Transcript ｽﾗｲﾄﾞ ﾀｲﾄﾙなし

３．正方行列
1
正方行列
正方行列
行と列の数が等しい行列、すなわち
n ´ n 行列、 (n, n )
n 次の正方行列という。
例
型の行列のことを
[3] ：１次の正方行列
é- 1 2ù
ê
ú ：２次の正方行列
ê 2 4ú
êë
úû
é2 3 1ù
ê
ú
ê
ú
1
1
8
ê
ú ：３次の正方行列
ê
ú
ê2 - 2 3ú
êë
úû
2
正方行列のイメージ
一般の行列
m´ n
長方形
正方行列
n´ n
正方形
3
単位行列
正方行列にしか、単位行列
は定義されないので注意すること。
正方行列のなかで、対角成分が１で、それ以外の成分
は0である行列を単位行列といい、
é1
ê
ê0
ê
ê
E = ê0
ê
êM
ê
ê
êêë0
0ù
ú
Múú
ú
ú
ú
1 0úú
ú
0 1úú
û
0
0 L
1
0
0 O
L
で表す。特に、次数にも注意するきには、
En
と書いて、 n 次のn ´ n
の単位行列を表す。
4
例
é1 0ù
ú
E 2 = êê
ú
0
1
êë
ú
û
é1
ê
ê0
ê
E4 = ê
ê0
ê
êê0
ë
0 0 0ù
ú
1 0 0ú
ú
ú
0 1 0ú
ú
0 0 1ú
ú
û
é1 0 0ù
ê
ú
ê
ú
E 3 = ê0 1 0ú
ê
ú
ê0 0 1ú
êë
ú
û
é1
ê
ê0
ê
ê
E = ê0
ê
ê0
ê
ê0
êë
0 0 0 0ù
ú
1 0 0 0ú
ú
ú
0 1 0 0ú
ú
0 0 1 0ú
ú
0 0 0 1ú
ú
û
5
単位行列の性質
Aを任意の正方行列、 A と同じ型の単位行列を E
とする。ことのき次式が成り立つ。
AE = EA= A
6
例題
é2 - 1ù
ú
A = êê
ú
êë3 1 ú
û
é1 0ù
ú
E = êê
ú
0
1
úû
ëê
é2 - 1ùé1 0ù é2 ´ 1 + (- 1) ´ 0 2 ´ 0 + (- 1) ´ 1ù
ú=
úê
ú= ê
A E = êê
úê0 1ú ê 3 ´ 1 + 1´ 0
3 ´ 0 + 1´ 1 ú
ê
ú
êë3 1 úê
ú
ûë
û ë
û
é1 0ùé2 - 1ù é1´ 2 + 0 ´ 3 1´ (- 1) + 0 ´
úê
ú= ê
EA = êê
úê3 1 ú ê0 ´ 2 + 1´ 3 0 ´ (- 1) + 1´
0
1
êë
úê
ú
ûë
û êë
1ù
ú=
1ú
ú
û
é2 - 1ù
ê
ú
ê3 1 ú
êë
ú
û
é2 - 1ù
ê
ú
ê3 1 ú
êë
ú
û
7
練習
éa b c ù
ê
ú
ê
ú
A = êd e f ú
ê
ú
êg h i ú
êë
ú
û
é1 0 0ù
ê
ú
ê
ú
E = ê0 1 0ú
ê
ú
ê0 0 1 ú
úû
ëê
とする。このとき、次の式が成り立つことを確かめよ。
AE = EA= A
8
（正方行列の）トレース
トレース
A = [aij ]
に対して、対角成分の総和を
トレースといい、
trA
と表す。すなわち、
tr A º
n
å
aii = a11 + a22 + L + ann
i= 1
éa11 a12 L a1n ù
ê
ú
êa21 a22
ú
ú
A = êê
O Mú
êM
ú
êa
ú
L
a
m
1
mn
êë
ú
û
9
例題
次の行列のトレースをそれぞれ求めよ。
é3
8ù
ê
ú
A= ê
ú
êë- 3 - 2ú
û
