Transcript pptx

3．正方行列（単位行列、逆行列、対称行列、
交代行列）
1
正方行列
（定義）：正方行列
行と列の数が等しい行列、すなわち
n ´ n 行列、 (n , n )
n 次の正方行列という。
例
型の行列のことを
[3] ：１次の正方行列
é- 1 2ù
ê
ú ：２次の正方行列
ê 2 4ú
êë
ú
û
é2 3 1ù
ê
ú
ê
ú
1
1
8
ê
ú ：３次の正方行列
ê
ú
ê2 - 2 3ú
êë
úû
2
正方行列のイメージ
一般の行列
m´ n
長方形
正方行列
n´ n
正方形
3
単位行列
定義：単位行列
正方行列にしか、単位行列
は定義されないので注意すること。
n 次の任意の正方行列 A に対して、次式を満たす
n 次正方行列を単位行列といい、
I
あるいは
E
で表す。
AI = IA = A
なお、次数を明記する場合
In
や E n と書く。
4
単位行列の成分表示
性質：単位行列の成分表示
対角成分が１で、それ以外の成分は0である正方行列は
単位行列である。
é1
ê
ê0
ê
ê
E = ê0
ê
êM
ê
ê
êêë0
0
0
1
0
0
O
L
1
L
0
0ù
ú
Mú
ú
ú
ú
ú
0ú
ú
ú
1ú
ú
û
é1
ê
ê0
ê
ê
I = ê0
ê
や
êM
ê
ê
êêë0
0
0
1
0
0
O
L
1
L
0
0ù
ú
Mú
ú
ú
ú
ú
0ú
ú
ú
1ú
ú
û
で表す。特に、次数にも注意するきには、
En
In
n´ n
と書いて、n 次の
の単位行列を表す。
5
例
é1 0ù
ú
E 2 = I 2 = êê
ú
0
1
êë
ú
û
é1
ê
ê0
ê
E4 = I 4 = ê
ê0
ê
ê0
êë
0 0 0ù
ú
1 0 0ú
ú
ú
0 1 0ú
ú
0 0 1ú
ú
û
é1 0 0ù
ê
ú
ê
ú
E 3 = I 3 = ê0 1 0ú
ê
ú
ê0 0 1ú
êë
ú
û
é1
ê
ê0
ê
ê
E = I = ê0
ê
ê0
ê
ê0
êë
0 0 0 0ù
ú
1 0 0 0ú
ú
ú
0 1 0 0ú
ú
0 0 1 0ú
ú
0 0 0 1ú
ú
û
6
例題
é2 - 1ù
ú
A = êê
ú
êë3 1 ú
û
é1 0ù
ú
I = êê
ú
0
1
êë
ú
û
é2 - 1ùé1 0ù é2 ´ 1 + (- 1) ´ 0 2 ´ 0 + (- 1) ´ 1ù
ú=
úê
ú= ê
A I = êê
úê0 1ú ê 3 ´ 1 + 1 ´ 0
3 ´ 0 + 1´ 1 ú
ê
ú
êë3 1 úê
ú
ûë
û ë
û
é1 0ùé2 - 1ù
úê
ú=
IA = êê
úê3 1 ú
êë0 1úê
ú
ûë
û
é1 ´ 2 + 0 ´ 3 1 ´ (- 1) + 0 ´
ê
ê0 ´ 2 + 1 ´ 3 0 ´ (- 1) + 1 ´
êë
1ù
ú=
1ú
ú
û
é2 - 1ù
ê
ú
ê3 1 ú
êë
ú
û
é2 - 1ù
ê
ú
ê3 1 ú
êë
ú
û
7
練習
éa b c ù
ê
ú
ê
ú
A = êd e f ú
ê
ú
êg h i ú
êë
úû
é1 0 0ù
ê
ú
ê
ú
I 3 = ê0 1 0ú
ê
ú
ê0 0 1 ú
úû
ëê
とする。このとき、次の式が成り立つことを確かめよ。
AI3 = I3 A = A
8
単位行列の性質
性質：単位行列の積
を任意の n  m 行列とする。
このとき、次式が成り立つ。
A
（1）
In A  A
（2）
AI m  A
9
練習
éa
ù
a
a
11
12
13
ú
A = êê
ú
a
a
a
êë 21 22 23 ú
û
é1 0ù
ú
I 2 = êê
ú
êë0 1 ú
û
é1 0 0ù
ê
ú
ê
ú
I 3 = ê0 1 0ú
ê
ú
ê0 0 1 ú
êë
úû
とする。このとき、次の式が成り立つことを確かめよ。
（1）
（2）
I2 A  A
AI3  A
10
（正方行列の）トレース
（定義）：トレース（固有和）
A = [aij ]
に対して、対角成分の総和を
トレースといい、
t rA
と表す。すなわち、
