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確率･統計Ⅰ
第11回 中心極限定理 と 大数の法則
ここです！
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確率変数と確率分布
確率変数の同時分布、独立性
確率変数の平均
確率変数の分散
確率変数の共分散
ベルヌイ試行、二項分布
二項分布（続き）、幾何分布
ポアソン分布
正規分布
正規分布（続き）
大数の法則、中心極限定理
統計学の基礎1（母集団と標本、確率論との関係）
統計学の基礎2（正規分布を用いた推定・検定）
中心極限定理と大数の法則
1. 中心極限定理
2.大数の法則
3.二項分布の場合
4.意味の確認
中心極限定理
X1, X2, …, Xn を 独立な確率変数とし、
Sn = X1 + X2 + … + Xn とおく。
ただし、 E(Xi) =μ, V(Xi) =σ2 とする。
n→∞のとき
Sn は、
正規分布 N(nμ, nσ2) に“近づく”
Sn の平均と分散
一般に、 E(Xi) =μ, V(Xi) =σ2 とするとき、
E ( S n )  n
V (S n )  n
2
Sn の平均と分散
E (S n )  E ( X1)  E ( X 2 )    E ( X n )
      
 n
V (S n )  V ( X 1)  V ( X 2 )    V ( X n )
    
 n
中心極限定理（別表現）
X1, X2, …, Xn を 独立な確率変数とし、
X = (X1 + X2 + … + Xn ) / n とおく。
ただし、 E(Xi) =μ, V(Xi) =σ2 とする。
n→∞のとき
X は、
正規分布 N(μ, σ2 / n ) に“近づく”
X の平均と分散
X = Sn / n = (X1+…+Xn) / n
とおくとき、
(ただし、X1, …, Xn は独立で、E(Xi)=μ, V(Xi)=σ2 )
E(X ) 
1
 E (S n ) 
n
V (X ) 
1
n
2
1
n  
n
V ( S n ) 
1
n
2
n
2


2
n
中心極限定理 補足
X

*
X 
 /
n
とおくと、
n→∞のとき
*
X ( S n )
は、
標準正規分布 N(0, 1) に“近づく”
*
中心極限定理と大数の法則
1. 中心極限定理
2.大数の法則
3.二項分布の場合
4.意味の確認
大数の法則
n→∞のとき
E ( X )   は変化なし
V (X )  
2
/n  0
これは次のことを意味する： （「大数の法則」）
X の分布が、μ= E(Xi) に“近づく”
大数の法則（例）
p=0.5 n=50 の二項分布の相対度数 X のグラフ
P(X/n = r’)
0.1
0.08
0.06
0.04
0.02
0.2
0.4
0.6
0.8
1
大数の法則（例）
p=0.5 n=200 の二項分布の相対度数 X のグラフ
P(X/n = r’)
0.05
0.04
0.03
0.02
0.01
0.2
0.4
0.6
0.8
1
大数の法則（例）
p=0.5 n=2000 の二項分布の相対度数 X のグラフ
P(X/n = r’)
0.0175
0.015
0.0125
0.01
0.0075
0.005
0.0025
0.2
0.4
0.6
0.8
1
中心極限定理と大数の法則の
関係
中心極限定理
大数の法則
X  

 N ( 0 ,1)
n
精密化
X   0
Sn / 1 は発散し、 X = Sn / n は平均に集中する（大数の法則） 。
中心極限定理は、その中間のオーダーで割った Sn /√n を考え
ている。
正確な大数の法則
厳密な数学の定理としては、
大数の弱法則
(ベルヌーイの大数の法則)
大数の強法則
の２つがある。
大数の弱法則
任意のε>0 に対して


lim P X      1
n 
大数の強法則

P lim
n 

X    1
チェビシェフの不等式（復習）
P (| X   |  ) 
V (X )

