離散型確率分布

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Transcript 離散型確率分布

離散型の確率分布
確率分布の期待値と分散
 基準化確率変数、歪度及び尖度
 二項分布
 ベルヌーイ分布

確率変数の期待値

期待値(Expected Value):確率をウェート
とする確率変数の加重平均値。
n
  E( X )   xi p( xi )
i 1
確率変数の分散

確率変数Xの期待値からの偏差の2乗の
期待値を分散(Variance)という。
n
 2  V ( X )   ( x1   )2 p( xi )
i 1

 2と S 2 との違いは確率の要因が入ってい
るか否かである。なお、Sと同様、  を標
準偏差(Standard deviation)という。
期待値の性質
A.
 B.
 C.
 D.
 E.

E(c)  c
E(cX  b)  cE( X )  b, とくに E( X  )  0
V ( X )  E( X   )2  E( X 2 )   2
E( X  c)2 を最小にする
c は, c=
である
V (cX  b)  c2V ( X ), 即ち,  2cxb  c2 x2
基準化確率変数の期待値と分散

確率変数Xの期待値が μ,標準偏差が σのとき
Z
X 

を基準化確率変数という。Zの期待値、分散は
Z  E(Z )  0,  Z2  V (Z )  1
基準化確率変数の歪度と尖度

実数のデータにもとづく歪度,尖度と同様に,
X の確率分布の歪みと尖りを示す測度を基
準化確率変数 Z を使って以下のように定義
する。
1  E(Z 3 )  E( X   )3 /  3
2  E ( Z 4 )  E ( X   )4 /  4
二項分布(Binomial distribution)
1回の試行
 AとBという二つの結果しか得られない
 n回の独立な試行を繰り返し
 Aがk回起こる確率をpとする(k=1.2…n)
k
nk
 各点に対する確率
P( X  k)n Ck p (1 p)
Bi (n, p) で表す


確率関数と分布関数

確率関数
P( X  k)n Ck p (1 p)
k
x

分布関数
x
 P( X  k)  
k 0
k 0
Ck p (1  p)
k
n
nk
n k
パラメータ:n と p

nが試行の回数, pがk回起こる確率.

ベルヌーイ試行(Bernoulli trials):同じ条件
でかつ独立にn回繰り返すこと.

二項分布でn=1の場合をベルヌーイ分布と
いう。即ち、 P( x)  p x q1 x x=0または1
二項分布の期待値と分散


期待値:
  np
分
  np(1  p)
散:
2
二項分布の確率関数
二項分布(n=10, p=0.5)
f(x)
0.30000
0.25000
0.20000
0.15000
0.10000
0.05000
0.00000
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
二項分布の確率関数と分布関数
二項分布(n=10, p=0.5)
f(x)
f(x)
F(x)
1.20
1.00
0.80
0.60
0.40
0.20
0.00
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
x
例題:P103,②
解説:打ち上げが成功する回数Xは、p=0.95,
n=4の二項分布に従う。
4
4
P( X  3)   P( X  k )   4 Ck 0.95 0.05
k
k 3
4 k
k 3
4 C3 0.9530.051 4 C4 0.9540.050
 0.986
ベルヌーイ分布(Bernoulli Distribution)




n=1のとき、二項分布はベルヌーイ分布となり、
Bi(1,p)で示す。ベルヌーイ試行は以下の3つの条件
を満たす試行である。
試行結果は成功あるいは失敗のいずれかである。
各試行は独立である
成功確率p(失敗確率q=1-p)は試行を通じて一定
である。
ベルヌーイ分布の確率関数と分布関数
ベルヌーイ試行に対し、次の確率変数Xを
定義する。

1 , 成功 p=成功確率
0 , 失敗 q=1-p=失敗確率


X {
x
1 x
確率関数: p q
 分布関数: F(0)=1-p, F(1)=1
 期待値=p, 分散=pq

練習問題

市場のメロンの95%は成熟しているが、残
り5%は未熟とする。いま、任意に1つのメ
ロンを買ったとき、それが成熟している確
率はいくらか。また、任意に5つのメロンを
買ったとき、3つ以上成熟している確率を
求めてみよう。