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工業力学 補足・復習スライド
Industrial Mechanics
第13回：エネルギー・動力・摩擦
おさらい
衝 突 (collision)
 運動している物体どうしが衝突することで，各物体の運動量・
角運動量は変動する．その変動のしかたを解析する．
向心衝突
v1
-F
v2
v1’
F
 運動方向に垂直な速度は双方とも 0
v1’
斜めの衝突
v1
F
v2
-F
v2’
 衝突方向に垂直な速度は双方とも不変：衝突方向だけ考えれば良い
v2’
衝 突 (collision)
 運動している物体どうしが衝突することで，各物体の運動量・
角運動量は変動する．その変動のしかたを解析する．
偏心衝突
w’2
vG
v1
-F
F
v1’
v2’
 作用する力が物体の重心を貫いていない：衝突により回転運動が生じる
向心衝突の解析方法
 衝突現象をどう扱うか？
 利用可能な法則性の一つ：運動量保存則
m 1v1 + m 2v2 = m 1v1ў+ m 2v 2ў (7.16)
 式一本じゃ，未知数一つしか求まらない．
 もう一つの拘束条件：反発係数
 衝突現象のパラメータで，衝突によって，相対速度がどの程度
の割合で減衰するかを示す．
 衝突前の相対速度：接近速度 v1 - v2
 衝突後の相対速度：離脱速度 v2ў- v1ў
 反発係数： e = v2ў- v1ў
(7.17)
v1 - v 2
 向心衝突の場合：この2つの式を連立させて解くだけ．
斜めの衝突の解析方法
 下図のようだとすれば，相互作用は鉛直方向のみ．
 水平方向には加減速せず，鉛直方向速度は向心衝突と
同じ法則性に従う．
 速度の水平方向成分は衝突後と衝突前で同じ．鉛直方
向成分について，先ほどと同様に，(鉛直方向の) 運動
量の保存の式と反発係数定義式を連立させる．
v1’
斜めの衝突
v1
F
v2
-F
v2’
仕事
 物体に力 F が作用し，力の方向に距離 s だけ変位した時，W =
Fs を，力が物体になした 仕事 (work) という．
 力 F と変位の方向が異なる場合は，互いになす角度を q とした
とき, W = F cosq s である．つまり，力のうち，物体の運動に寄与
与した成分だけを考慮する．
s
F
s
F
q
F
仕事
 軌道 PQ 上において，物体に力をかけて動かした時の仕事を
考える．
 軌道上のある位置で作用する力 F が，運動方向 (軌道の接線
方向) と角 q をなしており，そこから微小距離 ds 動く場合，その
dW = F cos q Чds.
間になされる微小仕事 dW は
 P から Q まで動く間の総仕事量は dW の積分で，
W =
т
Q
F cos q ds .
P
F
q
P
ds
Q
仕事の単位と次元
 仕事は力 (の移動方向成分) と移動距離の積であるから，その
次元は (力)×(長さ) であり，(力) = (質量)×(長さ)× (時間)-2
なので，(仕事) = (質量)×(長さ)2×(時間)-2 とも言える (トルク
と同じ次元の物理量である)．
 単位は [N]×[m] であり，[Nm] と書いても良いが，一般にこの
単位はトルクの単位として用いられる．
 仕事 (およびエネルギー) には専用の単位 [J] (=[Nm]) があり，
これを使うのが一般的 (教科書では使ってない…)．
バネ力がなす仕事
 バネは伸び量に応じて引張力 (圧縮力) が変動する．
 つまり，バネを伸ばしていく (縮めていく) ときの仕事の計算は，
力を変動させた積分計算となる．
 バネ力は伸び (縮み) 量 x に対して F = kx なので，自然長のバ
ネを x だけ伸ばす仕事は以下のとおりとなる．
x
1 2
W = т F ds = т kx dx = kx .
0
2
重力のなす仕事
 傾斜 q の斜面に置かれた物体が重力によって滑り落ちること
を考える．
 重力の運動方向成分は mg sinq であり，この力で距離 s を
動くので，W = mgs sinq．一方，高低差を h とすると, h = s
sinq なので, W = mgh となり，高低差のみに依存する．
 このように，おこなう仕事が途中経路に無関係で，最初と最後
の位置のみに依存する力を 保存力 (conservative force) とい
う．
s
mg sinq
q
mg
h
回転に関する仕事
 図のように，軸 O のまわりに回転運動をする物体に，つねに円
周方向を向く力 F をかけ続けて角度 q 回したとき，移動距離は
r q なので, W = Fr q．
 一方，力によるトルクは N = Fr であるから, W = Nq．
 すなわち，トルク N で角度 q 回転させる仕事は，トルクと回転
角の積 W = Nq で表される．
F
q
F
エネルギー
 高いところに置かれた物体や圧縮された空気，回転しているは
ずみ車などは，仕事をする潜在的能力 を持っている．これを エ
ネルギー (energy) という．
 その量は，なしうることのできる仕事の量で表され，したがって
エネルギーの次元や単位は仕事と同じである．
 エネルギーは位置エネルギー，運動エネルギー，熱エネル
ギー，化学エネルギー，電気エネルギー，原子核エネルギーな
ど，多様な形態を持ちうるが，ことなる形のエネルギーに変化し
たとしても，全体としてのエネルギーの量は不変である．
 これを エネルギー保存の法則 (law of conservation of energy)
という．
位置エネルギー
 高いところに置いた物体や引き伸ばされたバネなどは，その高
さや伸び量に応じたエネルギーを有する．
これを 位置エネルギー (potential energy) という．
 重力による位置エネルギー
 基準高さを 0 としたときの物体の高さを h とし，物体の質量
を m，重力加速度を g とすると，その位置エネルギーは mgh．
1 2
kx .
2
運動エネルギー (並進運動)
 質量 m，速さ v で運動している物体は，その勢いを利用して
他の物体を押して仕事をすることができる．これを 運動エネル
ギー (kinematic energy) という．
 その量は 1 mv 2 .
2