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確率･統計Ⅰ 第4回 確率変数の分散 ここです！ 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 確率変数と確率分布 確率変数の同時分布、独立性 確率変数の平均 確率変数の分散 確率変数の共分散 ベルヌイ試行、二項分布 二項分布（続き）、幾何分布 ポアソン分布 正規分布 正規分布（続き） 大数の法則、中心極限定理 統計学の基礎1（母集団と標本、確率論との関係） 統計学の基礎2（正規分布を用いた推定・検定） 確率変数の分散 1. 確率変数の分散 （定義と意味） 2. 確率変数の分散の公式(1)(2)(3) 確率変数の分散 確率変数 X のとりうる値すべて に関する偏差の2乗の、確率重みつ き平均 偏差…平均との差（平均からのズレ） E(X)=μ とすれば V(X) = E[ (X -μ)2 ] 確率変数の分散 例： サイコロを1回投げ、出た目の数を X とする。 1 1 1 1 1 1 E(X ) 1 2 3 4 5 6 6 6 6 6 6 6 1 21 (1 2 3 4 5 6) 3.5 6 6 確率変数の分散 偏差は X=1 : 1 3.5 2.5 X=2 : 2 3.5 1.5 X=3 : 3 3.5 0.5 X=5 : 5 3.5 1.5 X=4 : 4 3.5 0.5 X=6 : 6 3.5 2.5 したがって分散は 1 2.5 1.5 0.5 0.5 1.5 2.5 6 2 2 2 2 2 2 2.91666 確率変数の分散 （離散型） 式で書くと Var.の略 X の分散 V(X) = x E( X ) P( X x ) 2 i i 見やすくするため E(X)=μ, P(X=xi) = pi と書いて ∑ (xi -μ)2 pi i 離散的確率変数の分散 X の分散 V(X) = ( x ) i 2 pi i 連続的確率変数の分散 V(X) = ( x ) f ( x)dx 2 確率密度 分散の意味 • 同じ平均でも、分布のバラツキが大きいと、 分散が大きい 0.30 0.30 0.25 0.25 0.20 0.20 0.15 0.15 0.10 0.10 0.05 0.05 0.00 0.00 1 2 3 4 5 1 6 23 V ( X ) 1.916 12 < 2 3 4 5 6 47 V ( X ) 3.916 12 確率変数の分散 1. 確率変数の分散 （定義と意味） 2. 確率変数の分散の公式(1)(2)(3) 分散の性質(1) X の一次式で与えられる確率変数の 分散については、次の式が成り立 つ： V (aX b) a V ( X ) 2 （課題1） これまでに習った公式を用いて、これ を証明せよ。 分散の性質(1) 例： サイコロを1回投げ、(出た目の数×2)－3 を Y とする。 Y の分散 V(Y) を求めよ。 V (Y ) V (2 X 3) 4V ( X ) 4 2.91666 分散の性質(2) 2つの独立な確率変数 X と Y の和 X+Y の分散について、次の式が成り 立つ： V ( X Y ) V ( X ) V (Y ) （課題2） これまでに習った公式を用いて、これ を証明せよ。 分散の性質(2) したがって、n個の独立な確率変数 X1,…Xn の和 の分散については、 V ( X1 X 2 X n ) V ( X1 ) V ( X 2 ) V ( X n ) 分散の性質(2) 例： サイコロを10回投げ、出た目の数の和 を Y とす る。Y の分散 V(Y) を求めよ。 i 回目に出る目の値を Xi とすると、 V( Xi )=2.91666… で、 X1,…,X10 は独立だから、 V (Y ) V ( X1 X 2 X10) V ( X1 ) V ( X 2 ) V ( X10) 2.916610 29.166 分散の性質(3) 分散と平均の関係 V ( X ) E ( X ) E( X ) 2 二乗平均 2 平均の二乗 （課題3） 確率変数 X の分散 V(X) は、E[ (Xμ)2 ] と書けることを用いて、これを証明せよ。た だしμ=E(X) 分散の性質(3) 例： サイコロを1回投げ、出た目の数 を X とする。 X の分散 V(X) を求めよ。 1 91 E( X ) (1 2 3 4 5 6 ) 6 6 2 2 2 2 V ( X ) E ( X ) E( X ) 2 2 2 2 2 前の計算と一致 91 91 49 35 2 3.5 2.91666 6 6 4 12 分散の公式（まとめ） ① V( aX + b ) = a2E(X) ② X と Y が独立ならば、 V( X + Y ) = V(X) + V(Y) ③ V(X) = E(X2) - E(X)2 ［演習］確率変数、確率分布、平均・分散 (離散型) [1] 偏りのないコインを3回投げる実験で、表の出る 回数を X とする。 (1) 確率変数 X の確率分布を求めよ。 (2) Xの平均E(X)、分散V(X)を求めよ。 (3) 表が出たら2ドル貰え、裏が出たら1ドル失うとし て、獲得金額を Y とするとき、確率変数 Y の平 均E(Y)、分散V(Y)を求めよ。 ［演習］確率変数、確率分布、平均・分散 （連続型） [2] 区間[0,1]に針を落とすとき、落ちる位置 の座標を X とする。風の影響で、確率変数 Xの確率分布が右下図のような形をしてい るものとするとき、次の問いに答えよ。 (1) X の確率密度関数 f (x) を求めよ。 (2) P ( 0.2 < X < 0.6 ) を計算せよ。 f(x) (3) X の平均 E(X) 、分散 V(X) を求 a めよ。 0 0.5 1 メニューに戻る メニューへ