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確率･統計Ⅰ
第7回 二項分布（続き）、幾何分布
ここです！
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確率変数と確率分布
確率変数の同時分布、独立性
確率変数の平均
確率変数の分散
確率変数の共分散
ベルヌイ試行、二項分布
二項分布（続き）、幾何分布
ポアソン分布
正規分布
正規分布（続き）
大数の法則、中心極限定理
統計学の基礎1（母集団と標本、確率論との関係）
統計学の基礎2（正規分布を用いた推定・検定）
確率･統計Ⅰ
第7回 二項分布（続き）、幾何分布など
ここです！
1.
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13.
確率論とは
確率変数、確率分布
確率変数の独立性 ／ 確率変数の平均
確率変数の平均（続き）、確率変数の分散
確率変数の共分散、チェビシェフの不等式
ベルヌイ試行と二項分布
二項分布（続き）、幾何分布など
二項分布の近似、ポアソン分布、正規分布
正規分布とその性質
i.i.d.の和と大数の法則
中心極限定理
統計学の基礎1（母集団と標本、確率論との関係）
統計学の基礎2（正規分布を用いた推定・検定）
二項分布（続き）、幾何分布
1. 二項分布の平均・分散
2. 幾何分布
・幾何分布の式
・幾何分布の平均と分散の公式
・クーポンコレクター問題
二項分布の平均と分散
X が二項分布 B(n, p) に従うとき、
平均
分散
E( X )  np
V ( X )  npq
（問） 二項分布の式を用いて、これを証明せよ。
二項分布 B(n, p) のグラフ
p = 0.5
n=4
np=2
0.4
0.375
0.3
0.25
0.25
0.2
0.1
0.0625
0.0625
0
0
1
約3割
2
約4割
3
4
約3割
二項分布 B(n, p) のグラフ
p による変化
(n = 10)
np=1
np=2
np=3
np=4
np=5
0.45
0.4
0.35
p = 0.5
p = 0.4
0.3
0.25
0.2
p = 0.3
0.15
p = 0.2
0.1
p = 0.1
0.05
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
二項分布 B(n, p) のグラフ
n による変化
(p = 0.2)
np=0.1
0.45
0.4
n=5
n=10
n=15
n=20
n=25
n=30
n=35
n=40
n=45
n=50
0.35
0.3
0.25
np=10
0.2
0.15
0.1
0.05
～50は省略
0
0
5
10
15
20
50
［再演習］ 確率変数と分布関数・平均・分散
(離散的な場合)
[1] 偏りのないコインを3回投げる実験で、表の出る
回数を X とする。
(1) 確率変数 X の確率分布を求めよ。
(2) Xの平均 E(X) 、分散 V(X) を求めよ。
(3) 表が出たら2ドル貰え、裏が出たら1ドル失うとし
て、獲得金額を Y とするとき、確率変数 Y の平
均 E(Y) 、分散 V(Y) を求めよ。
（二項分布の概念と公式を利用して求め、
前の労力および結果と比較せよ）
［まとめ演習］ 二項分布とその平均・分散
[2] 1/100で当たるくじを考える。
(1) 100回引いて、ちょうど1回当たる確率を求めよ。
(2) 100回引いて、1回も当たらない確率を求めよ。
(3) 100回引いたときに当たる回数 X の、平均およ
び分散を求めよ。
(4) 「少なくとも1回当たる」確率が75%以上であるた
めには、最低何回引く必要があるか。
二項分布（続き）、幾何分布
1. 二項分布の平均・分散
2. 幾何分布
・幾何分布の式
・幾何分布の平均と分散の公式
・クーポンコレクター問題
幾何分布
例： サイコロを何度も投げ、初めて1が出るまでの回
数 を X とする。
X の確率分布は「成功」確率 p=1/6 の幾何分布。
X
1
2
3
4
確率
1
 
 6
 5  1 
  
 6  6 
2
3
 5
 
 6
1
 
 6
(1/6)がp, (5/6)がq=1-p
 5
 
 6
……
1
 
 6
……
幾何分布
一般に、 X が幾何分布（パラメータ p ） に従う場
合の確率分布表
X
1
2
3
確率
p
qp
q2 p
……
……
r
qr-1 p
・幾何分布のパラメータは、 p だけ
……
……
(q=1-p)
幾何分布
確率変数 X の確率分布 P( X = x ) が
次の式で与えられるとき、「Xはパラ
メータ p の幾何分布に従う」と言う：
P( X  x)  p  q
x1
（問） これが確かに確率分布であることを確かめよ。
幾何分布になる例
・（無限）べルヌイ試行（一回あたりの「成功」
確率pとする）で、はじめて「成功」するまで
の回数を X とする。
・確率変数 X の分布は幾何分布になる。
X のとりうる値は、1, 2, 3, …（無限）
（離散型）
幾何分布のパラメータ p
（幾何分布には特に記号はない）
幾何分布（例題）
例題：2人がじゃんけんをするとき、グー・
チョキ・パーを出す確率はどれも1/3ずつとす
る。2回目までに勝負がつく確率を求めよ。
確率変数 X を「勝負がつくまでの回数」
とすると、
X は パラメータ p = 2/3 の幾何分布に従う。
幾何分布（例題）
確率変数 X を「勝負がつくまでの回数」とすると、
X は パラメータ p = 2/3 の幾何分布に従う。
よって
P( X  2)  P( X  1)  P( X  2)
2  1  2  8
       0.89
3  3  3  9
幾何分布の平均と分散
X が幾何分布（パラメータ p） に従うとき、
平均
分散
1
E( X ) 
p
q
V (X )  2
p
（問） 幾何分布の式を用いて、これを証明せよ。
クーポンコレクター問題
n種類のクーポンが、毎回1/nずつの等
確率で出るくじを考える。はじめてn種類
目が出る回数 X の期待値はいくらか。
答：
1
1 1 1
E( X )  n       
n
1 2 3
クーポンコレクター問題
考え方
1種類目のクーポンが現れるまでの回数の期待値
…1
2種類目のクーポンが現れるまでの回数の期待値
…n/(n-1)
理由： すでに1種は持っているから、目当ての
クーポンはn-1種類。それらが出る確率は p = (n1)/n
パラメータ p の幾何分布の期待値だから、1/p
3種類目のクーポンが現れるまでの回数の期待値
…n/(n-2)
理由： すでに2種は持っているから、目当ての
クーポンはn-2種類。それらが出る確率は p = (n2)/n
パラメータ p の幾何分布の期待値だから、1/p
クーポンコレクター問題
考え方
3種類目のクーポンが現れるまでの回数の期待値
…n/(n-2)
理由： すでに2種は持っているから、目当ての
クーポンはn-2種類。それらが出る確率は p = (n2)/n
パラメータ p の幾何分布の期待値だから、1/p
…… 以下同様 ……
n種類目のクーポンが現れるまでの回数の期待値
以上を加えれば、答えを得る。
…n/1
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