n
t rA º
å
aii = a11 + a 22 + L + ann
i= 1
éa11 a12 L
ê
êa 21 a 22
A = êê
O
êM
êa
L
êë n 1
a1n ù
ú
ú
ú
Mú
ú
ann ú
ú
û
11
例題
次の行列のトレースをそれぞれ求めよ。
é3
8ù
ú
A = êê
-ê 3 - 2ú
ú
ë
û
é- 2 2 7 ù
ê
ú
ê
ú
B = ê3
1 - 3ú
ê
ú
ê2
0 4 ú
êë
ú
û
é- 3
ê
ê0
ê
C = ê
ê2
ê
ê2
ëê
3 0 ù
ú
5
2 - 1ú
ú
ú
3
4 0 ú
ú
- 1 1 - 2ú
ú
û
3
解）
tr (A ) = 3 - 2 = 1
tr (B ) = - 2 + 1 + 4 = 3
tr (C ) = - 3 + 5 + 4 - 2 = 4
12
練習
次の行列のトレースをそれぞれ求めよ。
é- 2 8ù
ú
A = êê
ú
4
1
êë
ú
û
é- 4
ê
ê1
ê
C = ê
ê- 1
ê
ê8
êë
- 2 3 - 1ù
ú
6
0 1 úú
ú
3
7 2 ú
ú
2
1 - 1úú
û
é0 2 6 ù
ú
ê
ú
ê
B = ê1 2 - 3ú
ú
ê
ê2 0 - 5ú
ú
êë
û
é9
ê
ê- 2
ê
ê
D = ê- 3
ê
ê6
ê
ê0
êë
- 2 4 1 ù
ú
- 1 0
2 3 ú
ú
ú
5
3
4 5 ú
ú
6
0
2 3 ú
ú
7
1
2 - 5ú
ú
û
4
13
トレースの性質
（性質）：トレースの性質
A = [aij ], B = [bij ] を
n´ n
行列とし、 k をスカ
ラーとする。このとき、以下の式が成り立つ。
（１）t r( A ± B ) = t r A ± t r B
（２） tr (kA ) = k (tr A )
（３） t r(A B ) = t r( B A )
t
（４） tr ( A ) = tr A
積のチェックに使える。
14
証明
（１） t r( A ± B ) = t r A ± t r B
左辺 = t r (A ± B )
= t r([a ij ] ± [bij ])
n
=
å
([aii ] ± [bii ])
i= 1
æn
ö÷
ç
= çå [a ii ]÷±
çè i = 1
ø÷
æn
ö
ççå [b ]÷
÷
çè i = 1 ii ø÷
= 右辺
15
（２） tr (kA ) = k (tr A )
左辺 = t r (kA )
= t r( k [aij ])
n
=
å
(k [aii ])
i= 1
æn
ö÷
ç
= k çå [aii ]÷
çè i = 1
ø÷
= 右辺
16
（３） t r(A B ) = t r( B A )
とする。
C = A B = [cij ] D = BA = [dij ]
左辺 = t r (A B )
右辺 = t r (B A )
= t r([cij ])
= t r([dij ])
n
=
å
([cii ])
n
=
i= 1
æn
ö
ç
= å çå aikbki ÷
÷
÷
ç
è
ø
i= 1 k= 1
=
jj
j= 1
n
n
å ([d ])
æn
ö
÷
= å ççå bjlalj ÷
÷
ç
ø
j = 1 è l= 1
n
n
å å
(aikbki )
i= 1 k= 1
よって、左辺＝右辺
n
=
n
å å (a b )
lj jl
j = 1 l= 1
17
（３）のイメージ
t r(A B )
a11b11
a12b21 L
a 21b12
a 22b22
a1 jbj 1 L
M
O
M
M
ai 1b1i
L
aijbji
ainbni
M
an 1b1n
t r(B A )
a1nbn 1
d11
L
anjbjn
d jj
O
M
L
annbnn
c11
cii
c nn
dnn
18
t
tr
( A ) = trA
（４）
左辺 = t r (t A )
= t r( t [aij ])
n
=
å ( [a ])
t
ii
i= 1
n
=
å
([aii ])
i= 1
= 右辺
QED
19
例題
1 2
B

