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８．線形空間（ベクトル空間）
1
数ベクトルとは？
空間とは？
次元とは？
このようなことを厳密に扱いたい。
その前に、平面とベクトルの関係および、
空間とベクトルの関係を再考する。
まずは、座標を拡張する。
2
平面上のベクトル
3
基本ベクトルと座標
y
1 
e1    の係数
0 
0
e 2    の係数
1 
p  (a, b)
0
e2   
1 
b倍
O
a 倍
x
1 
e1   
0 
p  a e1  b e 2
平面座標は、２本の基本ベクトル
の係数の組とみなせる。
4
ベクトルと点の表現
y
p
 x 21 
x2  

x
 22 
O
b'倍
a' 倍
x
 x1 1 
x1  

x
 12 
p  a ' x1  b ' x 2
2
の点は、
２つのベクトルの係数として
表現できる。（別に、基本ベク
トルでなくてもよい。）
5
平面を表現できない２つのベクトル
しかし、２本の 2  1 ベクトルで平面を表現できないときがある。
この２本のベクトルを何倍して、
加えてもこの点に到達できない。
y
p
1 
x '1   
2
x
O
2 
x '2   
4 
この２本のベクトルでは
直線（１次元）上の点
しか表現できない。
6
空間上のベクトル
7
基本ベクトルと空間座標
y
0
 
e2  1
 
 0 
p  ( a1 , a 2 , a 3 )
a2 倍
a3
0
 
e3  0
 
 1 
O
z
a1 倍
x
1 
 
e1  0
 
 0 
p  a1e1  a 2 e 2  a 3 e 3  a1 i  a 2 j  a 3 k
空間座標は、３本の基本ベクトルの係数の組とみなせる。
（３つの基本ベクトルはお互いに直交するので、
直交座標系と呼ばれる。 直交座標系では、次式が成り立つ。）
8
e1 e 2  e 2 e 3  e 3 e 1  0
空間ベクトルと空間の点の表現
p
y
k3
 x 31 


x 3  x 32


 x 33 
z
j
 x21 


x 2  x 22


 x 2 3 
k2
q
 x1 1 


x 1  x1 2


 x1 3 
k1
x
R
3
p  k1 x1  k 2 x 2  k 3 x 3
空間 R 3 の点は、３つのベクトルの係数として表現できる。
このように、直交しないベクトルを用いても、一意に位置が
特定できる。（斜交座標系などと呼ばれる。）
9
空間を表現できない３つのベクトル
しかし、３本の 3  1 ベクトルで空間を表現できないものもある。
z
この３本のベクトルを何
倍して、加えてもこの点
に到達できない。
1 
 
x2 '  0
 
 1 
y
1 
 
x3 '  1
 
 2 
0
 
x1 '  1
 
 1 
3
x
この３本のベクトルでは
平面（２次元）上の点
しか表現できない。
k 本のベクトルが持つ表現能力を
見分ける方法を学ぶ。
10
n次元列ベクトル
定義（ｎ次元列ベクトル）
n 個の実数 の成分 x1 , x 2 , , x n を縦に並べた
n  1 行列をn 項（実数）列ベクトルまたは n 次元ベクトルという。
すなわち、
 x1 
 
x2


x 
 
 
 x n 
は n 次元ベクトル。
11
数ベクトル空間の定義
定義（ｎ次元数ベクトル空間）
n 次元ベクトル全体から成る集合をn次元数ベクトル空間
という。記号では、
n
n
と書く。すなわち、
  x | xは n 次 元 ベ ク ト ル 
記号からもわかるが、n 次元数ベクトル空間は、
の n 個の直積とみなすこともできる。
n