é- 2 2 7 ù
ê
ú
ê
ú
B = ê3 1 - 3ú
ê
ú
ê2
ú
0
4
êë
ú
û
é- 3
ê
ê0
ê
C = ê
ê2
ê
êê2
ë
3 0 ù
ú
5 2 - 1ú
ú
ú
3 4 0 ú
ú
- 1 1 - 2ú
ú
û
3
解）
tr (A ) = 3 - 2 = 1
tr (B ) = - 2 + 1 + 4 = 3
tr (C ) = - 3 + 5 + 4 - 2 = 4
10
練習
次の行列のトレースをそれぞれ求めよ。
é- 2 8ù
ú
A = êê
ú
4
1
êë
ú
û
é- 4
ê
ê1
ê
C = ê
ê- 1
ê
êê8
ë
- 2 3 - 1ù
ú
6
0 1 úú
ú
3
7 2 ú
ú
2 1 - 1úú
û
é0 2 6 ù
ê
ú
ê
ú
B = ê1 2 - 3ú
ê
ú
ê2 0 - 5ú
úû
ëê
é9
ê
ê- 2
ê
ê
D = ê- 3
ê
ê6
ê
ê0
êë
-2 4 1 ù
ú
-1 0 2 3 ú
ú
ú
5 3
4 5 ú
ú
6 0 2 3 ú
ú
7 1
2 - 5ú
ú
û
4
11
トレースの性質
A = [aij ], B = [bij ] を
n´ n
行列とし、 c をスカ
ラーとする。このとき、以下の式が成り立つ。
（１）tr( A ± B ) = tr A
（２） tr (cA ) = c (tr A )
（３） tr(A B ) = tr( BA )
t
（４） tr ( A ) = tr A
± tr B
積のチェックに使える。
12
証明
（１）
tr(A ± B ) = tr A ± tr B
左辺 = tr (A ± B )
= tr([aij ] ± [bij ])
=
n
å
([aii ] ± [bii ])
i= 1
æn
ö
ç
= çå [aii ]÷
±
÷
÷
çè i = 1
ø
= 右辺
æn
ö
ççå [bii ]÷
÷
çè i = 1 ø÷
13
（２） tr (cA ) = c (tr A )
左辺 = tr (cA )
= tr( c[aij ])
n
=
å
(c[aii ])
i= 1
æn
ö
÷
ç
= c çå [aii ]÷
÷
çè i = 1
ø
= 右辺
14
（３） tr(A B ) = tr( BA )
とする。
C = A B = [cij ] D = BA = [dij ]
左辺 = tr (A B )
右辺 = tr (BA )
= tr([cij ])
= tr([dij ])
n
=
å
n
([cii ])
i= 1
=
å
([dii ])
i= 1
æn
ö
ç
= å çå aikbki ÷
÷
÷
ç
è
ø
i= 1 k= 1
n
æn
ö
ç
= å çå bilali ÷
÷
÷
ç
ø
i= 1 è l= 1
n
よって、左辺＝右辺
15
（３）のイメージ
tr(A B )
a11b11 a12b21 L
a1kbk 1 L
a1nbn 1
c11
a21b12 a22b22
M
O
M
M
al 1b1l
L
alkbkl
alnbnl
M
an 1b1n
tr(BA )
d11
L
O
M
ankbkn L
annbnn
cll
dkk
16
t
tr
( A ) = trA
（４）
左辺 = tr (t A )
= tr( t [aij ])
n
=
t
(
å [aii ])
i= 1
n
=
å
([aii ])
i= 1
= 右辺
QED
17
例題
1 2
B