3
0


1 1 
A

0
2


AB  BA
解
1
AB  
0
1
BA  
3
および
とする。このとき、
tr  AB   tr  BA を確かめよ。
1  1 2 4




2 3 0 6
2 1 1  1




0 0 2 3
2
0
5
3
よって、
AB  BA
tr ( AB)  4  0  4
tr ( BA)  1  3  4
よって、
tr  AB   tr  BA
20


1
2
0


3 1 0 


B

A  0 1 0 

 とする。このとき、
1 1 1
 1 0 2 
練習
0 1 2
AB  BA
および tr
 AB  tr  BA
を確かめよ。
21
行列のべき乗
正方行列に対しては、行列のべき乗が定義できる。
（定義）：（正方行列の)べき乗
n 次の正方行列 A に対して、
Ak º A
A42L444
A3
144
k
と定義する。また、
A 0 º In
と定義する。
n´ n
n´ n n´ n
n 次の正方行列同士を
乗じると、
また n 次の正方行列になる。
22
べき等行列
（定義）：べき等行列
A A = A となる行列をべき等行列という。
べき等行列は、
Ak = A
(k ³ 1)
も成り立つ。
23
例
（１）
é- 2 - 6ù
ê
ú
ê1
ú
3
êë
ú
û
é- 2 - 6ùé- 2 - 6ù
ê
úê
ú=
ê1
úê
ú
3
1
3
êë
úê
ú
ûë
û
（２）
é 4 - 6 12 - 18ù
ê
ú
ê- 2 + 3 - 6 + 9 ú=
êë
ú
û
é- 2 - 6ù
ê
ú
ê1
ú
3
êë
ú
û
é- 4 10ù
ê
ú
ê- 2 5 ú
êë
ú
û
é- 4 10ùé- 4 10ù é16 - 20 - 40 + 50ù é- 4 10ù
ê
úê
ú ê
ú ê
ú
ê- 2 5 úê- 2 5 ú= ê8 - 10 - 20 + 25ú= ê- 2 5 ú
êë
úê
ú
ú
ú
ûë
û êë
û êë
û
24
べき零行列
（定義）：べき零行列
Ak = O
となる自然数 k が存在するような行列。
べき零行列は、
Ak' = O
(k ' ³ k )
も成り立つ。
25
例
１．
２．
é1 - 1ù
ú
A = êê
ú
1
1
êë
ú
û
é1 - 1ùé1 - 1ù
úê
ú=
A = êê
úê
ú
1
1
1
1
êë
úê
ú
ûë
û
2
é0 0ù
ê
ú
ê0 0ú= O
ú
ëê
û
é2 4 - 3ù
ê
ú
ê
ú
B = ê1 3 - 2ú
ê
ú
ê3 7 - 5ú
êë
ú
û
é2 4 - 3ùé2 4 - 3ù
ê
úê
ú
ê
úê
ú
B 2 = ê1 3 - 2úê1 3 - 2ú=
ê
úê
ú
ê3 7 - 5úê3 7 - 5ú
úê
ú
ëê
ûë
û
é- 1 - 1 1ù
ê
ú
ê
ú
1
1
1
ê
ú
ê
ú
ê- 2 - 2 2ú
ú
ëê
û
é- 1 - 1 1ùé2 4 - 3ù
ê
úê
ú
ê
úê
ú
B 3 = ê- 1 - 1 1úê1 3 - 2ú=
ê
úê
ú
ê- 2 - 2 2úê3 7 - 5ú
úê
ú
ëê
ûë
û
é0 0 0ù
ê
ú
ê
ú
0
0
0
ê
ú= O
ê
ú
ê0 0 0ú
êë
ú
û
26
例２
次の一連の行列はべき零行列である。
é0 1ù
é0 1ùé0
2
ú (J ) = ê
úê
J 2 = êê
2
ú
ê0 0úê0
0
0
êë
ú
êë
úê
û
ûë
é0 1 0ù
é0 1 0ùé0
ê
ú
ê
úê
ê
ú
ê
3
J 3 = ê0 0 1ú (J 3 ) = ê0 0 1úê
úê0
ê
úê
ê
ú
ê
0 0 0úê
0
ê0 0 0ú
ê
úê
ë
ûë
êë
úû
é0 1 0 0ù
ê
ú
ê0 0 1 0ú
ê
ú
J4 = ê
ú
4
0
0
0
1
(J 4 ) =
ê
ú
ê
ú
ê0 0 0 0ú
êë
úû
1ù
ú=
0ú
ú
û
é0 0ù
ê
ú
ê0 0ú
êë
ú
û
ù
1 0ùé
0
1
0
úê
ú
úê
ú
0 1úê0 0 1ú=
úê
ú
úê
0 0úê0 0 0ú
ú
ûë
û
é0 0 1ùé0 1 0ù
ê
úê
ú
ê
úê
ú
0
0
0
0
0
1
ê
úê
ú
ê
úê
