Transcript 接する物体2

直線運動の速度
問題
上面が平らな段差のついた台Cがあり、図に示された位置に、段差と同じ厚さの物体D
が段に接しておかれている。このとき、台Cの上段の面と物体Dの上面は、一続きの水
平面になっている。物体Dの質量はMであり、物体Dと台Cとの間の摩擦は無視できる
とする。ここで、質量mの小物体が、台Cの上段の面上を運動してきて、速さ𝑣で物体D
の上面に乗り移り、Dの上面をすべってからDの上で（Dに対して）静止した。重力加速
度の大きさを𝑔、小物体とDの上面との間の動摩擦係数を𝜇′ として、次の各問いに答え
よ。ただし、小物体がはじめに運動していた向きを正とする。
(1)小物体がDの上を進んでいるときの、Cに対する小物体とDの加速度をそれぞれ求
めよ。
(2)小物体がDの上をすべり始めてから、Dに対して静止するまでの時間を求めよ。
(3)小物体がDの上で静止したときの、Cに対する小物体の速さを求めよ。
(4)小物体がDの上で静止するまでに、Dが進んだ距離を求めよ。
(5)小物体がDの上で静止するまでに、Dの上を小物体が進んだ距離を求めよ。
小物体
D
C
(1)
小物体がDの上を進んでいるときの力を図示する。
−𝑚𝑔𝜇′ = 𝑚𝑎・・・①
𝑚𝑔𝜇′ = 𝑀𝑎′ ・・・②
D
∴ 小物体の加速度
(2)
小物体についての運動方程式
− 𝑔𝜇′
Dについての運動方程式
𝑚𝑔𝜇′
∴ 𝐷の加速度
𝑀
小物体の加速度が − 𝑔𝜇′ なので
𝑣
0 = 𝑣 − 𝑔𝜇′ 𝑡として𝑡 = 𝑔𝜇′としてはいけない
上記の方法で求めたtは小物体がCに対して止まる時間である
小物体の速さは𝑣小 = 𝑣 − 𝑔𝜇′ 𝑡であり、一方
𝑚𝑔𝜇′
𝑡なので、
𝑀
Dの速さは𝑣𝐷 = 0+
′
𝑚𝑔𝜇
𝑣 − 𝑔𝜇′ 𝑡 =
𝑡
𝑀
𝑀𝑣
∴𝑡= ′
𝑔𝜇 (𝑚 + 𝑀)
𝑣小 = 𝑣𝐷 となる時が、小物体がDに対して止まる時
(3)
小物体が𝐷に対して静止しても、𝐷は動いているので、小物体はCに対して動いている
公式𝑣 = 𝑣0 + 𝑎𝑡
𝑣小 = 𝑣 − 𝑎𝑡の𝑎に 1 で求めた𝑎、𝑡に(2)で求めた𝑡を代入して
𝑀𝑣
𝑚𝑣
𝑣小 = 𝑣 − 𝑔𝜇′ ′
∴
𝑣
=
𝑔𝜇 (𝑚 + 𝑀)
小 𝑚+𝑀
(4)
𝑚𝑔𝜇′
(1)より、Dは加速度 𝑀 で動いている
1
公式𝑦 = 𝑣𝑜 𝑡 + 2 𝑎𝑡 2 より進んだ距離は、初速はゼロなので
2
1 𝑚𝑔𝜇′
𝑀𝑣
𝑀𝑚𝑣
𝑦= ∙
∙{ ′
}2 =
2 𝑀
𝑔𝜇 𝑚 + 𝑀
2𝑔𝜇′ (𝑚 + 𝑀)2
∴
𝑀𝑚𝑣 2
2𝑔𝜇′ (𝑚 + 𝑀)2
(5)
小物体が動く間、Dも動いていることに注意する
D
この差が小物体がDに対して進んだ距離
D
C
(ⅰ)小物体の進んだ距離
1
𝑀𝑣
1
𝑀𝑣
公式𝑦 = 𝑣𝑜 𝑡 + 2 𝑎𝑡 2 より 𝑦小 = 𝑣 ∙ 𝑔𝜇′ (𝑚+𝑀) − 2 𝑔𝜇′ (𝑔𝜇′ (𝑚+𝑀))2
2𝑀𝑣 2 (𝑚 + 𝑀) − 𝑀2 𝑣 2 𝑔𝜇′
=
(ⅱ)Dの進んだ距離
D
したがって𝑦小 − 𝑦𝐷 =
2𝑔𝜇′ (𝑚 + 𝑀)2
(4)よりDの進んだ距離𝑦𝐷 は
𝑀𝑣 2 𝑚+2𝑀2 𝑣 2 −𝑀2 𝑣 2 𝑔𝜇′
2𝑔𝜇′ (𝑚+𝑀)2
∴
𝑦𝐷 =
𝑀𝑚𝑣 2
2𝑔𝜇′ (𝑚+𝑀)2
𝑀𝑣 2 𝑚 + 2𝑀2 𝑣 2 − 𝑀 2 𝑣 2 𝑔𝜇 ′
2𝑔𝜇 ′ (𝑚 + 𝑀)2