n
12
低次元の実数ベクトル空間の例
y
2
x
O
平面：
２次元（実）ベクトル空間
x3
x2
3
空間：
３次元（実）ベクトル空間
O
x1
13
高次元の数ベクトル空間の例
4
４次元（実）ベクトル空間
5
５次元ベクトル空間
これらの空間は図示できないので、
記号で調べるしかない。
（しかし、例えば、５教科の点数は、５次元ベクトル空間
の１点をみなせる。他にも、一般に、ｎ個のパラメータで
表されるデータはｎ次元空間の１点とみなせる。）
14
線形空間（ベクトル空間）
15
ベクトル空間
定義（ベクトル空間）
集合V が（次ページの）
「和の公理」および
「スカラー倍の公理」
を満たすと、
集合V を線形空間またはベクトル空間という。
数学では、空間は集合の別名で用いられる。
特に、ある特定の性質を満たす集合として、
いろいろな空間が考えだされている。
16
ベクトル空間における和の公理
定義（和の公理）
集合 V の任意の２つの元 a , b Î V に対して、
和
a + b
が定義され、次の性質を満たす。
（１） a + b = b + a
（交換法則）
（２） (a + b ) + c = a + (b + c )
（結合法則）
（３）すべての a Î V について、
a + 0 = 0 + a = a
を満たす元 0 が存在する。
（４）各 a Î V
について、
a + x = x + a = 0
を満たす x
が存在する。
この x
を - a と表記する。
（零元の存在）
（逆元の存在）
17
ベクトル空間におけるスカラー倍の公理
定義（スカラー倍の公理）
集合 V の任意の元 a Î V
に対して、スカラー倍
と、任意の実数 k Î R
ka
が定義され、次の性質を満たす。
（５）
（６）
k (a + b ) = k a + k b
（スカラーの分配法則）
( k + l )a = k a + la
（ベクトルの分配法則）
（７）
( kl )a = k (la )
（スカラーの交換法則）
（８）
1a = a
（単位スカラー倍）
18
ベクトル空間例
（１）平面ベクトル全体
2
¡ = {( x , y ) | x , y Î ¡ }
（２）空間ベクトル全体
3
¡
= {( x , y , z ) | x , y , z Î ¡ }
（３）２次の正方行列全体
M
2
ìï
éa
ï
= í A | A = êê
ï
êëc
ïîï
ü
bù
ï
ú, a , b, c , d Î ¡ ï
ý
ú
ï
dú
ïþ
û
ï
（４）実数係数のn 次多項式全体
F =
{f
| f (x ) = a n x
n
+ a n - 1x
n- 1
0
+ L + a 0x , a i Î ¡
}
19
多項式とベクトル空間
簡単のために、２次式とする。
F2 =
{f
| f (x ) = a x
和
2
+ bx + c , a , b, c Î ¡
}
2
f1 ( x ) = a 1x + b1x + c 1 Î F 2
2
f 2 ( x ) = a 2 x + b2 x + c 2 Î F 2
2
f1 ( x ) + f 2 ( x ) = (a 1 + a 2 )x + (b1 + b2 )x + (c 1 + c 2 ) Î F 2
スカラー倍
k Î ¡
2
f ( x ) = ax + bx + c Î F 2
2
f ( x ) = (ka ) x + (kb ) x + (kc ) Î F 2
20
１次独立と１次従属
21
1次結合
定義（１次結合）
r 個の n 次元ベクトル x 1 , x 2 ,
r 個のスカラー k , k , , k 
1
2
r
k1 x1  k 2 x 2 
, xr 
n
と
に対して、
 kr xr
をベクトルの集合  x 1 , x 2 , , x r  の一次結合という。
また、 k i を x i の係数という。
座標の一種の拡張だと思えばよい。
22
例１（基本ベクトルの一次結合）
y
p  (a, b)
0
e2   
1 
b倍
O
a 倍
1 
e1   
0 
x
p  a e1  b e 2
平面の点 p は、 a と b を係数とする
e1 と e 2 の一次結合で表現できる。
23
例２（一般のベクトルの一次結合）
y
p
 x 21 
x2  

x
 22 
O
b'倍
a' 倍
x
 x1 1 
x1  

x
 12 
p  a ' x1  b ' x 2
平面の点 p は、 a ' と b ' を係数とする
x 1 と x 2 の一次結合で表現できる。
24
行列積による一次結合の表現
一次結合は、行列積を用いても表現可能。
 k r x r   x1
k1 x1  k 2 x 2 
x2
すなわち、一次結合は、
X   x1
Xk
 x11

x12

xk  


 x1 n
x2
x 21
 k1 
 
k2


xr 
 
 
 k r 
 k1 
xk1 
 
k2

, k   
  として、


 
x kn 
 k r 
と書ける。
座標系の拡張
座標の拡張
25
単位ベクトルによるｎ次元ベクトルの表現
単位ベクトルの一次結合によって、任意のｎ次元ベクトル
を表現できる。すなわち、
 x1 
1 
0
 
 
 
x2
0
1





x 
 x1
 x2  
 
 
 
 
 