ú
ê0 0 0úê0 0 0ú
êë
úê
ú
ûë
û
O
27
対称行列
（定義）：対称行列
A = A なる n 次の正方行列を
（ n 次の）対称行列という。すなわち、
t
A = [aij ]が対称行列
Û
aij = a ji
=
a ji
aij
n´ n
鏡
28
対称行列の例
é 2 - 2 2ù
ê
ú
ê
ú
ê- 2 - 4 3ú
ê
ú
ê2
ú
3
6
êë
ú
û
é1 2 ù
ê
ú
ê2 3 ú
êë
úû
é- 2 1 - 3
ê
ê1
1 4
ê
ê
ê- 3 4 3
ê
ê1
0 7
êë
1ù
ú
0úú
ú
7ú
ú
6 úú
û
éx a b c ù
ê
ú
êa y d e ú
ê
ú
ê
ú
êb d z f ú
ê
ú
êc e f w ú
êë
úû
29
練習
以下の行列はすべて対称行列である。
このとき、x , y , z を求めよ。
（１） éê0 x ùú
ê6 - 3 ú
êë
úû
é6
ê
（３） êê4
ê
êy
ê
ê5
êë
4 - 3 5ù
ú
3 x
0úú
ú
4 - 1 2ú
ú
0 z
5úú
û
（２） éê7
8 ùú
ê
ú
9
2
1
ê
ú
ê
ú
ê8 x
3 úú
êë
û
（4）
y
é2
ê
êy
ê
ê
ê1
ê
êz
êë
2 ù
ú
1
0 - 1úú
ú
0
3 2 ú
ú
- 1 2 6 úú
û
1
x
30
交代行列
（定義）：交代行列
A = - A なる n 次の正方行列を
（ n 次の）交代行列（歪対称行列）という。
すなわち、
t
A = [aij ]が交代行列
a12 L a1n ù
é0
ê
ú
ê- a12
0
a 2n úú
ê
ê
ú
O Mú
ê M
ê
ú
ê- a1n - a 2n L 0 ú
êë
úû
Û
aij = - a ji
対角成分は
すべて０
=
aij
- a ji
n´ n
31
交代行列の例
é0 - 2
ê
ê2 0
êë
ù
ú
ú
úû
é 0 - 2 5 - 3ù
ê
ú
ê2
ú
0
3
6
ê
ú
ê
ú
-ê 5 3
0
1ú
ê
ú
ê3 - 6 - 1 0 ú
êë
úû
é 0 - 3 4ù
ê
ú
ê
ú
3
0
2
ê
ú
ê
ú
ê- 4 - 2 0ú
êë
ú
û
é0 - 1 - 2 2 ù
ê
ú
ê1
ú
0
5
3
ê
ú
ê
ú
2
5
0
4
ê
ú
ê
ú
ê- 2 - 3 4
0 úú
êë
û
32
練習
以下の行列はすべて交代行列である。
このとき、x , y , z を求めよ。
（１）
（３）
é0 x ù
ê
ú
ê3 0 ú
êë
úû
é0
ê
êx
ê
ê
ê- 5
ê
ê2
êë
2 5 - 2ù
ú
0 4 - 6úú
ú
y 0 z ú
ú
6 7 0 úú
û
（２）
é0 2 4 ù
ê
ú
ê
ú
-ê 2 x - 1ú
ê
ú
êy z 0 ú
êë
ú
û
（4）
é0 - 1
ê
êx
0
ê
ê
ê- 3 - 5
ê
ê- 1 y
êë
1ù
ú
5 3 úú
ú
0 - 4ú
ú
z 0 úú
û
3
33
対称行列と交代行列の性質１
（性質）：対称行列と交代行列の性質
n´ n
任意の
行列
A
に対して、
A + t A は対称行列であり、
A - tA
は交代行列である。
証明
t
t
(A
t
t
t
(t A ) =
t
t
t
t
(t A ) =
t
+ A )= A +
(A -
A )= A -
A +A
A - A = - (A - t A )
QED
34
対称行列と交代行列の性質２
（性質）：行列の対称行列と交代行列への分解
任意の正方行列 A は、対称行列と交代行列の
和で表現できる。
証明
A + t A は対称行列であり、
A - t A は交代行列である。
よって、
A =
1
1
t
A
+
A
+
(
) (A - t A )
2
2
QED
35
例
é0
4 - 1ù
ê
ú
ê
ú
A = ê- 2 - 3 - 4ú
ê
ú
ê5
ú
0
2
êë
ú
û
é0
4
ê
ê
A + t A = ê- 2 - 3
ê
ê5
0
êë
é0
4
ê
ê
A - t A = ê- 2 - 3
ê
ê5
0
êë
é
- 1ù
ú ê0
ú ê
- 4ú+ ê 4
ú ê
ê- 1
2ú
ú
û êë
é
- 1ù
ú ê0
ú ê
