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確率･統計Ⅰ
第11回 i.i.d.の和と大数の法則
ここです！
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確率論とは
確率変数、確率分布
確率変数の独立性 ／ 確率変数の平均
確率変数の平均（続き）、確率変数の分散
確率変数の共分散、チェビシェフの不等式
ベルヌイ試行と二項分布
二項分布（続き）、幾何分布など
二項分布の近似、ポアソン分布、正規分布
正規分布とその性質
i.i.d.の和と大数の法則
中心極限定理
統計学の基礎1（母集団と標本、確率論との関係）
統計学の基礎2（正規分布を用いた推定・検定）
中心極限定理とは
X1, …, Xn を i.i.d. とし、 X = X1 + … + Xn とおく。
簡単のため、平均 E(Xi)=0, 分散 V(Xi)=1 としよう。
n→∞のとき
大数の法則
X1  X 2   X n
0
n
中心極限定理
X 1  X 2   X n
 N (0,1)
n
中心極限定理とは
n→∞のとき
i.i.d.の和 X の標準化 X* は、
標準正規分布 N(0,1) に“近づく”
この主張を理解するためには、
「標準化」と「正規分布」
について知っておく必要がある。
正規分布と中心極限定理
1.（復習）確率変数の標準化
2.（復習）正規分布
3.中心極限定理
確率変数の標準化
確率変数 X の平均 E(X)=μ, 分散 V(X)=σ2 と
するとき、
X 
*
X 

（Xの標準化）
とおくと、 E(X*)=0, V(X*)=1 となる。
（問） E(X*)=0, V(X*)=1 となることを確かめよ。
確率変数の標準化 補足
 X の標準化 X* と、Y=aX+b の標準
化 Y* は、同一の確率変数となる：
(aX+b)* = X*
（例）
X = X1+…+Xn の標準化 X*
X= X / n = (X1+… +Xn) / n の標準化 X *
は、同一 ：
X* = X *
正規分布と中心極限定理
1.（復習）確率変数の標準化
2.（復習）正規分布
3.中心極限定理
正規分布
確率密度関数 が次の式で与えられ
る確率分布を、平均μ, 分散σ2の正規
分布 N(μ,σ2) という：
f ( x) 
1
e
2 

x   2

2 2
（問） これが確かに確率分布であることを確かめよ。
正規分布の平均・分散・標準化
確率変数 Z が正規分布 N(μ,σ2) に
従うとき、
1. E(Z) =μ
2. V(Z) =σ2
標準正規分布と呼ぶ
3. Z の標準化 Z* は N(0,1) に従う
（問） これらを確かめよ。
正規分布と中心極限定理
1.（復習）確率変数の標準化
2.（復習）正規分布
3.中心極限定理
中心極限定理
再び i.i.d. の和を考えよう：
X1, X2, …, Xn を i.i.d. とし、
X = X1 + X2 + … + Xn とおく。
ただし、 E(Xi) =μ, V(Xi) =σ2 とする。
（復習）i.i.d.の和の平均と分散
Sn = X1 +…+ Xn
E(Sn) = nμ
V(Sn) = nσ2
E(Xi) =μ, V(Xi) =σ2
特に
二項分布
q
p
0
Sn = X1 +…+ Xn
1
E(Xi) = p, V(Xi) = pq
E(Sn)=np, V(Sn)=npq
中心極限定理
n→∞のとき
X の標準化 X* は、
標準正規分布 N(0,1) に“近づく”
正確には： （「中心極限定理」）
1
P(a  X  b) 
2
*
x2
b 
2
a
e
dx
中心極限定理 補足①

X
*
X  n

n
だから、
中心極限定理は「大数の法則」の精
密化である。
X / 1 は発散し、X / n は平均に集中（大数の法則）した。
その中間のオーダーで割った X /√n を考えている。
中心極限定理 補足②

X  X だから、中心極限定理は
X 
*
X 
/ n
*
*
の極限と考えてもよい。
（実際、 X* の分子と分母を n で割った式になっている。）
中心極限定理 補足③
ド・モアブル-ラプラスの定理は、
中心極限定理の特別な場合。
X が二項分布 B(n, p) に従うとき、
X はi.i.d.の和とみなせる。
E(X)=np, V(X)=npq
（問）この場合の中心極限定理を述べてみよ
二項分布の正規近似（再）
X を 二項分布 B(n, p) に従う確率変数とする。
（ド・モアブル-ラプラスの定理）
N(np, npq)
n→∞のとき、
( xnp)2
b 
2npq
1
P(a  X  b) 
e

2npq a
dx
二項分布の正規近似´ （再）
X を 二項分布 B(n, p) に従う確率変数とする。
（ド・モアブル-ラプラスの定理；別の形）
N(0, 1)
n→∞のとき、


X

np
1
P a 
 b  
npq
2


x2
b 
2
a
e
dx
［演習］ 確率変数の標準化
[1] X1, X2, …, Xn を i.i.d. , X1*, X2*, …, Xn* を
それぞれの標準化とする。
Sn = X1 + X2 + … + Xn の標準化 Sn* に対し
て、次式が成り立つことを示せ。
X  X 2   X n
Sn 
n
*
*
1
*
*
［再演習］ 正規分布
[2] 確率変数 Z が正規分布 N(5,16) に従うと
する。
I. 次の確率を、標準正規分布に従う確
率変数 Z* に関する確率で表せ。
1. P( 4＜ Z ≦8 )
2. P( Z > 0 )
II.
確率が P( -2< Z* <2 ) と等しくなるよう
な、 Z の範囲を求めよ。
［再演習］ 正規分布
[3] 確率変数 Z が正規分布 N(5,16) に従うとき、次
の確率を関数
1
F ( x) 
2

x

t2

2
e dt
を用いて表せ。
さらに、負の数を使わずに表す工夫を考えよ。
1. P( 4＜ Z ≦8 )
2. P( Z > 0 )
［演習］ 二項分布の正規近似
[4] 確率変数 X が二項分布 N(100, 0.5) に従
うとき、次の確率を標準正規分布 Z* に
ついての確率で近似せよ。
1. P( 45＜ X ≦60 )
2. P( X > 0 )
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