú
- 2ú
ú
- 5ú
ú
û
とする。
を確かめよ。
解）
é- 1
ê
ê
A B = ê- 1
ê
ê- 2
êë
- 1
- 1
- 2
1 ùé
úê2
úê
1 úê1
úê
2 úê3
úê
ûë
4
3
7
- 3ù
ú
ú
- 2ú=
ú
- 5ú
ú
û
é0
ê
ê
ê0
ê
ê0
êë
0
0
0
0ù
ú
ú
0ú= O
ú
0ú
ú
û
77
転置行列
転置行列
m ´ n 行列 A = [a ij ]に対して、 n ´ m
bij = a ji
行列 B = [bij ] を
(1 £ i £ n , 1 £ j £ m )
と定める。このとき、
を
B
の転置行列といい、
A
t
A
と表す。すなわち、
éa 11
ê
êa 21
A = êê
M
ê
êa
êë m 1
a 12
L
a 22
O
L
a 1n ù
ú
ú
ú
Mú
ú
amn ú
ú
û
のとき
éa 11
ê
êa 12
t
A = êê
M
ê
êa
êë 1n
a 21
L
a 22
O
L
am 1 ù
ú
ú
ú
Mú
ú
anm ú
ú
û
78
転置行列のイメージ
éa 11
ê
êa 21
A = êê
M
ê
êa
êë m 1
a 12
L
a 22
O
L
a 1n ù
ú
ú
ú
Mú
ú
amn ú
ú
û
転置
éa 11
ê
êa 12
t
A = êê
M
ê
êa
êë 1n
a 21
L
a 22
O
L
am 1 ù
ú
ú
ú
Mú
ú
anm ú
ú
û
回転
m ´ n
n´ m
79
例
é3
A = êê
1
êë
é2
ê
ê
B = ê0
ê
ê2
êë
2
5
6 ù
ú
- 2ú
ú
û
Û
2ù
ú
ú
3ú
ú
6ú
ú
û
Û
é2 ù
ê ú
ê3 ú
ê ú
C = ê ú
ê- 5 ú
ê ú
êê 1 ú
ë ú
û
Û
5
- 4
4
é3
ê
ê
t
A = ê2
ê
ê6
êë
1 ù
ú
ú
5 ú
ú
- 2ú
ú
û
é2
ê
ê
t
B = ê5
ê
ê2
êë
- 4
C = éê2
ë
3
t
0
3
2ù
ú
ú
4ú
ú
6ú
ú
û
- 5
1ù
ú
û
80
練習
次の行列の転置行列を求めよ。
é2
A = êê
3
ëê
C = éê- 2
ë
- 3
- 2
1
é2
ê
ê
B = ê2
ê
ê- 1
êë
4ù
ú
5ú
ú
û
2
- 1ù
ú
û
- 2
- 4
é3
D = êê
2
êë
3
2ù
ú
ú
3ú
ú
6ú
ú
û
2ù
ú
3ú
ú
û
81
転置行列の性質
転置行列の性質
をm ´ n
A , B を l ´ m 行列とし、 C
とする。 このとき、次が成り立つ。
k Î R
（１）
（２）
（３）
（４）
t
t
t
t
(A + B ) =
(k A ) = k
t
A +
B
t
(A)
t
行列とし、
（和と転置の交換）
（スカラー倍と転置の交換）
t
(A C ) = ( C ) ( A )
（積と転置の交換）
t
（転置の交代性）
(
t
(A ) ) = A
82
証明
（１）
をl ´ m
A = [a ij ], B = [bij ]
t
(A + B ) =
左辺
=
t
t
=
t
=
t
A +
(A + B )
( éëa
ù + [b ])
ij û
ij
([a ij
+ bij ])
= [a ji + b ji ]
t
行列とする。
B
右辺
=
t
A + B
t
=
t
[a ij ] +
t
[bij ]
= [a ji ] + [b ji ]
= [a ji + b ji ]
よって、左辺＝右辺
83
（２）
t
(k A ) = k
左辺
=
t
t
=
(A)
(k A )
(k éëa ùû)
ij
t
=
t
([ka ij ])
= [ka ji ]
右辺
t
= k (A )
t
= k
( éëa ùû)
ij
= k [a ji ]
