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線形代数学
第２章 行列
平成１６年０６月１０日
発表者：藤村元彦
行列の演算
行列間には次の3種類の演算が考えられる。
１．スカラー乗法 任意の(m,n)行列A=(aij)と、任意のスカ
ラーλに対し、
λA=(λaij)
と定義される。
２．和 同じ型の(m,n)行列、 A=(aij) 、 B=(bij)に対し、
A +B= (aij+bij)
と定義される。
３．積 (l,m)行列A=(aij)と、(m,n)行列B=(bｊｋ)の間にC=A・
Bとして、
 m

cik     a ij b jk 

と定義される。
j 1

行列の演算２
全ての成分が0の行列を零行列といい、以下の
クロネッカーのデルタ
1
0
 ij  
i  j 
i  j 
i, j  1,, n
で表される、行列I＝(δij)を単位行列という。
AB=BA=Iをみたす正方行列BがあればBをAの逆行列と
いい、A-1で表し、Aは正則であるという。
(m,n)行列A=(aij)と、(n,m)行列B=(bji)の間に、aij=bjiのよ
うに行列の行と列を転置させた関係をもつ行列Bを、Aの転
置行列といいATで表す。
写像としての行列
(m,n)行列Aが与えられた時、(n,1)行列xをn次元の列ベク
トルと同一視して、Aの右からかけると、その結果として
(m,1)行列yが、すなわちm次元列ベクトルを得る。これはKn
からKmへの写像を表わすと考えられる。
y=A・x
この写像は、基本的な演算＋と・(スカラー倍)とを移った先
の集合でもそのまま保存する、という性質を持っている。写
像がこの性質をもつとき、線形であるという。
写像としての行列２
KnからKmへの線形写像φ1、φ2があるとき、その和φ1＋φ2
を次のように定める。 Knの任意のベクトルxに対し、
(φ1＋φ2） (x) ＝ φ1(x) ＋φ2(x)
また、線形写像φのスカラー倍λφは、
(λφ） (x) ＝ λ(φ(x) )
と定める。
KnからKmへの線形写像φとそれに対応する行列Aとは別
の概念であるが、数ベクトルの空間を考える限り区別するこ
とはあまり意味がないので、写像Aというような言い方をす
ることもある。
線形写像の簡単な性質
φをKnからKmへの線形写像するとき、その和
φ(Kn)={φ(x):x∈Kn｝をφの値域、Kerφ={x:φ(x)=0}をφの核
という。 また、φの値域がKm全体であるとき、φを上への写
像という。 Knの異なる元がφで写されても必ず異なるとき、
φは1対1であるという。
例題
R2上でベクトル 1を  2  へ、  2  を
1  3 
 1
Aを求めよ。
   
 
解
 1 へに移す行列
2
 
1  2 
 2  1 
A     、 A     をひとまとめにかくと、
1  3 
1  2 
1
A
1
2  2


 1 3
1
右から 1

2
 1

1
となる。
2

1

1 1
3
1
2
1 3
をかけると、A  3 5
 1


3
4

行列の階数
1 1 1 1
A

2
2
2
2


上のような行列Aを考えると、これはK4からK2への線形写
像を定めるが実際にK4のベクトルを写してみると、
1
y  Ax  x1  x2  x3  x4  
2
となっており、写した先のベクトルは全て1つのベクトルのス
カラー倍に過ぎない。この場合Aの値域は1次元であり4次
元から1次元へと潰れている。
行列の階数２
行列Aの値域の次元を、Aの階数(rank)といい、rankAで
表す。
A  a1 a2  an 
上のAを適当に順序を入れ替えてa1、･･･、akまでは1次独
立だが、それらにak+1、･･･、anのどれを加えても1次従属
になったとすると、実質的にはAの値域はa1、･･･、akに
よって張られていることになり、k次元であることがわ
かる。
つまりその場合は、rankA=k となる。
行列の変形
以下3種類の正則な行列をかける事で階数を調べること
が可能である。これらの行列を基本行列といい、これらをか
けることを基本変形という。
P









∨
ｉ
1










c

1
 P i:c c  0 P-1 
















1
∨
ｊ


 
ｉ＞








R
1
c









1










 R i, j :c c  0 R-1 

















1
c











1









1


c











1
∨





















行列の変形２
ｊ
∨
ｉ
1
Q

1
0

1

1


1
1

0
1






















 Q i, j Q1  Q








1
行列Pを左からかけると第i行がc倍され、行列Qをかける
と第i行と第j行が入れ替わり、行列Rをかけると第j行をc倍し
て第i行に加える。右からかける場合は行ではなく列が変化
する。
この操作によって０と１の対角行列を作るように行列を変
化させていけば階数を求めることができる。
逆行列の計算
行列Aが正則であれば、基本変形により単位行列Iに変形
することができる。
A A-1= A-1A=I
からわかるように、基本変形を左もしくは右からのみかける
事で行えば、逆行列を求めることができる。
例えば左からの変形で求めるならA I  とおき行のみで
基本変形を行えばよい。
宿題A
問１ 次の行列は正則か否か。また正則のときは逆行列を
求めよ。
i 
1 2 3 
 2 0 2


3 2 1
ii 
 1 1  1 0
0 1  1 1


 1 0  1  1


0

1
1
0


iii 
 2  1 3 0
 1 2  2  1


4 3
1 2


1

3
3

3


問2 ２次正方行列Aが、任意の２次正方行列Xと可換、す
なわちAX=XAをみたすならば、A=aIの形でなければ
ならない。このことを示せ。
宿題B
0 0 0 0 0 1 1 0
1 0, 0 1, 0 0, 0 0

 
 
 

問3 任意の2次正方行列が
の1次結合であることを示せ。
問4 行列Aが以下の時に、AP=PAをみたす全ての行列P
を求めよ。
1 1
A 
0 1
問5 行列AとPが以下の時に、AをPで表す式を示せ。
 a1 a 2 a3 a 4 
a a a a 
A   4 1 2 3
 a3 a 4 a1 a 2 


a
a
a
a
 2 3 4 1
0
0
P
0

1
1 0 0
0 1 0
0 0 1

0 0 0