Transcript 比率・相関の検定と推定

比率・相関の検定と推定
１．１標本の比率の検定
H0：頻度に差がない、と言えるか？⇒χ２乗適合度検定
A
B
計
観測度数O
8
12
20
期待度数E
10
10
20
χ２乗適合度検定
χ2値
 
2

(O  E)2
E
0.8
自由度df
df=カテゴリ数-1
P値（上側確率）
P(χ2≧検定統計量）
=chidist(χ2, df)
1
0.371
二項検定
二値変数：
２つの値を取る変数（勝ち負け、裏表、成功・失敗など）
二項検定：
二項分布（標本数Nのときの確率pの分布）に基づく検定
試行数が多いとき（各期待度数≧5）、
二項分布は正規分布 N(p, n*p*(1-p))に近似できる
↓
H0: p = p0 （母比率p＝特定の比率p0）の検定
成功回数ｘ、試行回数ｎのとき、
x  Np0
z
N * po * (1  p0 )
~N(0, 12)
ｚ分布を用いた１標本の比率検定
A
（成功、支持など）
B
（失敗、不支持など）
計
8
12
20
H0: p = 0.5の検定
検定統計量 u=(8-20*0.5) / sqrt(20*0.5*(1-0.5))=-0.894
有意確率P P(z≦-0.894)=normsdist(-0.894)=0.186
(注意：z<0のときnormsdist(z), z>0のとき1-normsdist(z)）
検定統計量 u
有意確率P
-0.894
0.186
検定統計量 χ2
自由度
有意確率P
0.799
1
0.371
（「H0: p = 0.5」を棄却できない。）
u2は、自由度１のχ2乗分布に従う
（比率の検定は、χ^2検定と同じ）
２．１標本の比率の区間推定
20人を調査したところ、８人が内閣を支持している。
母集団での支持率はどれくらいか推定したい。
母比率の95%信頼区間を求めよ。
大標本の下で、統計量pはｚ分布に従う。
標準誤差SE=sqrt( p^*(1-p^) / n )
下限値： p^ - 1.96 * SE
上限値： p^ + 1.96 *SE
SE=sqrt(0.4*(1-0.4)/20)=
95%信頼区間は、0.185 ≦p ≦0.615
Q:40人中16人が支持しているときの母比率を95%で
推定せよ。
２．１標本の比率の区間推定
40 人を調査したところ、16人が内閣を支持している。
母集団での支持率はどれくらいか推定したい。
母比率の95%信頼区間を求めよ。
大標本の下で、統計量pはｚ分布に従う。
標準誤差SE=sqrt( p^*(1-p^) / n )
下限値： p^ - 1.96 * SE
上限値： p^ + 1.96 *SE
SE=sqrt(0.4*(1-0.4)/40)=0.1095
母比率の95%信頼区間は、0.185 ≦p ≦0.615
（20人調査の時と比べると、信頼区間の範囲が狭い
＝調査人数ｎが大きくなると、精度の高い推定がで
きる）
3. ２標本の比率差の検定
確率変数x1, x2がそれぞれ独立にB(n1, P1), B(n2, P2)に従うとき、
(P^1-P^2)=x1/n1 – x2 /n2は近似的に次の正規分布に従う。
(P^1-P^2 ) ~ N(P1-P2=0, Ppooled*(1-Ppooled)*(1/n1+1/n2) )
ここで、Ppooled= ( x1+x2 ) / ( n1+n2 )
検定統計量 u0=(p^1-p^2) / sqrt( Ppooled*(1-Ppooled)*(1/n1+1/n2))
は、標準正規分布N(0, 12)に従う。
検定の際の条件：
１．各セルの期待値が10以上
２．母集団は各標本数の10倍以上ある。
3. ２標本の比率差の検定
男性社員の昇進率と女性社員の昇進率の間に有意な差が
あるだろうか？
昇進
昇進しない
計
男
196 (0.06)
3,074
3,270
女
4 (0.10)
36
40
計
200
3,110
3,310
2標本のサイズをn1, n2、yesの数をx1, x2とすると、
推定比率をP^1=x1/n1, p^2 =x2/n2。
2標本を併せた比率をプールした比率Ppooled = (x1+x2)/(n1+n2)とするとき、
検定量 u0 = ( p^1 – p^2 ) / sqrt( Ppooled * (1-Ppooled) * (1/n1 + 1/n2 ) ) は
