Transcript 2009 7月 9日 （第1回）

第１回目講義 （2009年7月10日）
化学工学基礎
−後半の後半−
担当 二又裕之
物質工学１号館別館２５３ー３号室
e-mail : [email protected]
http://cheme.eng.shizuoka.ac.jp/~tatemotolab/classese.htm
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＜前回の復習＞
第２章 流 動
− 層流と乱流 −
・容器（円管）内における流体の動きを制御する
・そのために、容器（円管）内における流体
（気体や液体）の動きを解析する
・容器（円管）に流体を通すために必要な
考え方や原理を学ぶ（エネルギーについて考える）
・Reynolds（レイノルズ）数 [−]
・相当直径（De [m]）
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＜前回の復習＞
・Reynolds（レイノルド）数 (Re [−])
Re = DUρ/μ
粘性（摩擦エネルギー）と運動エネルギーの比
層流では粘性、乱流では運動エネルギーが支配
D :管の直径 [m]
2300
4000
層流 過渡範囲 乱流
U :流体の平均速度[m s-1]
ρ :流体の密度[kg m-3]
μ :流体の粘度[Pa・s] = [kg・m/s2・1/m2・s] = [kg m-1 s-1]
・相当直径（De [m]）
流路の断面が円でないものを円とみて直径を算出する
De [m] = 4 × （流路の断面積[m2]） / （流路の濡れ辺長 [m]）
課題１．１
幅0.4 m、高さ0.3 mの長方形断面を持つダクトを293K (20℃）の
水が0.24 m3/sで輸送されている時の流れは、層流か乱流かを相
当直径を利用しRe数を求めた上で識別せよ。また、層流にするた
めには、体積流量を何倍にすればよいか。
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課題１．２
内径Dの平滑円管内を密度ρ、粘度μの流体が平均速度Uで
流れている。管内壁面の摩擦応力τｗを次元解析によって求め、
その結果からRe数とは、何を表しているのかを説明せよ。
なお、単位系はSIを用いるものとする。
（注）摩擦応力（管内壁単位面積にかかる摩擦力のこと）
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第２章 流 動
− 円管内の流れ−
・容器（管）内における流体の動きを制御する
・そのために、容器（管）内における流体の動きを解析する
・速度分布（Hargen-Poiseuilleの定理）
（ハーゲン・ポアズイユ）
・摩擦（Fanning）
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円管内の流れ
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・連続の式
時間が経過しても変化しない流れを定常流という。
単位時間に流れる質量（質量流量 w [kg/s]）
w = ρUS = ρQ = 一定（定常流）
②
U2
S2
①
U1
ρ：密度 [kg/m3]
U：速度 [m/s]
S：断面積 [m2]
S1
Q：体積流量 [m3/s]
密度ρが一定の流体を非圧縮性流体と呼び、
以下の式が成立する。
ρU1S1 = ρU2S2 = ρQ = 一定（定常流）
円管内の層流速度分布
物体に力が作用すると流れが生じ、
流れを持続するために、力を作用し続けなければならない。
円管内に流れる定常流（=非圧縮性）に、
どのような力が作用し、
速度がどのように分布しているのか・・・
を知る必要がある。
ある地点における速度を表現する
式が必要になる。
考え方として、
Hargen-Poiseulle（ハーゲン・ポアズイユ）の法則を利用する
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管内における層流の流れイメージ図
流体の流れ
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Umax（最大速度）
管壁から最も遠い場所（中心）が
最も早い速度となっている。
R(距離)
剪断力τW
管 壁
剪断力τW（上の層と下の層の間に働く力）は、
流体の速度(u) に比例し
中心からの距離（管径（r））に半比例する
τW = ーμ（ｄu／ｄr） ……..① と表現される。
比例定数μ（この比例定数を粘度[Pa・s]と定義している）
流体（流速U[m/s]）の中に、両端が閉じた筒が入っていて、
静止していると考える
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半径 = R
半径 = r
平均速度
Ｕ [m/s]
長さL [m]
筒にかかる力のバランス（静止している）を考えると
P1
τW
P2
P1 × πr2 = P2 × πr2 + 2πrL × τW
ΔP = (P1 - P2) [Pa] （ΔP：圧力損失)
ΔP × πr2 = 2πrL × τW ……..
②
(押す力と摩擦力が釣り合っている)
rΔP
②の ΔP ×
= 2πrL × τWから τW =
2L
rΔP
ｄu
-μ
① = ③より
=
2L
ｄr
πr2
ΔP
∫ r ｄr
2Lμ
-
……③
= ∫ ｄu
ΔP r 2
= u + C’
4Lμ
r = R のとき u = 0 (壁に密着するため) より
C’ = u=
ΔP (R2- r2) から
4Lμ
ΔP
4Lμ
R2
r 2 } …④
)
u = ΔP R2{1- (
R
4Lμ
層流における速度分布の式
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速度分布の式
ΔP
2{1- r
R
(
)2 } …④
u ( r)=
R
4Lμ
U
Umax
0
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R
r
（半径Rの円管の中心から距離rの地点での
流体の速度、管長L、粘度μ）
r = 0の時、最大速度umaxとなるので、
umax =
ΔP R2
4Lμ
umax = 2U (層流においてumaxは平均速度Ｕの２倍)なので
4Lμ
８Lμ Ｕ
umax から ΔP =
…⑤
ΔP =
2
2
R
R
（ ΔP：圧力損失)
③と⑤式から
τW = 4RμU = 8DμU (R :半径、D:直径)
Fanning の摩擦係数（f ）：
乱流における摩擦応力の求め方
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円管壁上に生じる摩擦応力は、流体の運動エネルギーと比例関係にある
（摩擦応力） = (運動エネルギー) × f と記述できる
摩擦応力τW は、単位体積当たりのエネルギー
運動エネルギー[J] = 1/2(kg・m2/s2)も単位体積当たりにすると、
K =1/2(kg・m2/s2) / m3 = 1/2(kg/m3)・(m2/s2)
ρ Ｕ２
τW = 2 ・f で表される（f : 摩擦係数）
層流の場合、 f = 16/Re
乱流の場合、 Moodyチャートなどを利用
摩擦係数（f）は粗度（ε(粗滑度) / D（管径））とReで決定される
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粗
度
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日付
講義名
学年 学籍番号 氏 名
課題番号を記す事
丁寧に書く
鉛筆の使用可
講義に対するコメント
（裏面でも可）
課題１．3
層流状態における流体の平均速度Uは最大速度umaxの
半分であることを示せ。
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