3
0


1 1
A

0
2


AB  BA
解
1
AB  
0
1
BA  
3
および
1 1
2 3
2 1
0 0
とする。このとき、
tr  AB  tr  BA を確かめよ。
2  4


0  6
1 1


2 3
2
0
5
3
よって、
AB  BA
tr( AB)  4  0  4
tr(BA)  1  3  4
よって、
tr  AB  tr  BA
18
0 1 2 
2 0
3 1 0 


B

A  0 1 0 

 とする。このとき、
1 1 1
1 0 2
練習 1
AB  BA
および tr
 AB  tr  BA
を確かめよ。
19
行列のべき乗
正方行列に対しては、行列のべき乗が定義できる。
A Î M n (K ) に対して、
Ak º A
A3
144A42L444
k
と定義する。また、
A 0 º En
とする。
n´ n
n´ n n´ n
n 次の正方行列同士を
乗じると、
また n 次の正方行列になる。
20
べき等行列
AA = A となる行列をべき等行列という。
べき等行列は、
Ak = A
(k ³ 1)
も成り立つ。
21
例
（１）
é- 2 - 6ù
ê
ú
ê1
ú
3
êë
úû
é- 2 - 6ùé- 2 - 6ù é 4 - 6 12 - 18ù é- 2 - 6ù
ê
úê
ú= ê
ú= ê
ú
ê1
úê
ú
ê
ú
ê
ú
3
1
3
2
+
3
6
+
9
1
3
êë
úê
ú
ú
ú
ûë
û êë
û êë
û
（２）
é- 4 10ù
ê
ú
ê- 2 5 ú
êë
ú
û
é- 4 10ùé- 4 10ù é16 - 20 - 40 + 50ù é- 4 10ù
ê
úê
ú ê
ú ê
ú
ê- 2 5 úê- 2 5 ú= ê8 - 10 - 20 + 25ú= ê- 2 5 ú
êë
úê
ú
ú
ú
ûë
û êë
û êë
û
22
べき零行列
Ak = O
となる自然数k が存在するような行列。
べき等行列は、
Ak' = O
(k ' ³ k )
も成り立つ。
23
例
é1 - 1ù
１． A = ê
ú
ê1 - 1ú
úû
ëê
２．
é2
ê
ê
B = ê1
ê
ê3
êë
é2
ê
ê
B 2 = ê1
ê
ê3
ëê
é1 - 1ùé1 - 1ù
úê
ú=
A = êê
úê
ú
1
1
1
1
úê
ú
ëê
ûë
û
2
é0 0ù
ê
ú
ê0 0ú= O
ú
ëê
û
4 - 3ùú
ú
3 - 2ú
ú
7 - 5úú
û
ù é- 1 - 1 1ù
4 - 3ùé
2
4
3
úê
ú ê
ú
úê
ú ê
ú
3 - 2úê1 3 - 2ú= ê- 1 - 1 1ú
úê
ú ê
ú
ú ê- 2 - 2 2ú
7 - 5úê
úê3 7 - 5ú
ú
ûë
û êë
û
é- 1 - 1 1ùé2 4 - 3ù é0 0 0ù
ê
úê
ú ê
ú
ê
úê
ú
ê
ú
B 3 = ê- 1 - 1 1úê1 3 - 2ú= ê0 0 0ú= O
ê
úê
ú ê
ú
ê- 2 - 2 2úê3 7 - 5ú ê0 0 0ú
ú
úê
ú êë
û
ëê
ûë
û
24
例２
次の一連の行列はべき零行列である。
é0 1ù
é0
2
ú (J ) = ê
J 2 = êê
2
ú
ê0
0
0
êë
úû
êë
é0 1 0ù
é0 1
ê
ú
ê
ê
ú
3
J 3 = ê0 0 1ú (J 3 ) = êê0 0
ê
ê
ú
ê0 0
ê0 0 0ú
êë
êë
úû
é0 1 0 0ù
ê
ú
4
ê0 0 1 0ú
ê
ú (J 4 ) = O
J4 = ê
ú
0
0
0
1
ê
ú
ê
ú
êê0 0 0 0úú
ë
û
1ùé0 1ù é0 0ù
úê
ú= ê
ú
ú ê0 0ú
0úê
0
0
ú
úê
ú
û
ûë
û êë
ùé0 1 0ù
0ùé
0
1
0
úê
úê
ú
úê
úê
ú
1úê0 0 1úê0 0 1ú=
úê
úê
ú
úê
úê
0úê0 0 0úê0 0 0ú
ú
ûë
ûë
û
é0 0 1ùé0 1 0ù
