Transcript のポアソン分布

確率･統計Ⅰ
第8回 ポアソン分布
ここです！
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確率変数と確率分布
確率変数の同時分布、独立性
確率変数の平均
確率変数の分散
確率変数の共分散
ベルヌイ試行、二項分布
二項分布（続き）、幾何分布
ポアソン分布
正規分布
正規分布（続き）
大数の法則、中心極限定理
統計学の基礎1（母集団と標本、確率論との関係）
統計学の基礎2（正規分布を用いた推定・検定）
ポアソン分布
1. ポアソン分布
2. 二項分布のポアソン近似
3. ポアソン分布の意味
4. ポアソン分布の平均・分散
ポアソン分布
P( X = x ) が次の式で与えられる確
率分布を、パラメータλのポアソン分
布 という：
1 
P( X  x)   
e
x!
x
( x = 0, 1, 2, … )
離散型； 値無限個
（問） これが確かに確率分布であることを確かめよ。
ポアソン分布
e  1  

x = 0
1

2
2!
2


3
3!
3


4
4!
4

…
（比率はこのまま、全部で 1 になるように、全体に e -λ を掛ける。）
ポアソン分布のグラフ
ポアソン分布 (λ=10 )
f ( x) 

x
x!
0.12
 e 
（ x = 0, 1, 2, …… ）
0.1
0.08
0.06
0.04
0.02
2.5
5
7.5
10
12.5
x =λ
最大値
15
17.5
20
ポアソン分布のグラフとλ
λによる変化
0.5
λ= 0.7
0.4
λ= 1
0.3
0.2
λ= 2
λ= 3
λ= 5
λ= 8
0.1
x → 0 1 22
4
6
8
10
12
14
ポアソン分布
1. ポアソン分布
2. 二項分布のポアソン近似
3. ポアソン分布の意味
4. ポアソン分布の平均・分散
二項分布のポアソン近似
X を 二項分布 B(n, p) に従う確率変数とする。
λ=np を一定にして n→∞ のとき、
P( X  x) n C x p q
x
n x

「ポアソン分布」

x
x!
e

n がある程度大きく、しかも p が小さい場合に、左辺（二項分布）
を右辺の式（ポアソン分布）で近似できる。
目安としては、n≧100, p≦0.05
二項分布のポアソン近似の様子
p=0.01, n=300
∴λ=np=3
x
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
x
B (3 0 0 , 0 .0 1 ) (3 / x !)･e
0.0490
0.1486
0.2244
0.2252
0.1689
0.1010
0.0502
0.0213
0.0079
0.0026
0.0008
0.0002
0.0000
-3
0.0498
0.1494
0.2240
0.2240
0.1680
0.1008
0.0504
0.0216
0.0081
0.0027
0.0008
0.0002
0.0001
二項分布のポアソン近似の様子
二項分布 B(300, 0.01)
∴np=3
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
（…省略）
x→ 0
2
4
6
8
…300
二項分布のポアソン近似の様子
二項分布 B (3000, 0.001)
∴np=3
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
（…省略）
x→ 0
2
4
6
8
…3000
二項分布のポアソン近似の様子
二項分布 B (30000, 0.0001)
∴np=3
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
（…省略）
x→ 0
2
4
6
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…30000
二項分布のポアソン近似の様子
（λ=3 のポアソン分布）
x
3 3
e
x!
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
（…省略）
x→ 0
2
4
6
8
……∞
二項分布のポアソン近似の方法
X が 二項分布 B(n, p) に従うとき、
nが大きく（n≧100）、 pが小さい（ p≦0.05）ならば
P( X  x) n C x p q
x
n x
のかわりに

