Transcript 第3回（5月2日）
統計学
第３回
西山
第２回のまとめ
確率分布＝決まっている分布の
形
期待値とは平均計算
平均＝合計÷個数から卒業！
平均＝割合×値の合計
同じ平均値でも
同じ分散や標準偏差でも
XとEX
S とV X
2
SとSDX
練習問題【１】
表の出る確率が0.4であるコインを
使って、賭け金を1000円にしてする
と、どうなる？
平均
利得
-1000
1000
-200
偏差
二乗偏差
確率
-800
640000
0.6
1200
1440000
0.4
0
960000
↓
分散＝
960000
標準偏差＝ 979.7959
利得
-1000
1000
確率
0.6
0.4
E X 0.6 1000 0.4 1000 200
V X 0.6 {1000 (200 )}2 0.4 {1000 (200 )}2 960000
SD X 960000 979.8
練習問題【２】
変数Xの分布は以下に示すとおりである。設問に答えなさい。
値（X)
0
1
確率（P)
0.3
0.7
1. Xの確率分布図を描きなさい
2. Xの平均値E[X]と分散V[X]、標準偏差SD[X]を
求めなさい
練習問題【２】の解答
確率分布図を描くのは非常に容易なので省略。横
軸をX、縦軸をPとして棒グラフを描けばよい
まず平均値は
EX 0.3 0 0.7 1 0.7
分散は公式を使う
E X 2 0.3 0 2 0.7 12 0.7
V X E X 2 EX 0.7 0.7 2 0.7 0.3
2
SDX 0.21 0.46
練習問題【３】
（１）さいころを6回振ったところ、
１、２、６、６、１、２
となった。平均と分散、標準偏差を求めなさい。平均計算＝値×
割合の合計、によっても同じ平均値と標準偏差が得られることを
確かめなさい。
（２）正しいサイコロを振るときに出る目の数をXと置く。E[X]と
V[X]、SD[X]を求めなさい。
こうすればできます
平均＝値×割合の合計
割合は確率的に考える時
と、実際のデータを見る
時とで違いますね。まず
確率的にいきましょう。実
際のデータでは？
値
割合
１
1/6
2/6
２
1/6
2/6
３
1/6
４
1/6
５
1/6
６
1/6
2/6
確率的な計算は教科
書69～70ページを見
てください
練習問題【3】
の解答
E X 3 .5
確率的には
V X 2.92
SD X 1.71
データの平均
X 1
2
2
2 18
2 6
3
6
6
6 6
S 2 1 3
2
データの分散
S 2.16
2
2
2 28
2
2
2 3 6 3
4.67
6
6
6
6
第３回目の目標
1.
2.
3.
EとVの基本公式
平均値の性質
分散や標準偏差の性質
教科書： 第2章の頁73～75
ゲタの公式―平均値
変数Xにゲタをはかせれば平均も同様にゲタをはく
EaX b aE X b
例：
正しいサイコロを振って出る目の数を2倍した値
の平均値を求めなさい．
上の式が常に成り立つことを示しなさい．
公式は常に成り立ちます
値
確率
X1
P1
X2
P2
:
:
Xn
Pn
期待値の定義か
ら結論が得られ
ます
EaX b aE X b
ゲタの公式―ばらつき
一定の数を足しても、ばらつきは変わらない．一定の数を掛ける
と、同じだけばらつきも変わる．なお、ばらつきとは標準偏差の
こと．
V aX b a V X
2
SDaX b a SDX
例：
正しいサイコロを振って出る目に２を加えた値を考える。
この値の分散・標準偏差はいくらか？
上の式を証明しなさい．
合計の公式―平均
合計の平均は平均の合計である．
EX Y EX EY
例：
二つの正しいサイコロを振ったときの目の数の和は
平均いくらか？
データについて同じ問題を考えよ．
合計の公式―ばらつき
≪合計の分散は分散の合計≫になるとは限らない！
一般には、合計の分散がどうなるか分からない．
英語
高い
普通
低い
数学
高い
普通
低い
合計点
極めて高い
普通
極めて低い
分散上昇
XとYが独立なら、
英語
高い
普通
低い
数学
低い
普通
高い
合計点
普通
普通
普通
分散縮小
V X Y V X V Y
分散＝二乗の平均－平均の二乗
この公式も頻繁に利用します．
EX
V X E X
2
2
もちろんデータについても同じ関係があります．
N
1
2
2
2
S X X
N i 1
問題：
1. 「分散＝二乗偏差の期待（平均）値」を式で表現しなさい．
2. 上の公式（水色部分）を証明しなさい．