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第２回目講義 （2009年7月16日）
化学工学基礎
−後半の後半−
第２章 流 動 − 流体の輸送
・容器（管）内における流体の動きを制御する
・そのためには、容器（管）内における流体の動きを解析する
・Bernoulli（ベルヌーイ）の定理
（エネルギー収支の解析）
(http://cheme.eng.shizuoka.ac.jp/~futamatalab/)
1
＜前回の復習＞
（ハーゲン・ポアズイユ）
2
・速度分布（Hargen-Poiseuilleの定理）
τW
P1
半径
(r)
P2
力のバランス（静止している）を考える
ΔP = (P1 - P2) [Pa] 圧力損失
ΔP × πr2 = 2πrL × τW ……..①
(押す力と摩擦力が釣り合っている)
長さL [m]
層流を考えるとτWは剪断力でもあるので、
τW = ーμ（ｄＵ／ｄＲ） ……..② とも表現される。
①と②から層流における速度分布の式を導く事ができる。
・摩擦（Fanning）
摩擦応力τWとは、壁面における運動エネルギーの損失
ρＵ２
τW = 2 ・f で表される（f : 摩擦係数） 層流の場合、 f = 16/Re
乱流の場合、 Moodyチャートなどを利用
Bernoulli（ベルヌーイ）の定理
非粘性流体（μ = 0）の定常流では、
単位時間当たりの任意の流路断面において、
運動エネルギー、位置エネルギー、圧力エネルギーの
総和 W が一定である。
S
u
2
2
・
S1
z2
・
u1
基準面
∫s (
（μ = 0を想定してるが、
多くの実在流体に適応可能）
z1
1u2・ρudS + gZ・ρudS + P・udS) = 一定
2
3
Bernoulliの式
∫s (
1u2・ρudS + gZ・ρudS + P・udS) = 一定
2
1 u 3ρ S + gZ ρ u S + P u S =
1 1 1
1 1 1 1
1 1 1
2
1u 3ρ S + gZ ρ u S + P u S
2 2 2
2 2 2 2
2 2 2
2
平均速度Uを用いると、<u3> = αU3 (層流；α = 2、乱流;α = 1.06)
α U 3ρ S + gZ ρ U S + P U S =
1 1 1
1 1 1 1
1 1 1
2
ρ
1
U1S1 = U2S2 (連続式より)
αU 3ρ S + gZ ρ U S + P U S
2 2 2
2 2 2 2
2 2 2
2
ρ
2
ρ1 = ρ2 (非圧縮性流体)
αU12 + gZ1 + P1 = αU22 + gZ2 + P2
ρ2
ρ1
2
2
運動エネルギー
位置エネルギー
圧力エネルギー
各項目は流体単位質量当たりのエネルギー [J/kg]を表している
（ m2/s2 = m2/s2 ・kg/kg = J/kg）
機械的エネルギー収支
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実際の流体輸送系では、バルブ、
エルボ（管継ぎ手）などが使用されている。
②
エルボ
①
ポンプ
基準面
バルブ
z2
z1
それらでは、管壁と同様に、
流体の粘性によるエネルギーの
損失が生じる。
これらに打ち勝って流体を輸送する
ために、ポンプなどを用いる。
①と②での流体単位質量当たりの機械的エネルギー [J/kg]は、
αU12 + gZ1 + P1 + W = αU22 + gZ2 + P2 + ∑F
ρ2
ρ1
2
2
ポンプなどの加えられたエネルギー
損失エネルギーの総和
W = （αU22ーαU12） + g（Z2 ーZ1）+ （P2 ーP1 ）+ ∑F
ρ
2
（ρ1 = ρ2 ）
エネルギーの損失 ∑F = Fs + Fe + Fc + Fa
エルボ
ポンプ
基準面
Fs : 輸送管によるもの（圧力損失）
バルブ
Fe : 流路の拡大によるもの
Fc : 流路の縮小によるもの
Fa : 継ぎ手やバルブによるもの
輸送管によるエネルギー損失（Fs）： 圧力損失
4 Lｆ ρＵ２
２L
3]
[Pa]
=
[J/m
=
ΔP =
τ
Ｄ 2
R W
２
Ｕ
4
L
ｆ
[J/kg]
Fs [J/kg] = ΔP / ρ [J/m3・m3/kg] =
Ｄ 2
f : 摩擦係数（層流：f = 16/Re、乱流：Moodyチャート）
必要なパワー P[J/s] = w（質量流量[kg/s]） × W(仕事量[J/kg])
= ΔP [J/m3] × Q[m3/s]
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管継ぎ手やバルブ類によるエネルギー損失Fa [J/kg]
相当長さ（Le [m] = nD [m])を用いる場合、
直管と同等になるため、FSを変形し
Fa = 4f(Le/D)(U2/2)
損失係数を用いる場合
Fa = fa・U2/2
f : 摩擦係数[-]
D : 管の直径[m]
U : 平均速度[m/s]
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管路の急拡大・急縮小によるエネルギーの損失Fe, Fc [J/kg]
管路が急に拡大あるいは縮小すると流れが管路に沿って流れず、
エネルギー損失FeあるいはFcをもたらす。
管路拡大
Fe = fe・U12/2
① S1, U1
② S2, U2
管路縮小
Fc = fe・U22/2
管路拡大(Fe)
・
2/2 = (U - S ・U )2 = (1-S /S )U 2/2 = f U 2/2
Fe =
(U
-U
)
1
2
1
1
1
1 2
1
e 1
・
S2
(定常流なので、U1S1 = U2S2 )
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