x
x!
e

を計算
（λ= np ）
これもシンドイが
こっちよりはずっと楽
二項分布のポアソン近似（例題）
例題： ビジ確率1/400 のパチスロを400回
回したとき、少なくとも一回当たる確率を
求めよ。
X を B(400, 1/400) に従う確率変数とするとき、
1 - P(X=0) を求めればよい。
まじめに計算すると P(X=0) = (399/400)400
二項分布のポアソン近似（例題）
例題： ビジ確率1/400 のパチスロを400回
回したとき、少なくとも一回当たる確率を
求めよ。
パラメータλ= 400×1/400 = 1 のポアソン分
布として計算すれば
0
1 1 1
1
P( X  0)  e  
 0.37
0!
e 2.7
1 - 0.37 = 0.63
［再演習］ 二項分布
[4] ある部品が一定期間内に故障を起こさな
い確率を「精度」と呼ぼう。
(1) 精度が0.999の部品1000個のうち、どの
部品も故障しない確率を求めよ。
(2) 精度が0.999の部品10000個のうち、ど
の部品も故障しない確率を求めよ。
ポアソン分布
1. ポアソン分布
2. 二項分布のポアソン近似
3. ポアソン分布の意味
4. ポアソン分布の平均・分散
ポアソン分布の意味
空間または時間の１単位あたり、
平均λ回起こる（ことがわかっている）
事象があるとする。
例1：製品１個あたり平均２個の傷が入る工芸品
例2：ぶどうパン１個あたり平均２個の干しぶどうが入る工場
例3：昼間の１時間あたり平均３回の電話がかかる会社
ポアソン分布の意味
このとき、特定の１単位に、
実際にそれが 何回起こるかの確率
パラメータλのポアソン分布
例1：製品１個あたり平均２個の傷が入る工芸品
例2：ぶどうパン１個あたり平均２個の干しぶどうが入る工場
例3：昼間の１時間あたり平均３回の電話がかかる会社
ポアソン分布の意味
例1：製品１個あたり平均２個の傷が入る工芸品
N大
N大
区画数 N
区画に傷のある確率 p = 2 / N
各区画に傷ができる事象は独立
∴ 製品1個の傷の個数 X は B(N, p) に従う
（N個分のベルヌイ試行とみなせるから）
Np =λ=2
ポアソン分布の意味
例2：パン１個あたり平均２個の干しぶどうが入る工場
×N個
パンの数 N
N大
干しぶどうの数 2N
干しぶどう１個がこのパンに入る確率 p = 1 / N
各干しぶどうがこのパンに入る事象は独立
∴ パン1個の干しぶどうの個数 X は B(2N, p) に従う
（2N個分のベルヌイ試行とみなせるから）
2N p = λ = 2
ポアソン分布の意味
例3：昼間の１時間あたり平均3回の電話がかかる会社
N大
t1
t2
N大
t1
t2
t1
t2
1時間を N等分
1区間に電話のかかる確率 p = 3 / N
各区間に電話のかかる事象は独立
∴ 1時間の電話の回数 X は B(N, p) に従う
（N個分のベルヌイ試行とみなせるから）
Np =λ=3
ポアソン分布（例）
馬に蹴られて死んだプロシアの兵士
（1875-1894）
x
0
1
2
3
4
5以上
観測度数 期待度数
144
91
32
11
2
0
139.0
97.3
34.1
7.9
1.4
0.2
λ=0.7のポアソン分布の値
ポアソン分布（例）
馬に蹴られて死んだプロシアの兵士
（1875-1894）
150
100
観測度数
期待度数
50
0
0
1
2
3
4
5以上
ポアソン分布（例題）
例題： 1個につき平均2個の傷が普通の
工芸品がある。傷が5個以上ある製品は
返品を受け付けている。製作した製品の
何%が返品されると考えられるか。
X を 1製品あたりの傷の個数とすると、
Xはパラメータλ=2 のポアソン分布に従う。

P( X  5)   P ( X  x)
x 5
4
 1   P( X  x)
x 0
ポアソン分布（例題）
例題： 1個につき平均2個の傷が普通の工芸品がある。
傷が5個以上ある製品は返品を受け付けている。製作し
た製品の何%が返品されると考えられるか。

4
x 5
x 0
P( X  5)   P( X  x)  1   P( X  x)
2
3
4
7

2 2 2  2
 1  1  2    e  1
2
(
2
.
7
)
2
!
3
!
4
!


≒ 0.052
約 5%
ポアソン分布の応用例
 細胞内の染色体交替数、バクテリア数など、
生物統計への応用
放射線物質の崩壊
在庫管理（いくつ仕入れておけば売り切れの
確率をあるレベル以下にできるか）
電話や道路の混雑状況の見積もり→回線数
をどれだけ用意すれば、（平常時は）十分やって
いけるか
etc…
ポアソン分布
1. ポアソン分布
2. 二項分布のポアソン近似
3. ポアソン分布の意味
4. ポアソン分布の平均・分散
ポアソン分布の平均と分散
確率変数 X がパラメータλの
ポアソン分布に従うとき、
1. E(X) =λ
2. V(X) =λ
（問） これらを確かめよ。
ポアソン分布のグラフ
ポアソン分布 (λ=10 )
f (r ) 

r
r!
0.12
 e 
（ r = 0, 1, 2, …… ）
0.1
0.08
0.06
0.04
0.02
2.5
5
7.5
10
12.5
r =λ
最大値
15
17.5
20
ポアソン分布のグラフとλ
λによる変化
0.5
λ= 0.7
0.4
λ= 1
0.3
0.2
λ= 2
λ= 3
λ= 5
λ= 8
0.1
r → 0 1 22
4
6
8
10
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