 
 x n 
0
0
 x1 e1  x 2 e 2 
0
 
 xn  
0
 
1 
 xn e n
単位ベクトルの一次結合は、
単なる座標とみなすことができる。
すなわち、各係数が座標値になる。
26
1次関係式
定義（一次関係式）
r 個の n 次元ベクトル x 1 , x 2 , , x r 
r 個のスカラー実数を係数とした次式
k1 x1  k 2 x 2 
をベクトル集合
こで、 k , k ,
1
2
n
に対して、
 kr xr  0
 x1 , x 2 ,
, kr 
, x r  の一次関係式という。こ
である。
定義（自明な関係式）
係数がすべて0のとき、すなわち
k1  k 2 
 kr  0
のときには、明らかに１次関係式を満たす。
このときの１次関係式を自明な関係式という。
27
1次独立と１次従属（重要）
定義（１次独立と１次従属）
r 個の n 次元ベクトル x 1 , x 2 ,
, xr 
n
に対して、
（１）自明な１次関係式しか存在しないとき、それらのベクト
ル集合 {x 1 , x 2 , L , x r }は、
１次独立
という。
（２）自明でない１次関係式が存在するとき、それらのベクト
ル集合 {x 1 , x 2 , L , x r } は、
１次従属
という。
28
１次独立の判定法１（定義に基づいた方法）
（１）１次独立かどうかを判定したい
x1 , x 2 ,
線形関係式
, xr 
k1 x1  k 2 x 2 
n
r
個のベクトル
に対して
 kr xr  0
を構成する。
（２）上の（１）の線形関係式を同次
解く。
n 元連立方程式とみなして
（３）(I)連立方程式が自明な解しかなければ、
は一次独立である。
 x1 , x 2 , , x r 
(II）連立方程式が自明でない解を持てば、
は一次従属である。
 x1 , x 2 , , x r 
29
一次独立の例１
y
p  (a, b)
0
e2   
1 
b倍
O
a 倍
x
1 
e1   
0 
k 1 e1  k 2 e 2  0
1 
 0   k1   0 
 k1    k 2        
0
1  k2  0 
 k1  k 2  0
よって、 e 1 , e 2 は一次独立。
これ以外に可能性
が無い。
30
一次独立の例２
1 
1 
0
 
 
 
x1  1 , x 2  0 , x 3  1
 
 
 
 0 
 1 
 1 
一次独立かを調べるために、任意のスカラー k1 , k 2 , k 3 を用いて、
k1 x1  k 2 x 2  k 3 x 3  0
とおく。このとき、
1 
1 
 0   k1  k 2   0 
 
 
  
  
k1 1  k 2 0  k 3 1  k1  k 3  0
 
 
  
  
 0 
 1 
 1   k 2  k 3   0 
なので、 k1  k 2  k 3  0 だけしか上の式を満たせない。
よって、 x 1 , x 2 , x 3  は一次独立。
31
一次従属の例
平面を表現できない2個の2次元ベクトル
p
y
は一次従属。
1 
x1   
2
x
O
2 
x2   
4 
連立方程式
k1 x1  k 2 x 2  0
1 
  2   k1  2 k 2   0 
 k1    k 2    
 
2
  4   2 k1  4 k 2   0 
 k1  2 k 2
よって、 x 1 , x 2  は一次従属。
 k1   1   0 
     
k2  2 0
などが存在する。
32
一次従属の例２
1 
1 
2
 
 
 
x1  1 , x 2  0 , x 3  1
 
 
 
 0 
 1 
 1 
３次元ベクトル３本が一次従属に
なるとき、それらは、同じ平面上
かあるいは、同じ直線上にある。
一次独立かを調べるために、任意のスカラー k1 , k 2 , k 3 を用いて、
k1 x1  k 2 x 2  k 3 x 3  0
とおく。このとき、
1 
1 
 2   k1  k 2  2 k 3   0 
 
 
  
  
k1 1  k 2 0  k 3 1 
k1  k 3
 0
 
 
  
  
 0 
 1 
 1   k 2  k 3   0 
 k1   1   0 
例えば、  k    1    0 
 2    
 k 3    1   0 
が存在するので一次従属。
33
一次独立と一次従属の直感的意味
x1 , x 2 ,
, xr 
n
とする。
最後のベクトル x r が他の r  1 個のベクトル
x1 , x 2 ,
, x r 1
で表現できるとき（一次結合で表されるとき）、
その表現能力はベクトル r 本未満分の表現能力
しか無い。
一次従属
どのベクトルも他のベクトルで表現できないとき、
その表現能力を維持するにはどのベクトルが
欠けてもいけない。
一次独立
34
練習
次のベクトルの組（ベクトルの集合）が、一次独立であるか、
一次従属であるかを求めよ。
（１）
é1 ù
x 1 = êê ú
2ú
êë ú
û
x2
é2 ù
= êê ú
1ú
êë ú
û
（２）
é- 4 ù
x 1 = êê ú
6 ú
êë ú
û
{x 1 , x 2 }
{x 1 , x 2 }
（３）
é1 ù
ê ú
ê ú
x 1 = ê2 ú
ê ú
ê3 ú
êë úû
{x 1 , x 2 }
é2 ù
x 2 = êê ú
- 3ú
êë ú
û
（４）
x2
é- 1 ù
ê ú
ê ú
= ê0 ú
ê ú
ê1 ú
êë úû
é0 ù
é1 ù
é1 ù
ê ú
ê ú
ê ú
ê ú
ê ú
ê ú
x 1 = ê- 1 ú x 2 = ê1 ú x 3 = ê0 ú
ê ú
ê ú
ê ú
ê1 ú
ê1 ú
ê0 ú
êë úû
êë úû
êë úû
{x 1 , x 2 , x 3 }
35
１次独立の判定法２（正則性に基づく方法）
（正則行列と１次独立）
A を n 次正方行列とする。とする。
（１） A   a 1
a2
an 
が正則行列であるための必要十分条件は、
 a1 , a 2 ,
, a n  が一次独立。
 b1 
 
