Transcript Document

有効座席(出席と認められる座席)
左
列
中
列
右
列
前で4章宿題、アンケートを提出し、
4章小テスト問題、5章講義レポート課題を受け取り、
直ちに小テストを書き始めてください。
第5章 エネルギー 講義
目 次
力と仕事
仕事
ページ
1
2
操 作 法
進むには キー
Enter
又は、マウス左クリック
戻るには キー
又は
仕事 (力が変化する場合)
3
エネルギー
4
力の場
5
エネルギーの諸形態
6
各ページ右下 目 をクリック
仕事率
7
各章のファイルは スライド
「第5章 エネルギー」要点
8
フォルダから開いてください。
例題1
9
例題2
10
終了には キー Esc 又は
マウス右メニューで終了を選ぶ
Back space を押す
ページに跳ぶには
をクリック
各ページからここに戻るには
力と仕事
てこ
：
3
3:1のてこを使うと
3
1
1：
1/3
力は 33倍
×
動く距離は 1/3
力×動く距離は 同じ
1：
斜面
1
mg sin q
q
mg
sinq
斜度qの斜面を使って
持ち上げると
力は sin q 倍
×
動く距離は 1 / sin q
mg
力×動く距離は 同じ
力×動く距離 = 仕事
目
1
仕事
F
F
θ
仕事には
平行成分
のみ寄与
Fs
Fs =Fcosθ
s
F//sなら
物体が 力 F を受けて s 変位するとき
力 F がする仕事(物体が受取る仕事)
Fs : Fのs方向成分
仕事W = Fs s = F s cosq = Fs
θ: Fとsのなす角
目
2
F =20N
仕事
F =20N
o
F =20N
q =30
s =10m Fs =Fcosq
物体が 力 F を受けて
力 F がする仕事(物体が受取る仕事)
仕事W = Fs s = F s cosq = Fs
例 F=20Nで水平方向に s =10m 引く
W =Fs s = 20N×10m = 200Nm = 200J
Fs : Fのs方向成分
θ: Fとsのなす角
仕事の単位
Nm=J (ジュール)
例 F=20Nで 水平面となす角θ=30oの方向に s =10m 引く
Fs = F cosθ = 20N×√ 3/2 =17.3N ∴W=Fs s = 173Nm =173J
例 F=20Nで後方に引いたのに s =10m 前進した
Fs =F cosθ= 20N×(–1) = –20N ∴ W=Fs s = –200J
目
2
仕事 (力が変化する場合)
F
s：経路に沿った座標
sa
 s i = s i  s i 1
si
si
力Fがする仕事は
W = lim
例

F i //  s i =

sb
sa
F // ds
W =

1
kxdx =
0
誤った考え
W = kx  x = kx
kx
2
sb
Fi//
C
分割する
F//
W?
si
ばねをのばすための仕事
のび x のときの力 F = kx
x
Fi
s
(k:バネ定数)
正
2
2
誤
目
3
仕事 (力が変化する場合)
F
s：経路に沿った座標
sa
 s i = s i  s i 1
si
si
力Fがする仕事は
W = lim
例

F i //  s i =

sb
sa
F // ds
W =

1
kxdx =
0
力Fがする仕事 W
kx
2
sb
Fi//
C
分割する
F//
W
si
ばねをのばすための仕事
のび x のときの力 F = kx
x
Fi
s
(k:バネ定数)
正
2
=

sb
sa
F // ds
(s：経路に沿った座標)
目
3
エネルギー
系がなし得る仕事の量
s
運動エネルギー 運動によるエネルギー
質点の質量をm、時間をt とする。
ds
sは経路に沿った長さである。速度 v =
仕事 W
=
=

tf
ti

F // = m
sf
si
m
dv
ニュートンの運動の第２法則
dt v
d s
2
運動方程式
dt
F // ds =
dv
dt

2
sf
si
力Fがする仕事 W
m
vf
vi
=

sb
sa
d s
2
置換積分
v dt = 
i
dt
始、終の量をそれぞれ添字i, f で表す。
f
dt
2
ds
d s ds
ds
= m
2
stii
dt dt
2
stff
dt 置換積分
t
f
1
1
m v dv =  mv 2  = mv
 2
 t
2
i
F // ds
2
f

1
mv
2
(s：経路に沿った座標)
2
i
目
4
エネルギー
系がなし得る仕事の量
s
運動エネルギー 運動によるエネルギー
質点の質量をm、時間をt とする。
ds
sは経路に沿った長さである。速度 v =
2
運動方程式
仕事 W
=
=

tf
ti

F // = m
sf
si
m
d s
i
dt
始、終の量をそれぞれ添字i, f で表す。
f
F // ds =
dv
dt
W = Kf Ki
dt

ニュートンの運動の第２法則
2
sf
si
2
m
置換積分
v dt = 
d s
vf
vi
dt
2
ds =
stff
t
s ii
d s ds
2
m
dt
2
dt
dt 置換積分
t
f
1
1
m v dv =  mv 2  = mv
 2
 t
2
i
Kとおく
W=(Kの増加)
加えた仕事
= 運動エネルギーの増加
K =
1
2
mv
2
2
f
Kf