ê
úê
ú
ê
úê
ú
0
0
0
0
0
1
ê
úê
ú
ê
úê
ú
ê0 0 0úê0 0 0ú
êë
úê
ú
ûë
û
25
対称行列
A = A なる n 次の正方行列を
（ n 次の）対称行列という。すなわち、
t
A = [aij ]が対称行列
Û
aij = aji
=
aji
aij
n´ n
鏡
26
対称行列の例
é1 2 ù
ê
ú
ê2 3 ú
êë
úû
é- 2
ê
ê1
ê
ê
ê- 3
ê
êê1
ë
1 - 3 1ù
ú
1 4
0úú
ú
4 3
7ú
ú
0 7
6úú
û
é 2 - 2 2ù
ê
ú
ê
ú
ê- 2 - 4 3ú
ê
ú
ê2
ú
3
6
êë
úû
éx
ê
êa
ê
ê
êb
ê
êc
êë
a b cù
ú
y d e úú
ú
d z fú
ú
e f w úú
û
27
練習
以下の行列はすべて対称行列である。
このとき、x, y, z を求めよ。
（１） éê0 x ù
ú
ê6 - 3 ú
êë
úû
é6
ê
（３） êê4
ê
êy
ê
êê5
ë
4 - 3 5ù
ú
3 x
0úú
ú
4 - 1 2ú
ú
0 z
5úú
û
8 ùú
（２） éê7 y
ê
ú
9
2
1
ê
ú
ê
ú
ê8 x
3 úú
êë
û
（4）
é2
ê
êy
ê
ê
ê1
ê
êêz
ë
x 2 ù
ú
1
0 - 1úú
ú
0 3 2 ú
ú
- 1 2 6 úú
û
1
28
交代行列
A = - A なる n 次の正方行列を
（ n 次の）交代行列（歪対称行列）という。
t
すなわち、
A = [aij ]が交代行列
é 0 a12 L a1n ù
ê
ú
ê- a12 0
a2n úú
ê
ê
ú
O Mú
êM
ê
ú
ê- a1n - a2n L 0 ú
êë
úû
Û
aij = - aji
対角成分は
すべて０
=
aij
- aji
n´ n
29
交代行列の例
é0 - 2
ê
ê2 0
êë
ù
ú
ú
úû
é 0 - 2 5 - 3ù
ê
ú
ê2
ú
0
3
6
ê
ú
ê
ú
-ê 5 3
0
1ú
ê
ú
êê 3 - 6 - 1 0 úú
ë
û
é 0 - 3 4ù
ê
ú
ê
ú
3
0
2
ê
ú
ê
ú
ê- 4 - 2 0ú
êë
úû
é0 - 1 - 2 2 ù
ê
ú
ê1
ú
0
5
3
ê
ú
ê
ú
2
5
0
4
ê
ú
ê
ú
êê- 2 - 3 4
0 úú
ë
û
30
練習
以下の行列はすべて交代行列である。
このとき、x, y, z を求めよ。
（１）
（３）
é0 x ù
ê
ú
ê3 0 ú
êë
úû
é0
ê
êx
ê
ê- 5
ê
ê
êê 2
ë
2 5 - 2ù
ú
0 4 - 6úú
y 0 z úú
ú
6 7 0 úú
û
（２）
é0 2 4 ù
ê
ú
ê
ú
-ê 2 x - 1ú
ê
ú
êy z 0 ú
êë
úû
（4）
é0 - 1
ê
êx
0
ê
ê
ê- 3 - 5
ê
êê- 1 y
ë
1ù
ú
5 3 úú
ú
0 - 4ú
ú
z 0 úú
û
3
31
対称行列と交代行列の性質１
n´ n
任意の
行列
A に対して、
A + t A は対称行列であり、
A - tA
は交代行列である。
証明
t
(A + tA ) = tA +
t
(tA ) =
t
t
(A - tA ) = tA -
t
(tA ) =
t
A+A
A - A = - (A - t A )
QED
32
対称行列と交代行列の性質２
任意の正方行列 A は、対称行列と交代行列の
和で表現できる。
証明
A + t A は対称行列であり、
A - t A は交代行列である。
よって、
A=
1
1
t
A
+
A
+
(
) (A - tA )
2
2
QED
33
例
é0
4 - 1ùú
ê
ê
ú
A = ê- 2 - 3 - 4ú
ê
ú
ê5
ú
0
2
êë
úû
é0
4
ê
ê
A + t A = ê- 2 - 3
ê
ê5
0
êë
é0
4
ê
ê
A - t A = ê- 2 - 3
ê
ê5
0
êë
