Transcript 離散型確率分布

超幾何分布とポアソン分布

超幾何分布

ポアソン分布
超幾何分布(Hypergeometric distribution)
定義：母集団がN個の要素を持ち、ある属
性を持つ要素がそのうちM個あるとする。
この母集団からn個の要素を取り出したと
き（非復元抽出）、その属性を持つ要素がx
個含まれている確率が超幾何分布で表さ
れる。
 N:母集団の要素の数
 M:ある属性を要する要素の数
 n=標本の大きさ

超幾何分布の確率関数

確率関数

範囲：
P( X  x) 
M
Cx  N M Cnx
N Cn
max(0, n  N  M )  x  min(M , n)
M/N=pとすれば

期待値：   np
分散：  2  np(1  p)(N  n) / (N 1)
超幾何分布と二項分布の関係

P=M/Nを一定に保ちつつ、Nを大きくすれば、超幾何分
布は二項分布に近づく。
N!
( N )n

n!( N  n)!
n!
M!
( Np)!
( Np) x
C



M x
x!(M  x)! x!( Np  x)!
x!
( N  M )!
( Nq)!
C


N M
n x
(n  x)!( N  M  n  x)! (n  x)!( Nq  n  x)!
( Nq)n  x
=
(n  x)!
N Cn 

と書き直すと
n!
( Np) x( Nq)n  x
p( x) 
x!(n  x)!
( N )n
超幾何分布と二項分布の関係
ところが
( Np) x( Nq)n  x
( N )n
したがって
1
x 1
1
n  x 1
p( p  )  ( p 
)q(q  )  (q 
N
N
N
N

1
n 1
1(1  )  (1 
)
N
N
x n x
p
 q
N
p( x) n Cx p x qn x
N
p一定　練習問題１ (p87)

山にいる猿500匹のうち、100匹に標識をつけてから
自然に返されてある。いま山から猿を５匹取ったとき、
そのうち標識が付いた猿が0匹である確率はどれくら
いか。また、1匹の場合はどれほどか。
[解説] ここで、N=500,M=100,n=5として計算すると、0匹である確率は
練習問題2

20 個の飴が入った箱があるとする。20 個のうち 8 個は赤
色で、12 個は黄色である。この箱から 4 個の飴を無作為
に抽出するとき、その中の 1 個が赤色である確率を求めよ
う

解答：
ポアソン分布(Poisson distribution)
ｎが大きいが、Pが小さいとき、Xの確率分布を二項
分布から求めることは困難である。
 定義
 パラメータと期待値と分散
 二項分布とポアソン分布の比較
定義

npが→λとなるように、n→∞のとき、p→０となっ
た極限では、各ｘについて
P( X  k)n Ck p (1 p)
k
nk
e 
P( X  x) 
x!
 x
→
が成り立つ。
この分布をポアソンと呼び、Po(λ）で表す。
eは自然対数の底で、e＝2.71828・・・・
証明：
n  　のと き,   np, p 
k
n
Ck p q
n k

e   k

,　(q  1  p)
k!
n
n!

 

    1  
k !(n  k )!  n  
n
k
lim n Ck pk qnk
n
n k
(1 

)n
1 n(n  1)    (n  k  1) k
n

 
k

k!
n
(1  )k
n
n(n  1)    (n  k  1) n (n  1)
(n  k  1)
n  　のと き ,





1
k
n
n
n
n
=
lim(1 
n

n
)n  e よ り , ( 1-
 n  　のと き ,
Ck p q
k
n
e   k
即ち,　P( x  k ) 
k!
n k

n
) n  e  , (1 
e   k

k!

n
)k  1
超幾何分布とポアソン分布

P=M/Nが小さく、ｎが大きいとき、超幾何分
布は次のようにポアソン分布で近似するこ
とができる。
e 
P( x)
x!
N 

x
ポアソン分布の
パラメータ、期待値、分散

パラメータ：λ=np

期待値：

分散：
 
 
2
二項分布とポアソン分布の近似（１）
図5.6　二項分布（n=50,P=0.3)
0.14
0.12
0.1
0.08
0.06
0.04
0.02
0
0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 36 39 42 46 49
二項分布とポアソン分布の近似（２）
図5.7　ポアソン分布(n=50,P=0.3,λ=15）
0.12
0.1
0.08
0.06
0.04
0.02
0
0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 36 39 42 46 49
二項分布と超幾何分布とポアソン分布の関係
（N =50, M = 30, n=15, p = 0.3)
0.3
0.25
ポアソン分布
0.2
超幾何分布
二項分布
0.15
0.1
0.05
0
0
2
4
6
8
10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 45 47 49
例題：P103,③

解説：2時間の間に釣った魚の数Xは
λ=np=2×2=4のポアソン分布に従う。
e40 4
 ① P( X  0) 
 e  0.02
0!
4 4
e

②
P( X  4) 
 0.195
4!
解説

P( X  4)  ?
③
参考：
1
e  4  0.0183
e
4