= [ka ji ]
よって、左辺＝右辺
84
C = [c ij ],をm ´ n 行列とする。
（３）
t
t
t
(A C ) = ( C ) ( A )
とする。すなわち、
D = [d ij ] = A C
m
d ij =
å
a ik c kj
k= 1
左辺
=
t
t
=
(A C )
右辺
([d ij ])
=
( tC )( t A )
=
t
t
[c ij ] [a ij ]
= [d ji ]
= [c ji ][a ji ]
ém
ù
= êå a jk c ki ú
êk = 1
ú
ë
û
ém
ù
ê
= å c jk a ki ú
êk = 1
ú
ë
û
よって、左辺＝右辺
85
（３）のイメージ
C
m ´ n
乗法
A
l´ n
l´ m
転置
AC
l´ n
t
AC
t
C
n´ l
m ´ n
転置
A m ´ l
乗法
t
C
A
(A C )
n´ m
l´ m
AB
n´ l
転置すると前後
が入れ替わる
n´ l
( tC )( t A
)
86
（４）
t
( t (A ) ) =
A
左辺
=
t
t
=
=
t
(tA )
( t [a ij ])
[a ji ]
= [a ij ]
Q ED
= 右辺
t
A
回転
t
( t (A ) ) =
A
A
回転
m ´ n
n´ m
m ´ n
87
例題
é1 ù
B = êê ú
,
ú
1
êë ú
û
é0 ù
A = êê ú
,
ú
1
êë ú
û
C = éê- 1
ë
1ù
,
ú
û
0
k = 3,
とする。次式が成り立つかどうかを調べよ。
（１）
（２）
（３）
（４）
t
t
t
t
(A + B ) =
(k A ) = k
t
A +
B
t
(A)
t
t
(A C ) = ( C ) ( A )
t
(
t
(A ) ) = A
88
解）
t
t
（１） ( A + B ) =
t
左辺＝
t
右辺＝
æé0 ù
çç ê ú
çç ê1 ú +
çè êë ú
û
t
é0 ù
ê ú+
ê1 ú
êë ú
û
t
é1 ùö
ê ú÷
÷
=
ê1 ú÷
÷
÷
êë ú
ûø
é1 ù
ê ú=
ê1 ú
êë ú
û
t
A +
é1 ù
ê ú=
ê2 ú
êë ú
û
é0
êë
B
é1
êë
1ù
+
ú
û
2ù
ú
û
é1
êë
1ù
=
ú
û
é1
êë
2ù
ú
û
∴左辺＝右辺
（２）
t
(k A ) = k
左辺＝
右辺＝
t
t
(A)
æ é0 ùö
çç ê ú÷
÷=
çç3 ê1 ú÷
÷
÷
çè êë ú
ûø
æt
çç
3ç
çç
è
t
é0 ù
ê ú=
ê3 ú
êë ú
û
é0 ùö
÷
é0
ê ú÷
÷
=
3
êë
ê1 ú÷
÷
÷
êë ú
ûø
é0
êë
1ù
=
ú
û
∴左辺＝右辺
3ù
ú
û
é0
êë
3ù
ú
û
89
t
（３）
t
t
(A C ) = ( C ) ( A )
æé0 ù
çç ê ú
çç ê1 ú´
çè êë ú
û
左辺＝
é- 1
êë
ö
÷
÷
1ù
÷=
ú
û÷
÷
ø
0
t
t
右辺＝
t
é- 1
êë
0
1ù
´
ú
û
t
é0
ê
ê- 1
êë
0
0
é- 1 ù
é0 ù êê ú
é0
ê ú= ê 0 ú
´
ú
ê1 ú ê ú êë
êë ú
û ê ú
1
ú
ëê û
é0
0 ù êê
ú = ê0
1ú ê
ú
û ê
0
ëê
- 1ù
ú
ú
0 ú
ú
1 ú
ú
û
é0
ê
ê
1ù
=
ê0
ú
û ê
ê0
ëê
- 1ù
ú
ú
0 ú
ú
1 ú
ú
û
∴左辺＝右辺
（４）
t
(
t
左辺＝
t
(A ) ) = A
æt
çç
çç
çè
é0 ùö
÷
ê ú÷
÷=
ê1 ú÷
÷
÷
êë ú
ûø
t
é0
êë
é0 ù
ù
1 ú = êê ú
û
1 ú ＝右辺
êë ú
û
90