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統計解析 第7回
第6章 離散確率分布
今日学ぶこと
•確率分布
•期待値
•確率分布の分散
確率と組合せの復習
袋の中に10個の玉、3個は不良品、ランダムに3個取り出す
7 65
7
3

2

1
3 C0 7 C3
不良品が0個の確率

  0.292
10 9  8 24
10 C3
3 2 1
3 76

C

C
21
3 1 7
2
1
2

1
不良品が1個の確率

  0.525
10 9  8 40
10 C3
3 2 1
3 2 7

C

C
7
3 2 7 1
2

1
1
不良品が2個の確率

  0.175
10 9  8 40
10 C3
3 2 1
3 2 1
1 1
C

C
不良品が3個の確率 3 3 7 0  3 2 1 
 0.008
10 9  8 120
10 C3
3 2 1
1
確率分布
不良品の数の確率分布
不良品
0
1
2
3
確率
7/24=0.292
21/40=0.525
7/40=0.175
1/120=0.008
度数分布に似ている
変量と変数
• 変量：すでに観測された値
• 度数分布：すでに観測された回数
• 確率変数：これから観測されそうな値
• 確率分布：これから観測されそうな確率
練習問題
確率分布表を作ってみよう！
今、２枚のコインがある。
２枚のコインを同時に投げたとき、
表が０枚出る確率、表が１枚出る確率、表が２枚出る確率
を表にしてみよう。
表の枚数
0
1
2
確率
1/4 = 0.25
1/2 = 0.5
1/4 = 0.25
?
期待値
ここで、不良品を1個見つけると10円儲かるとする。
不良品
0
1
2
3
確率
7/24=0.292
21/40=0.525
7/40=0.175
1/120=0.008
儲け×確率
0×7/24=0
10×21/40=5.25
20×7/40=3.5
30×1/120=0.24
期待値 = （値×確率）の和
儲けの期待値=0+5.25+3.5+0.24=8.99
平均値に似ている
練習問題
期待値を求めてみよう！
今、２枚のコインがある。
２枚のコインを同時に投げたとき、
表が出た枚数×１０円もらえるとする。
もらえるお金の期待値を求めよう！
表の枚数
0
1
2
確率
お金×確率
1/4 = 0.25 ０×1/4 = 0
1/2 = 0.5 10×1/2 = 5
1/4 = 0.25 20×1/4 = 5
?
もらえるお金の期待値 = 0 + 5 + 5 = 10
確率変数の分散の計算式
xi : 変量,
fi : 変量の度数, n : 全度数, x : 平均値
fi
fi 2  fi 
2
分散   xi  x    xi    xi 
i 1 n
i 1 n
 i 1 n 
n
n
n
2
ri : 変数, pi : 変数の確率,  : 期待値
n
n
i 1
i 1

 i 1
n


 2   pi ri   2   pi ri 2    pi ri 
ER: 確率変数Rの期待値


 2  E R   2  ER2  ER2
2
確率変数の分散の計算例
不良品
0
1
2
3
確率
0.292
0.525
0.175
0.008
儲け×確率
0
5.25
3.5
0.24
儲け2×確率
0×7/24=0
102×21/40=52.5
202×7/40=70
302×1/120=7.2
σ2=E(R2)-{E(R)}2=(52.5+70+7.2)-(8.99)2=48.88
σ = 6.99
練習問題
分散を求めてみよう！
今、２枚のコインがある。
２枚のコインを同時に投げたとき、
表が出た枚数×１０円もらえるとする。
もらえるお金の分散と標準偏差を求めよう！
表の枚数
0
1
2
確率
0.25
0.5
0.25
お金×確率
0×1/4 = 0
10×1/2 = 5
20×1/4 = 5
?
お金2×確率
02×1/4 = 0
102×1/2 = 50
202×1/4 = 100
もらえるお金の期待値 = 0 + 5 + 5 = 10
もらえるお金の分散 = 0 + 50 + 100 - 102 = 50
もらえるお金の標準偏
差  50  7.0
おわり
• 今日やらなかったこと
–確率分布の中央値