b2

 が正則行列であるための必要十分条件は、
B 
 
 
 b n 
（２）

t
t
b1 , b 2 ,
t
, b n  が一次独立。
36
証明
 a1 , a 2 ,
, a n  に対して、１次関係式を考える。
k 1a 1 + k 2a 2 + L + k n a n = 0
Û éêa 1
ë
a2
L
ék 1 ù
ê ú
êk ú
ê 2ú
ù
a n úê ú =
ûê Mú
ê ú
êk ú
êë n úû
é0 ù
ê ú
ê0 ú
ê ú
ê ú
êMú
ê ú
ê0 ú
êë úû
Û Ak = 0
この同時ｎ元１次連立方程式が、自明な解以外を持つため
の必要十分条件は、係数行列が正則なことである。
37
すなわち、
A ¹ 0
ék 1 ù
ê ú
êk ú
ê 2ú
Û k = ê ú=
ê Mú
ê ú
êk ú
êë n ú
û
Û  a1 , a 2 ,
é0 ù
ê ú
ê0 ú
ê ú
ê ú= 0
êMú
ê ú
ê0 ú
êë ú
û
, a n  は１次独立。
また、同様の議論によって、
A = 0 Û
 a1 , a 2 ,
, a n  は１次従属。
Q ED
38
例１
1 
1 
0
 
 
 
x1  1 , x 2  0 , x 3  1
 
 
 
 0 
 1 
 1 
に対して、{x 1 , x 2 , x 3 } は、一次独立だった。よって、
A   x1
x2
1

x3   1

 0
1
0
1
0

1 は正則行列。

1 
実際、
A  0  (1  1)   2  0
39
例２
é1
ê
ê
ê3
ê
ê2
êë
2
1
- 2
- 1 ùú
ú
0 ú
ú
1 ú
úû
よって、
また、
は正則行列である。（各自確かめよ。）
é1 ù é 2 ù é- 1 ù
ê úê úê ú
ê úê úê ú
ê3 ú, ê 1 ú, ê 0 ú
ê úê úê ú
ê2 ú ê- 2 ú ê 1 ú
êë ú
û êë ú
û êë ú
û
é 1 ù é3 ù é 2 ù
ê úê úê ú
ê úê úê ú
ê 2 ú, ê1 ú, ê- 2 ú
ê úê úê ú
ê- 1 ú ê0 ú ê 1 ú
êë ú
û êë ú
û êë ú
û
は一次独立。
も一次独立。
40
1次独立と１次従属の性質１
（ベクトルの部分集合に関する性質）
n
x 1 , x 2 , , x r , x r  1 , , x s  R とする。
このとき、以下が成り立つ。
（１） x 1 , x 2 , , x r  が一次従属ならば、
 x 1 , x 2 , , x s  も一次従属。
（２）  x 1 , x 2 ,
 x1 , x 2 ,
, x s  が一次独立ならば、
, x r  も一次独立。
証明略
41
例１
é1 ù
ê ú
ê ú
x 1 = ê- 1 ú
ê ú
ê0 ú
êë úû
x2
é0 ù
ê ú
ê ú
= ê1 ú
ê ú
ê1 ú
êë úû
（１） まず、{x 1 , x 2 , x 3 }
A = éêx 1
ë
x3
é1 ù
ê ú
ê ú
= ê0 ú
ê ú
ê1 ú
êë úû
x4
é1 ù
ê ú
ê ú
= ê1 ú
ê ú
ê0 ú
êë úû
を考える。
x2
x3ù
とおくと、
ú
û
1
0
1
1
0 = (1 - 1) - 0 = 0
1
1
A = - 1
0
とする。
\ {x 1 , x 2 , x 3 } は１次従属。
\ {x 1 , x 2 , x 3 , x 4 } も１次従属。
42
（２） 次ぎに、{x 2 , x 3 , x 4 }
A = éêx 2
ë
を考える。
x4ù
とおくと、
ú
û
x3
0
1
1
A = 1
0
1 = 1+ 1= 2 ¹ 0
1
1
0
\ {x 2 , x 3 , x 4 } は１次独立。
\ {x 2 , x 3 }, {x 3 , x 4 }, {x 2 , x 4 } も１次独立。
43
練習
次のベクトル集合に対して、１次独立でしかもベクトルの本数
が最大となるようなベクトルの部分集合をもとめよ。
é2 ù
ê ú
ê ú
x 1 = ê- 1 ú
ê ú
ê0 ú
êë úû
x2
é1 ù
ê ú
ê ú
= ê0 ú
ê ú
ê3 ú
êë úû
x3
é- 2 ù
ê ú
ê ú
= ê1 ú
ê ú
ê0 ú
êë úû
x4
é0 ù
ê ú
ê ú
= ê1 ú
ê ú
ê1 ú
êë úû
44
1次独立と１次従属の性質２
（ベクトル追加による１次独立から１次従属への変化）
n
x1 , x 2 , , x r 
に対して、
 x 1 , x 2 , , x r  は一次独立とする。
このとき、 b  n に対して以下が成り立つ。
（１）  x 1 , x 2 , , x r , b  が一次従属ならば、
係数を k1 , k 2 , , k r 
として、
b  k1 x1  k 2 x 2 
 kr xr
と表せる。
（２） b が（１）のように表すことができるとき、
その表し方は唯一である。
すなわち、係数の組が一意に定まる。
45
証明
（１）
 x1 , x 2 ,
, x r , b  が一次従属なので、
k1 x1  k 2 x 2 
 k r x r  kb  0
 k1   0 
を満たす    
   