μ=E(X)
2
中心極限定理と大数の法則
1. 中心極限定理
2.大数の法則
3.二項分布の場合
4.意味の確認
二項分布の場合
Xi がベルヌイ分布の場合、 Sn は二項分布になる。
Xi
確率
0
q
1
p
このとき、
一致（結果的に）
E ( X i )  1 p  0  q  p
V ( X i )  (1  p )  p  ( 0  p )  q  pq
2
だから、和 Sn については…：
2
二項分布の場合
E (S n )  E ( X1)  E ( X 2 )    E ( X n )
 p  p   p
 np
V (S n )  V ( X 1)  V ( X 2 )    V ( X n )
 pq  pq    pq
 npq
Snの平均と分散のまとめ
Sn = X1 +…+ Xn
E(Sn) = nμ
V(Sn) = nσ2
E(Xi) =μ, V(Xi) =σ2
特にベルヌイ分布の場合
q
p
0
二項分布
Sn = X1 +…+ Xn
1
E(Xi) = p, V(Xi) = pq
E(Sn)=np, V(Sn)=npq
中心極限定理（二項分布の場合）
「ド・モアブル-ラプラスの定理」
（二項分布の正規近似） は、
中心極限定理の特別な場合。
Sn が二項分布 B(n, p) に従うとする。
n→∞のとき
Sn は、
正規分布 N(np, npq) に“近づく”
大数の法則（二項分布の場合）
Sn が二項分布の場合、
Sn は成功度数だから
X = Sn / n の意味は 「相対度数」
（確率 p の事象が起きた回数の割合）
だから、「大数の法則」は次のことを意味する：
一回の成功確率が p の試行を繰り返して
いくと、成功の相対度数が p に “近づく”
中心極限定理と大数の法則
1. 中心極限定理
2.大数の法則
3.二項分布の場合
4.意味の確認
大数の強法則（例）
p=0.5 の二項分布の相対度数 X の
n=102～104 における実験値（10回分）
0.575
0.55
0.525
0.5
0.475
0.45
0.425
2.25
2.5
2.75
3
3.25
3.5
3.75
4
対数目盛り
103=1000
104=10000
大数の強法則（例）
p=0.5 の二項分布の相対度数 X の
n=1～104 における実験値（10回分）
0.575
0.55
0.525
0.5
0.475
0.45
0.425
2000
4000
6000
8000
10000
大数の強法則（例）
p=0.5 の二項分布の相対度数 X の
n=102～105 における実験値
0.575
0.55
0.525
0.5
0.475
0.45
0.425
対数目盛り
2.5
3
3.5
103=1000
4
4.5
104=10000
5
105=100000
大数の法則？
p=0.5 の二項分布の度数 Sn の pからのずれ
n=1～103 における実験値（1回分）
40
20
0
-20
-40
200
400
600
800
1000
大数の法則？
p=0.5 の二項分布の度数 Sn の pからのずれ
n=1～104 における実験値（1回分）
100
75
50
25
0
-25
-50
-75
2000
4000
6000
8000
10000
大数の法則？
p=0.5 の二項分布の度数 Sn の pからのずれ
n=1～104 における再実験値（1回分）
100
75
50
25
0
-25
-50
-75
2000
4000
6000
8000
10000
大数の法則？
p=0.5 の二項分布の度数 Sn の pからのずれ
n=1～104 における実験値（10回分）
100
75
50
25
0
-25
-50
-75
2000
4000
6000
8000
10000
大数の法則？
p=0.5 の二項分布の度数 Sn の pからのずれ
n=102～104 における実験値（10回分）
100
75
50
25
0
-25
-50
-75
対数目盛り
2.25
2.5
2.75
3
3.25
103=1000
3.5
3.75
4
104=10000
大数の法則（再）
p=0.5 の二項分布の相対度数 X の
n=102～104 における実験値（10回分）
0.575
0.55
0.525
0.5
0.475
0.45
0.425
2.25
2.5
2.75
3
3.25
3.5
3.75
4
対数目盛り
103=1000
104=10000
賭けと中心極限定理
例 ： μ= -0.1, σ=1 の賭け
正規分布
0.45
μ=-0.1,σ=1
μ=-10,σ=10
0.4
0.35
0.3
100回累積後の分布
（常にほぼ正規分布）
0.25
0.2
0.15
0.1
マイナスになる確率
=P(Z*<1)
=0.84
0.05
0
-50.0
-0.05
-40.0
-30.0
-20.0
-10.0
σ μ σ
0.0
10.0
20.0
30.0
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