- 4ú- ê 4
ú ê
ê- 1
2ú
ú
û êë
- 2 5ù
ú
ú
- 3 0ú=
ú
- 4 2ú
ú
û
- 2 5ù
ú
ú
- 3 0ú=
ú
- 4 2ú
ú
û
é0 2
4ù
ê
ú
ê
ú
ê2 - 6 - 4ú
ê
ú
ê4 - 4 4 ú
êë
ú
û
é 0 6 - 6ù
ê
ú
ê
ú
-ê 6 0 - 4ú
ê
ú
ê6 4 0 ú
êë
ú
û
é0 1
ù é 0 3 - 3ù
2
ê
ú ê
ú
1
1
ê
ú
ê
ú
t
t
A
+
A
+
A
A
=
1
3
2
+
3
0
2
(
) (
) ê
ú ê
ú=
2
2
ê
ú ê
ú
ê2 - 2 2 ú ê 3 2 0 ú
êë
ú
ú
û êë
û
é0
ù
4
1
ê
ú
ê
ú
-ê 2 - 3 - 4ú= A
ê
ú
ê5
0
2ú
êë
ú
û
36
練習
次の行列を対称行列と交代行列の和で表せ。
（１）
é- 2 5ù
ú
A = êê
ú
êë 3 4ú
û
é1
ù
0
0
ê
ú
ê
ú
B
=
2
5
2
ê
ú
（２）
ê
ú
ê3
0 0ú
êë
ú
û
37
正則行列（重要）
（定義）：正則行列
n ´ n 行列
A
に対して、
AX = XA = I
を満たす正方行列 X があるとき、
A を正則行列という。また、このとき、
X を A の逆行列といい、
A 1
と書く。
逆行列が存在する行列が正則行列である。
正則行列の逆行列もまた正則行列である。
38
正則行列の性質１
（性質）：逆行列の一意性
正則な行列 A の逆行列は唯一つ存在する。
証明） 背理法による。
２つの逆行列X 1, X 2(¹ X 1 ) が存在すると仮定する。 （背理法の仮定）
定義より、
A X 1 = X 1A = I
A X 2 = X 2A = I
L (1)
L (2)
が成り立つ。ここで、（１）の両辺に X 2 を左から乗じる。
AX1 = I
\ X 2 (A X 1 ) = X 2I
\ (X 2A )X 1 = X 2
\ IX 1 = X 2
\ X1 = X2
これは矛盾である。
QED
39
正則行列の性質２
（性質）：正則行列と演算
A , B を n ´ n の正則行列とする。
このとき、次式が成り立つ。
（１） A
- 1
（２） A B
（３） A
t
も正則行列であり、 (A
- 1 - 1
)
= A
。
- 1
- 1
- 1
A
B
=
B
A
(
)
(
)(
)。
も正則行列であり、
t
- 1
も正則行列であり、( A )
=
t
(A - 1 )。
40
証明
（１） (A
- 1 - 1
)
= A
C º A - 1 とおく。
C A = A - 1A = I
AC = AA- 1 = I
よって、定義より A は C の逆行列。
\ A =C
- 1
= (A
- 1 - 1
)
41
- 1
- 1
- 1
A
B
=
B
A
(
)
(
)(
)
（２）
C º AB
とおく。
C (B - 1A - 1 ) = (A B )(B - 1A - 1 ) = A (BB - 1 )A - 1 = A IA - 1 = A A - 1 = I
(B - 1A - 1 )C
= (B - 1A - 1 )(A B ) = B - 1 (A - 1A )B = BIB - 1 = BB - 1 = I
よって、定義より(B - 1A - 1 ) は C
の逆行列。
- 1
- 1
- 1
- 1
B
A
=
C
= (A B )
( )( )
42
（３）
- 1
t
(A)
C º
A
- 1
(A )
とおく。
- 1
(A ) =
t
- 1
(A )C
t
C
t
t
t
=
t
=
よって、定義より
t
A
t
- 1
t
t
t
(A ) = (A - 1A ) =
- 1
(A ) A
t
- 1
=
(A A - 1 ) =
t
I = I
t
I = I
- 1
A
( ) は C の逆行列。
(A ) = C
- 1
=
t
- 1
(A)
QED
43
練習
次式を証明せよ。
- 1
（１）
(A B C D ) = D - 1C - 1B - 1A - 1
（２）
t
（３）
(A B C D ) =
(P
- 1
AP
k
)
t
D tC t B t A
= P - 1A k P
44
２次の逆行列（復習）
a b
A