kr  0
   
 k  0
このとき、 k  0
が存在する。
を示す。
k  0 とすると、
k1 x1  k 2 x 2 
 kr xr  0
となるが、 x 1 , x 2 ,
k1  k 2 
, x r  は一次独立なので、
 kr  0
これは、すべての係数が0になり矛盾を生じる。
46
よって、 k  0
したがって、
 k1 
 k2 
b     x1   
 x2 
 k 
 k 
 kr 

 xr
 k 
（２） 次のように２通り表せるとする。
b  k1 x1  k 2 x 2 
 l1 x 1  l 2 x 2 
 kr xr
 lr x r
  k 1  l1  x 1   k 1  l1  x 2 
  k r  lr  x r  0
 x 1 , x 2 , , x r  は一次独立なので、
 k 1  l1    k 1  l1     k r  l r   0
 k1  l1 , k 2  l 2 ,
, k r  lr
このように、すべての係数は一意に定まる。
47
Q ED
例
1 
1 
2
 
 
 
x1  1 , x 2  0 , x 3  1
 
 
 
 0 
 1 
 1 
は１次従属であった。
b  x 3 とし、１次関係式を考える。
k1 x 1  k 2 x 2  k b  0
1

1

 0
1
0
1
2   k1   0 
   
1 k2  0
   
1   k   0 
より、拡大係数行列を行基本変形する。
48
1

1

 0
0
1


0  0


 0
0 
1
2
0
1
1
1
1

 0

 0
0
1
1
1
0
0
0

0

0 
1
2
1
1
1
1
0
1


0  0


 0
0 
1
2
1
1
1
1
0

0

0 
 k1    c 
   
 k2  c
   
 k   c 
ここで、任意定数 c を用いて次のように表せる。
 c x1  c x 2  c b  0
b  x 3  x1  x 2 と一意に表せる。
また、
x 2  x 3  x1
x1  x 3  x 2
も同様に、一意に表せる。
49
行列との積と一次独立
行列の積と１次従属
n 次の正方行列 A と、
n
n 次元ベクトル x 1 , x 2 , , x r  R
下が成り立つ。
（１）  x 1 , x 2 , , x r  が一次従属ならば、
 A x1 , A x 2 ,
, A x r  も一次従属。
（２） A が正則行列で、 x 1 , x 2 ,
 A x1 , A x 2 ,
に対して、以
, x r  が一次独立ならば、
, A x r  も一次独立。
50
証明
 k1   0 
   
x
,
x
,
,
x

 0r


1
2
r が一次従属なので、
（１）
   
 k r   0 
が存在し、
k1 x1  k 2 x 2 
 k r x r  0n
左から A を乗じて、
k1  A x1   k 2  A x 2  
よって、
 A x1 , A x 2 ,
 kr  A x r   0n
, A x r  も一次従属。
51
（２）
k1  A x1   k 2  A x 2  
 kr  A x r   0n
と仮定する。
1
が存在する。これを左から乗じて
は正則行列なので、
A
A
A k1  A x1   A k 2  A x 2  
1
1
 k1  A A x1   k 2  A A x 2  
1
 k1 x1  k 2 x 2 
 x1 , x 2 ,
1
 A kr  A x r   0n
1
 k r  A A x r   0n
1
 k r x r  0n
, xr
が一次独立なので、係数がすべて
0でなければならない。よって、
Q ED
 A x 1 , A x 2 , , A x r  も一次独立。
52
例１
1 
1 
2
 
 
 
x1  1 , x 2  0 , x 3  1
 
 
 