標準正規分布N(0, 1^2)に従う。
3. ２標本の比率差の検定
男性社員の昇進率と女性社員の昇進率の間に有意な差が
あるだろうか？
2標本のサイズをn1, n2、yesの数をx1, x2とすると、
推定比率をP^1=x1/n1, p^2 =x2/n2。
2標本を併せた（プールした）比率
Ppooled = (x1+x2)/(n1+n2)とするとき、
検定量 u0 = ( p^1 – p^2 ) /
sqrt( Ppooled * (1-Ppooled) * (1/n1 + 1/n2 ) ) は
標準正規分布N(0, 1^2)に従う。
3. ２標本の比率差の検定
男性社員の昇進率と女性社員の昇進率の間に有意な差が
あるだろうか？
（男性の母集団の推定比率）P^1 = 0.06
（女性の母集団の推定比率）p^2 = 0.10
（２つの標本をプールした比率）Ppooled=200/3310 = 0.060
検定量 u0 = (0.06-0.10) /
sqrt( 0.060*(1-0.060)*(1/ 3270+ 1/40 ) ) = -1.059
検定量u0 =-1.059>-.196より、H0を棄却できない。
（正確な有意確率 P( u <=-1.059 ) = 0.145）
したがって、男性と女性の昇進率に有意な差があるとは
言えない。
４．２標本の比率の差の推定
母比率の差の95%信頼区間
下限値： ( p^1 – p^2 ) – 1.96 * SE
上限値： ( p^1 – p^2 ) + 1.96 * SE
SE= sqrt ( ( p^1 * ( 1 – p^1 ) ) / n1 + ( p^2 * ( 1 – p^2 ) ) / n2 )
= sqrt(0.06*(1-0.06)/3270 + 0.10*(1-0.10)/40 )
= 0.048
前問の95%信頼区間を計算
(-0.133, 0.053) （信頼区間が0を含む＝差が有意でない）
５．順位データの相関係数
スピアマンの順位相関係数ρ
もとのデータを順位に変換し、Xiの順位とYiの順位との
差Dとすると、
6 ΣD2
ρ= 1 - --------------N3 – N
JSTAT.exeを利用する
(NはX, Yの対の数）
ある意見に対し、次のような調査結果を得た。男性=0、女性=1、
賛成=0、反対=1というスコアを与えて、スピアマンの順位相関係数
を求めよ。
賛成
反対
計
男性
20
10
30
女性
15
10
25
JSTATを用い、
1．性別と意見の列変数に、0，1を入力して、データ作成（保存も可）
2．「データ設定」メニューから「１因子２群データ」を選択して、OK
３．「相関」メニューから「Spearmanの順位相関係数」を選択
４．分析結果が表示される。（保存も可）
ρ
無相関検定
P値
0.069
0.612
最終課題＝函教大プチ社会調査
（個人または2.3人のグループ）
１．ランダム抽出された函教大生を対象に、質問紙法などによっ
て、何らかの社会（意識、実態）調査を行う。
（30人以上が望ましい）
２．個票データ、集計データを作成する。
３．調査項目について、統計的に図表にまとめる。（記述統計）
４．調査項目間の関係、差を統計的に分析する。（検定と推定）
５．調査に関してPPTでレポートを作成する。
（目的、方法、結果、考察）
６．資料に基づいて、プレゼンテーションを行う。
調査項目
１．性別 ２．学年 ３．専攻
４．Q１: あなたは最近１年間でボランティア活動をしたことがあり
ますか？ はい いいえ
Q2: そのボランティア活動は有意義でしたか？
１．無意味 ２．やや無意味 ３．やや有意義 ４．有意義
Q3: あなたは今後の１年間のうちに、何らかのボランティア活
動をするつもりがありますか？ はい いいえ
５．Q1: あなたは函館校の専門の授業に満足していますか？
１．不満 ２．やや不満 ３．やや満足 ４．満足
Q2: あなたが今一番力を入れているのは何ですか？
１．勉強 ２．サークル ３．アルバイト ４．その他
６．Q1: あなたは１日にどのくらい携帯メールを送信しますか？
１．０通 ２．１～５通 ３．６～10通 ４．11通以上
Q2: あなたは授業中に携帯メールを送信したことがあります
か？ はい いいえ