c
d


とする。
A の求め方
乗算する符号が正
a b


c
d


A  ad  bc
乗算して符号が負
A 1 の求め方
A  0 を確認して、
a b


c
d


交換
乗算して符号が負
1
A
1  d b 
A 


A  c a 
1
倍
45
例題
é7
5ù
ê
ú
A = ê
ú
êë- 3 - 2ú
û
é1 0 ù
ú
B = êê
ú
êë2 - 1ú
û
に対して、次式が成り立つことを確かめよ。
（１） (A
解）
（１）
- 1 - 1
)
= A
- 1
（２） (A B ) = (B
- 1
- 1
)(A )
t
- 1
（３）( A ) =
t
A = 7 ´ (- 2) - 5 ´ (- 3) = 1
é- 2 - 5ù
- 1
ú
\ A = êê
ú
3
7
êë
ú
û
- 1
A =1
é7
5ù
- 1 - 1
ú
\ (A ) = êê
ú
3
2
êë
ú
û
é7
5 ùé- 2 - 5ù
ê
úê
ú=
ê- 3 - 2úê 3
7ú
êë
úê
ú
ûë
û
é1 0ù
ê
ú
ê0 1ú
êë
ú
û
é- 2 - 5ùé 7
5ù
ê
úê
ú=
ê3
7 úê
- 3 - 2ú
êë
úê
ú
ûë
û
é1 0ù
ê
ú
ê0 1ú
êë
ú
û
46
(A - 1 )
- 1
- 1
- 1
A
B
=
B
A
(
)
(
)(
)
（２）
é7
5ù
ê
ú
A = ê
ú
êë- 3 - 2ú
û
B = 1 ´ (- 1) - 0 = - 1
é1 0 ù
ú
B = êê
ú
2
1
êë
ú
û
é7
5 ùé1 0 ù
úê
ú=
A B = êê
úê
ú
3
2
2
1
êë
úê
ú
ûë
û
é17 - 5ù
ê
ú
ê- 7 2 ú
êë
ú
û
A B = 17 ´ 2 - (- 5)(- 7) = - 1
1 éê2 5 ù
ú=
\ (A B ) =
- 1 êêë7 17ú
ú
û
- 1
\ B
- 1
B A
- 1
- 1
1 éê- 1 0ù
ú=
=
- 1 êêë- 2 1ú
ú
û
é1 0 ùé- 2 - 5ù
úê
ú=
= êê
úê
3
7ú
êë2 - 1úê
ú
ûë
û
é1 0 ù
ê
ú
ê2 - 1ú
êë
ú
û
é- 2 - 5 ù
ê
ú
ê- 7 - 17ú
êë
ú
û
é- 2 - 5 ù
ê
ú
ê- 7 - 17ú
êë
ú
û
47
t
- 1
（３）( A )
=
t
(A - 1 )
é7
5ù
ê
ú
A = ê
ú
êë- 3 - 2ú
û
t
t
A
- 1
é- 2 - 5ù
ú
= êê
7ú
êë 3
ú
û
é7 - 3ù
ú
A = êê
ú
5
2
êë
ú
û
A = 7 ´ (- 2) - (- 3) ´ 5 = 1
\
t
- 1
(A)
é- 2 3ù
ú
= êê
ú
êë- 5 7ú
û
\
t
é- 2 3ù
(A ) = êê- 5 7úú
êë
ú
û
- 1
48
n
次の逆行列について
n
一般の 次の逆行列は、
２次の逆行列を求めるときのうように、
簡単に求めることはできない。
２次
公式
a b
A

c
d


1  d b 
A 


A  c a 
1
n次
A
A'
行列の行基本変形
A ''
A 1
49