 0 
 1 
 1 
 0

A  1

 1
1
0
2
は１次従属であった。
2

0 とする。

1 
このとき、以下のようになる。
0

x1 '  A x1   1

 1
1
0

x2 '  A x2  1

 1
1
0
2
0
2
2  1   1 
   
0 1  1
   
1   0   3 
2  1   2 
   
0 0  1
   
1   1   2 
0

x3 '  A x3  1

 1
1
0
2
2 2  3 
   
0 1  2
   
1   1   5 
 x 1 ', x 2 ', x 3 ' は１次従属
53
例２
1 
1 
0
 
 
 
x1  1 , x 2  0 , x 3  1
 
 
 
 0 
 1 
 1 
 0

A  1

 1
1
0
2
は１次独立であった。
2

0 は正則行列である。

1 
このとき、以下のようになる。
0

x1 '  A x1   1

 1
1
0

x2 '  A x2  1

 1
1
0
2
0
2
2  1   1 
   
0 1  1
   
1   0   3 
2  1   2 
   
0 0  1
   
1   1   2 
0

x3 '  A x3  1

 1
1
0
2
2  0  3
   
0 1  0
   
1   1   3 
 x 1 ', x 2 ', x 3 ' は１次独立
54
一次独立と階数
（一次独立と階数）
mn
m ´ n 行列 A  R が、列ベクトルあるいは行ベクト
ルを用いて、次のように表されているとする。
A   a1
 b1 
 
b2


an  
 
 
 b m 
このとき、次の（１）、（２）、（３）は同じ数である。
（１） r a n k( A )
（2） a1 , a 2 , , a n より選べる１次独立なベクトルの最大個数
t
t
（3） b1 , b 2 ,
証明略
t
, b n より選べる１次独立なベクトルの最大個数
55
例１
é1 ù
é2 ù
２つのベクトル x = êê úú, y = êê úú は一次従属である。
2
4
êë ú
ê
û
ë ú
û
A = éêx
ë
é1
ê
yù
=
ú
û ê2
êë
2ù
ú
4ú
ú
û
とおいて、階数を求める。
é1
ê
ê2
êë
2ù
ú
4ú
ú
û
é1
ê
ê0
êë
2ù
ú
0ú
ú
û
と基本変形できるので、 r a n k( A ) = 1
よって、一次独立なベクトルの最大数は１。
したがって、2個のベクトルは一次独立になれず、
一次従属。
56
例２
é1 ù
é3 ù
２つのベクトル x = êê úú, y = êê úú は一次独立である。
2
4
êë ú
ê
û
ë ú
û
A = éêx
ë
é1
ê
yù
=
ú
û ê2
êë
3ù
ú
4ú
ú
û
とおいて、階数を求める。
é1
ê
ê2
êë
3ù
ú
4ú
ú
û
é1
ê
ê0
êë
3 ù
ú
- 2ú
ú
û
é1 3 ù
ê
ú
ê0 1 ú
êë
ú
û
と基本変形できるので、 r a n k( A ) = 2
é1
ê
ê0
êë
0ù
ú
1ú
ú
û
よって、一次独立。
57
練習
次のベクトル集合に対して、階数をもとめることにより、１次独
立な最大のベクトル部分集合をもとめよ。
é1 ù
ê ú
ê1 ú
ê ú
x1 = ê ú
ê1 ú
ê ú
ê0 ú
êë úû
x2
é4 ù
ê ú
ê3 ú
ê ú
= ê ú
ê2 ú
ê ú
ê- 1 ú
êë úû
x3
é2 ù
ê ú
ê1 ú
ê ú
= ê ú
ê0 ú
ê ú
ê- 1 ú
êë úû
58
基底と次元
59
部分空間と次元
平面（¡ 2 ）中の直線や、 ３次元空間（¡ 3 ）中の平面
のように、元の空間の一部を表す空間を考える。
このような空間を、元の空間の部分空間という。
y
y
p
y
1 
x '1   
2
x
O
2 
x '2   
4 
x
O
60
（線形）部分空間の定義
定義（部分空間）
V 
n
が、
（１） x , y Î V Þ
x + y Î V
（２） x Î V , k Î ¡
を満たすならば、
Þ kx Î V
V
は
n
の部分空間という。
（１）の性質を「加法について閉じている。」といいます。
（２）の性質を「スカラー積について閉じている。」といいます。
n
および {0 } は
n
の部分空間である。
これらを自明な部分空間という。
61
部分空間の性質
（部分空間の性質）
V 
n
が部分空間となるための必要十分条件は、
(1) ' x , y Î V , a , b Î ¡ Þ a x + b y Î V
証明
（１）、（２）が成り立つとする。このとき、（２）より、
a x , by Î V
（１）より、
a x + by Î V
よって、 (1) ' が成立する。
逆に、(1) ' が成り立つとする。
a = b = 1 とおけば、（１）が成り立ち、
a = c , b = 0 とおけば、（２）が成り立つ。
Q ED
63
例
¡
2
中の
3
¡
直線： y = 2 x
中の
平面： x + y + z = 0
y
p
z
y
1 
x '1   
2
x
O
2 
x '2   
4 
x
O
64
正射影による部分空間
ìï
ü
éx ù
ï
ï
ï
ê 1ú
ï
ï
ï
ï
ê ú
V = í x = ê Mú x n = 0 ý
ï
ï
ê ú
ï
ï
xn ú
ï
ï
ê
ïîï
ïïþ
ë û
は
n
の部分空間。
最後の成分が常に０と言うことは、
n
中の対象が、
n 1
の“面”に射影される。
（１次元分つぶれる。）
z
y
x
O
65
解空間
定義（解空間）
m ´ n
行列 A = [a ij ] Î ¡
V = {x Î ¡
n
m´ n
に対して、
|Ax = 0}
n
は
の部分空間である。
この部分空間を連立方程式 A x = 0 の
解空間と呼ぶ。
66
例１
（１）
1