1
2
mv
2
i
Ki
：運動エネルギー
目
4
力の場
力が位置座標のみの関数 F (r )
保存力 仕事が始点と終点のみで決まり経路によらない。
例 地表付近の重力
仕事
mgh
mg sin q
q
mg
仕事
mgh
仕事
mgh
h
mg
経路が曲線の場合でも
細分すればほぼ直線とみなせる。
１つの部分の高さの差をhとすると
その部分の仕事はmghとなり、
全部合計すると仕事はmghとなる。
このように重力がする仕事は経路によらない。
従って、重力は保存力である。
目
5
力の場
力が位置座標のみの関数 F (r )
保存力 仕事が始点と終点のみで決まり経路によらない。
例 地表付近の重力
仕事
mgh
mg sin q
mg
q
仕事
mgh
仕事
mgh
h
mg
位置(ポテンシャル)エネルギー U 保存力がなし得る仕事
一様重力の位置エネルギー U = mgh
弾性力の位置エネルギー
h:高さm:質量
U = kx2/2 x:のび,k:バネ定数
力学的エネルギー= 運動エネルギー+位置エネルギー
力学的エネルギー保存の法則
K i U i = K f U
f
系全体の力学的エネルギーの総和は変化しない
目
5
エネルギーの諸形態
(巨視的)運動エネルギー K
(巨視的)位置エネルギー U
力学的エネルギー
化学的エネルギー、電気的エネルギー、・・・・
熱エネルギー = 無秩序な微視的エネルギー
微視的に見れば全てのエネルギーは力学的エネルギー
エネルギー散逸Q
摩擦力などによって巨視的力学的エ
ネルギーが熱エネルギーになる。
Ki U i = Kf U
エネルギーの供給E
f
Q
エネルギー保存の法則
他の形態のエネルギーが
巨視的力学的エネルギーになる。
Ki U i  E = Kf U
f
エネルギー保存の法則
目
6
仕事率 単位時間当たりの仕事を仕事率という。
仕事をW、時間をtとすると仕事率は P = lim
t  0
力をF、変位をΔs、速度をvとすると
t =40s間
P = lim
W
t  0
t
Fs
t
=
dW
dt
= Fv
F =20N
s =100m
例 そりをF=20Nで前方にt =40sの間、s =100m 引いた。
速度は一定だったとする。力 Fのする仕事の仕事率は?
仕事率は P =
20N  100m
= 50 J/s
= 50 W
40s
仕事率の単位 J/s=W (ワット)
目
7
「第5章 エネルギー」要点
単位 Nm=J
s
仕事 W = Fss =Fscosθ = Fs W =  F s ds
(ジュール)
s
F：力, s：変位, Fs：Fのs方向成分, θ：Fとsのなす角
f
i
仕事率 P = dW / dt = Fv v：速度, 単位 J/s=W (ワット)
エネルギー 系がすることのできる仕事
運動エネルギー K =
1
mv
2
2
(mは質量)
位置エネルギー U = (言葉) 保存力がすることのできる仕事
地表付近重力による位置エネルギー U = mgh
力学的エネルギー保存の法則
K i U i = K f U
(h は高さ)
f
エネルギーは 熱、化学エネルギー等に他の形に変換される。
微視的には全てのエネルギーは力学的エネルギーである。
目
エネルギー保存の法則 全エネルギーは保存する。
8
例題１ 滑り台 質量m=40.0kgのひとが高さ
h=2.50mの斜度が一定でない滑り台を滑り降
りる。地上を基準とする。
力学的エネルギーはいくらか。
θ
終の速さvはいくらか。
解 始めの高さ h = 2.50m 始めの速さ 0
力学的エネルギーは
終りの高さ 0
1
2
m 0  mgh = (40)(9.8)(2.5)J = 980J
2
終りの速さ v(未知)
終りの力学的エネルギーは
力学的エネルギー
保存の法則
∴mgh = mv2 /2 ∴v =
1
2
m 0  mgh
2
1
mv
2
 mg 0
2
=
2 gh = 2(9.8m/s
1
mv
2
 mg 0
2
2
目
)(2.5m)
= 7.0m/s 9
例題2 滑り台 質量m=40.0kgのひと
が斜度=30.0°長さs=5.00mの滑り台
を滑り降りた。地上を基準とする。
終の速度はv=5.00m/sだった。
失われた力学的エネルギーQはいく
らか。また、動摩擦係数m kを求めよ。
θ
解 始めの高さ h = s sinθ = 2.50m 始めの速さ 0
エネルギー保存の法則
1
2
 Q = mgh 
1
2
mv
2
m 0  mgh =
2
=
980 J
1
mv
2
 500 J
2
 mg 0  Q
=
480 J
動摩擦力をf kとすると Q = f ks = (m k mg cosθ)s
∴ m k=
Q/ mgs cosθ
=
0 . 28
目
10
第5章 エネルギー 講義 終り
前で5章講義レポートを提出し、
6章講義レポート課題(本日提出)
5章宿題課題(明日提出)
6章宿題課題(5月10日提出)
返却物
を受け取ってください。
目