é
- 1ù
ú ê0
ú ê
- 4ú+ ê 4
ú ê
ê- 1
2ú
ú
û êë
é
- 1ù
ú ê0
ú ê
- 4ú- ê 4
ú ê
ê- 1
2ú
ú
û êë
é
- 2 5ù
ú ê0 2
ú ê
- 3 0ú= ê2 - 6
ú ê
ê4 - 4
- 4 2ú
ú
û êë
é
- 2 5ù
ú ê0 6
ú ê
- 3 0ú= ê- 6 0
ú ê
ê6 4
- 4 2ú
ú
û êë
4ù
ú
ú
- 4ú
ú
4ú
ú
û
- 6ù
ú
ú
- 4ú
ú
0ú
ú
û
é0 1
ù é 0 3 - 3ù é 0
ù
2
4
1
ê
ú ê
ú ê
ú
1
1
ê
ú
ê
ú
ê
ú
t
t
A
+
A
+
A
A
=
1
3
2
+
3
0
2
=
2
3
4
(
) (
) ê
ú ê
ú ê
ú= A
2
2
ê
ú ê
ú ê
ú
ê2 - 2 2 ú ê 3 2 0 ú ê 5
0
2ú
êë
ú
ê
ú
ê
ú
û ë
û ë
û
34
練習
次の行列を対称行列と交代行列の和で表せ。
（１）
é- 2 5ù
ú
A = êê
ú
êë 3 4ú
û
é1
ù
0
0
ê
ú
ê
ú
B
=
2
5
2
ê
ú
（２）
ê
ú
ê3
0 0úú
êë
û
35
正則行列（重要）
正則行列
n ´ n 行列
A
に対して、
AX = XA= E
を満たす正方行列 X があるとき、
Aを正則行列という。また、このとき、
X を A の逆行列といい、
A1
と書く。
逆行列が存在する行列が正則行列である。
正則行列の逆行列もまた正則行列である。
36
正則行列の性質１
（逆行列の一意性）
正則な行列 A の逆行列は唯一つ存在する。
証明） 背理法による。
２つの逆行列X 1, X 2(¹ X 1) が存在すると仮定する。 （背理法の仮定）
定義より、
A X 1 = X 1A = E
L (1)
A X 2 = X 2A = E
L (2)
が成り立つ。ここで、（１）の両辺に X 2 を左から乗じる。
AX1 = E
\ X 2 (A X 1 ) = X 2E
\ (X 2A )X 1 = X 2
\ EX 1 = X 2
\ X1 = X2
これは矛盾である。
QED
37
正則行列の性質２
（正則行列と演算）
A, B を n ´
n
の正則行列とする。
このとき、次式が成り立つ。
（１） A
-1
（２） A B
（３） A
t
も正則行列であり、 (A
-1 -1
)
=A
。
-1
-1
-1
A
B
=
B
A
(
)
(
)(
)。
も正則行列であり、
t
-1
も正則行列であり、( A )
=
t
(A - 1 )。
38
証明
（１） (A
-1 -1
)
=A
C º A - 1 とおく。
CA = A - 1A = E
AC = AA - 1 = E
よって、定義より A は C の逆行列。
\ A=C
-1
= (A
-1 -1
)
39
-1
-1
-1
A
B
=
B
A
(
)
(
)(
)
（２）
C º AB
とおく。
C (B - 1A - 1 ) = (A B )(B - 1A - 1 ) = A (BB - 1 )A - 1 = A EA - 1 = A A - 1 = E
(B - 1A - 1 )C
= (B - 1A - 1 )(A B ) = B - 1 (A - 1A )B = BEB - 1 = BB - 1 = E
よって、定義より(B - 1A - 1 ) は C の逆行列。
(B )(A ) = C
-1
-1
-1
-1
= (A B )
40
（３）
-1
t
( A)
=
C º A
t
(A ) =
(A )
-1
とおく。
t
t
t
E=E
t
t
E=E
(A ) = (A - 1A ) =
-1
t
A
(A )C
t
(A ) A = (A A - 1 ) =
C
t
t
t
-1
=
よって、定義より
t
-1
-1 t
t
- 1
A
( ) は C の逆行列。
(A ) = C
-1
-1
=
t
-1
( A)
QED
41
２次の逆行列（復習）
a b
A
 とする。
c
d