2
x
2

R
,
 
 y
2   x  0 
      の解空間は、
4   y  0
直線： x  2 y  0
（２）
1

2
x
2

R
,
 
 y
１点：
 x  0
  
 y  0
0

0
（３）  x   R 2 ,
 
 y
R
2
3   x  0 
      の解空間は、
4   y  0
0  x  0
      の解空間は、
0  y  0
全体
67
生成する部分空間
定義：（生成される部分空間）
に対して、その一次結合全体て定義
x1 , x 2 , , x r 
n
される
の部分空間を x 1 , x 2 , , x r  で生成
する（張られる）部分空間という。 記号では、
n
L{ x 1 , x 2 ,
, xr }
あるいは、
L [ x1 , x 2 ,
, xr ]
と表す。
68
例
（１）
ìï
L ïí
ï
ïîï
ìï é 1 ù é 2 ùü
é 1 ùü
ï
ï
ï
ï
ê ú = L ê ú, ê úï
í ê ú ê úý
ê- 2 úý
ï
ï - 2 - 4ï
êë ú
ï
ï
ûþ
û êë ú
ûïþ
ï
ïî êë ú
ï
直線 x  2 y  0 を表す。
（２）
ìï
ï
Lí
ï
ïîï
ìï é1 ù é0 ùü
é1 ù é3 ùü
ï
ï
ï
ï
ê ú, ê ú = L ê ú, ê úï
í ê ú ê úý
ê2 ú ê4 úý
ï
ï 0 1ï
êë ú
ê
ú
ï
ï
û êë ú
ûïïþ
û ë ûþ
ï
îï êë ú
R を表す。
2
（３）
e 1, e 2 , L , e n Î R
n
とする。
L {e 1 , e 2 , L , e n }
R を表す。
n
69
基底
定義（基底）
集合 V のベクトルの組、  x 1 , x 2 , , x d 
に対
して、次の（１）、（２）を満たすとき、それらのベクトル
の集合を V の基底という。
（１）
 x1 , x 2 ,
, x d  が１次独立。
（２） V の任意のベクトルが、  x 1 , x 2 ,
１次結合で表現可能。
すなわち、 V  L  x1 , x 2 , , x d 
, xd 
空間を基底（ベクトル）の組み合わせ（１次結
合）で表現可能。空間に一種の番地を振る
作業。
の
70
標準基底
n
定義（標準基底）
の n 個の単位ベクトルの組
 e1 , e 2 ,
, en
は n の基底である。
この基底を標準基底ともいう。
i,
j , k  として、３次元ユークリッド空間の
標準基底を表すことがある。。
71
例１（３次元ユークリッド空間の標準基底）
y
0
 
e2  1
 
 0 
p  ( a1 , a 2 , a 3 )
a2 倍
a3
0
 
e3  0
 
 1 
O
z
p  a1e1  a 2 e 2  a 3 e 3  a1 i  a 2 j  a 3 k
{e 1 , e 2 , e 3 } は ¡
１次独立
a1 倍
x
1 
 
e1  0
 
 0 
3
の基底である。
１次結合で ¡ 3 の全ての
点（ベクトル）が表現できる。
72
例２（基底の例）
原点を通る直線は線形空間である。
この線形空間の基底を考える
直線： y = 2 x の基底としては、
 1  
    などがある。
2
y
O
部分空間の基底は、複
数（無数に）存在する。
2
    なども基底
4
x
73
例３
原点を通る平面は線形空間である。
この線形空間の基底を考える
平面： x + y + z = 0
の基底としては、
 1   1 
   
  0  ,   1   などがある。
   1  0  
   
部分空間の基底は、複
数（無数に）存在する。
z
y
x
O
  1  2 
   
  1  ,  1   なども基底
 2   1  
   
74
例４（３次元ユークリッド空間の標準でない基底）
p
y
k3
 x21 


x 2  x 22


 x 2 3 
3
 x 31 


x 3  x 32


 x 33 
j
k2
q
 x1 1 


x 1  x1 2


 x1 3 
z
p  k1 x1  k 2 x 2  k 3 x 3
{x 1 , x 2 , x 3 } も
3
の基底である。
x
k1
空間 3 の点は、
３つのベクトルの係数として
表現できる。
ìï
ï
ï
ïï
í
ï
ï
ï
ïïî
é1 ù é1 ù é0 ùü
ï
ê ú ê ú ê úïï
ê ú ê ú ê úïï
ê1 ú, ê0 ú, ê1 úý
ê ú ê ú ê úïï
ê0 ú ê1 ú ê1 úï
êë ú
û êë ú
û êë ú
ûïþ
ï
は基底の一つ。
75
次元の定義
いままでは、なんとなく用いてきた次元に関して、
厳密な定義を与える。
定義（次元）
集合V の基底を構成するベクトルの個数を
次元といい、
V
の
d im V
とかく。なお、
d im  0   0
とする。
76
次元の性質１
（次元と一次独立・従属）
n
の部分空間 V 中に、
「 d 個の1次独立なベクトルがあり、
d  1個以上のベクトルは必ず一次従属になる」
ような d がある。
このとき、
d  d im V
である。
１次独立と１次従属の
境界にあたるベクトル
の数
77
例１
é1 ù
ê ú
ê ú
x 1 = ê- 1 ú
ê ú
ê0 ú
êë úû
x2
é0 ù
ê ú
ê ú
= ê1 ú
ê ú
ê1 ú
êë úû
x3
é1 ù
ê ú
ê ú
= ê0 ú
ê ú
ê1 ú
êë úû
x4
é1 ù
ê ú
ê ú
= ê1 ú
ê ú
ê0 ú
êë úû
とし、
V = L {x 1 , x 2 , x 3 , x 4 } とする。
{x 1 , x 2 , x 3 , x 4 } は１次従属であり、
{x 2 , x 3 , x 4 } は１次独立であった。
よって、
d im V = d im L {x 1 , x 2 , x 3 , x 4 } = 3
このことから、 {x 2 , x 3 , x 4 }は R 3 の基
底になれることがわかる。
78
基底と次元
（基底と次元）
x1 , x 2 ,
A   x1
, xr 
x2
n
に対して、
xr ,
V  L  x1 , x 2 ,
, xr
とする。このとき、次が成り立つ。
（１）dim V  rank( A )
（２） x1 , x 2 , , x r から適当な r  d  d im V 個のベクトル
の組を選ぶことにより、 V の基底を作れる。
証明略
79
例１
é1 ù
ê ú
ê ú
x 1 = ê- 1 ú
ê ú
ê0 ú
êë úû
é1
ê
ê
A = ê- 1
ê
ê0
êë
é1
ê
ê
ê- 1
ê
ê0
êë
x2
0
1
1
0
1
1
0
1
1
0
1
1
1ù
ú
ú
1ú
ú
0ú
ú
û
1ù
ú
ú
1ú®
ú
0ú
ú
û
é0 ù
ê ú
ê ú
= ê1 ú
ê ú
ê1 ú
êë úû
x3
é1 ù
ê ú
ê ú
= ê0 ú
ê ú
ê1 ú
êë úû
x4
0
1
1
1
1
1
1ù
ú
ú
2ú®
ú
0ú
ú
û
とし、
階段の先頭要素に対応
するベクトルの集合は基
底にできる。
とする。
é1
ê
ê
ê0
ê
ê0
êë
é1 ù
ê ú
ê ú
= ê1 ú
ê ú
ê0 ú
êë úû
é1
ê
ê
ê0
ê
ê0
êë
0
1
1
1
0
0
1 ù
ú
ú
2 ú
ú
- 2ú
ú
û
と行基本変形できる。よって、
ran kA = d im L {x 1 , x 2 , x 3 , x 4 } = 3
また、階段行列の形から、{x 1 , x 2 , x 4 }
3
も ¡ の基底になれることがわかる。
80
練習
次のベクトル集合 { x1 , x 2 , x 3 , x 4 } の生成する
線形空間 L [ x1 , x 2 , x 3 , x 4 ] の基底および次元
dim L [ x1 , x 2 , x 3 , x 4 ] を求めよ。
é1 ù
é2 ù
é ù
é3 ù
ê ú
ê ú
ê4 ú
ê ú
ê ú
ê ú
ê ú
ê ú
x 1 = ê2 ú, x 2 = ê3 ú, x 3 = ê4 ú, x 4 = ê5 ú
ê ú
ê ú
ê ú
ê ú
ê3 ú
ê4 ú
ê6 ú
êë5 ú
û
êë ú
ê
ú
êë ú
û
ë û
û
81