A の求め方
乗算する符号が正
a b
c d


A  ad  bc
乗算して符号が負
A1 の求め方
A  0 を確認して、
a b
c d


交換
乗算して符号が負
1
A 倍
1  d b 
A  
A  c a 
1
42
例題
é7
5ù
ê
ú
A= ê
ú
êë- 3 - 2ú
û
é1 0 ù
ú
B = êê
ú
êë2 - 1ú
û
に対して、次式が成り立つことを確かめよ。
（１） (A
-1 -1
)
=A
-1
（２） (A B ) = (B
-1
)(A )
-1
t
-1
（３）( A ) =
t
解）
（１）
A = 7 ´ (- 2) - 5 ´ (- 3) = 1
é- 2 - 5ù
- 1
ú
\ A = êê
ú
3
7
êë
ú
û
-1
A =1
é7
5ù
- 1 -1
ú
\ (A ) = êê
-ê 3 - 2ú
ú
ë
û
é7
5 ùé- 2 - 5ù é1 0ù
é- 2 - 5ùé 7
5ù
ê
úê
ú= ê
ú
ê
úê
ú=
ê- 3 - 2úê 3
ê0 1ú
ê3
7ú
7 úê
- 3 - 2ú
êë
úê
ú
ê
ú
ê
úê
ú
ûë
û ë
û
ë
ûë
û
é1 0ù
ê
ú
ê0 1ú
êë
ú
û
43
(A - 1 )
-1
-1
-1
A
B
=
B
A
(
)
(
)(
)
（２）
é7
5ù
ê
ú
A= ê
ú
êë- 3 - 2ú
û
B = 1´ (- 1) - 0 = - 1
é1 0 ù
ú
B = êê
ú
2
1
êë
ú
û
é7
5 ùé1 0 ù é17 - 5ù
úê
ú= ê
ú
A B = êê
úê
ú
ê
-ê 3 - 2úê2 - 1ú ê- 7 2 ú
ú
ë
ûë
û ë
û
A B = 17 ´ 2 - (- 5)(- 7) = - 1
\ B
-1
B A
-1
-1
1 éê- 1 0ù
ú=
=
- 1 êêë- 2 1ú
ú
û
é1 0 ù
ê
ú
ê2 - 1ú
êë
ú
û
é1 0 ùé- 2 - 5ù é- 2 - 5 ù
úê
ú= ê
ú
= êê
úê
ú
ê
3
7 ú ê- 7 - 17ú
êë2 - 1úê
ú
ûë
û ë
û
é- 2 - 5 ù
1 éê2 5 ù
ú= ê
ú
\ (A B ) =
ê- 7 - 17ú
- 1 êêë7 17ú
ú
ú
û êë
û
-1
44
t
-1
（３）( A )
=
t
(A - 1 )
é7
5ù
ê
ú
A= ê
ú
êë- 3 - 2ú
û
t
t
A
-1
é- 2 - 5ù
ú
= êê
7ú
êë 3
ú
û
é7 - 3ù
ú
A = êê
ú
5
2
êë
ú
û
A = 7 ´ (- 2) - (- 3) ´ 5 = 1
\
t
-1
( A)
é- 2 3ù
ú
= êê
ú
êë- 5 7ú
û
\
t
é- 2 3ù
(A ) = êê- 5 7úú
êë
ú
û
-1
45
n
次の逆行列について
n
一般の 次の逆行列は、
２次の逆行列を求めるときのうように、
簡単に求めることはできない。
２次
公式
a b
A

c
d


1  d b 
A  
A  c a 
1
n次
A
A'
行列の行基本変形
A''
A1
46