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「量子論の新しい解釈」
２０１５年４月５日
神戸 サラ・シャンティ
題目
• 複素数平面とオイラーの公式
• 位置と運動量の不確定性と交換関係
• 量子論的重ね合わせとシュレーディンガーの猫
実数
実数（Ｒ）＝直線（数直線）
0
－∞
－1
＋∞
1
3
1
2
𝜋
有理数→整数の比で表すことができる
無理数→三角形, 円などのカタチが由来
小
大
数（直線）は円から作られる
S１
視線
接線
円周上の１カ所を切
る
切った場所に自分（観
察者）を入れる
• Ｓ１－｛∞｝＝ R
位相同型（同相）
→直線（１次元）
点（観察者）
＋直線（被観察者）
平面（２次元）の形成
円周と直線（軸）
知恵の輪（直交トーラス）
「原点」を形成
２本の直交
する直線
観察者から見ると
平面
実平面と複素数平面
y
Im（虚軸）
実部＋虚部
(x, y)
(2,1)
1
1
O
2
x
O
2+𝑖
2
Re（実軸）
原点
実平面（座標平面）R2
→２つの実数を用いて位置を表す
複素数平面（ガウス平面）C
→１つの複素数を用いて位置を表す
→古典物理学と量子物理学の違いに対応
虚数単位と複素数
Im（虚軸）
虚数単位
𝑖 2 = −1
i
90°＋90°＝180°
z = x + yi
複素数
-1
O
1
Re（実軸）
-i
実部 虚部
• 複素数の和 (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i
• 複素数の積 (a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i
練習問題
以下の計算をしなさい。
(1) 5 + 𝑖 + (4 + 2𝑖)
(2) −3 + 2𝑖 − (1 − 3𝑖)
(3) 1 + 𝑖 (1 − 𝑖)
(4) (2 + 3𝑖)(−4 − 𝑖)
複素数の絶対値
Im
𝑦
O
𝑧 =
𝑥2 + 𝑦2
𝑥
Re
• 複素数𝑧の絶対値 𝑧 は原点
からの距離を表します。
• 𝑧 = 𝑥 + 𝑦𝑖 のとき、 𝒛 =
𝒙𝟐 + 𝒚𝟐
練習問題
以下の複素数の絶対値を求めなさい。
(1) 1 + 2𝑖
(2) −4 + 3𝑖
(3) 𝑖
(4) −2
弧度法
• 中心角θ, 半径１の扇型を考えたとき、角θを
円弧の長さとして表す方法を弧度法といいま
す。（単位はラジアン[rad]（無次元量））
1
θ
• 180°＝ π rad, 1 rad ~ 57°
1
以下の表を埋めなさい
度数法
0°
弧度法
0
30° 60°
90°
120° 180° 270° 360°
π
複素数の偏角
• ある複素数を複素数平面上の点として表したとき、その点と
原点とを結ぶ線分と、実軸の正の方向とのなす角を偏角（物
理学では位相）といいます。
• 偏角 𝜃 は一般に 𝜃 + 2𝑛𝜋（𝑛は整数）と表されます（一般角）
が、通常は 0 ≤ 𝜃 < 2𝜋 などの制限をつけて一意に表します。
Im
𝑥 + 𝑦𝑖
𝜋
𝑦
𝜃
O
𝜋
例） 𝑖 の偏角 𝜃 は 2 , 1 + 𝑖 の偏角 𝜃 は 4
（ただし、 0 ≤ 𝜃 < 2𝜋 とする。）
𝑥
Re
𝑦
𝜃=arctan 𝑥
練習問題）以下の複素数の偏角 𝜃 を求
めなさい。ただし、 0 ≤ 𝜃 < 2𝜋 とする。
(1) 1 (2) −1 (3) −1 + 3𝑖 (4) 1 − 𝑖
複素数の極形式
• 複素数 𝑧 を実部 𝑥 と虚部 𝑦 とに分けて表す表し方（𝑧 = 𝑥 +
𝑦𝑖）を直交形式といいます。
• 𝑧 を絶対値 𝑟 = |𝑧|と偏角 𝜃 を用いて𝑧 = 𝒓𝒆𝒊𝜽 と表すこともでき
ます。この表し方を極形式といいます。
• 𝑒 = 2.718281828 ⋯はネイピア数とよばれる無理数（超越数）
です。
Im
直交形式
Im
𝑧 =2
𝑧 = 1 + 3𝑖
3
極形式
60° =
O
1
Re
O
𝑧=
𝜋
2𝑒 3 𝑖
𝜋
3
Re
練習問題
次の複素数を極形式で表しなさい。ただし、0 ≤ 𝜃 < 2𝜋 とすること。
(1) 1 + 𝑖 (2) − 3 + 𝑖 (3) −𝑖 (4) −1
オイラーの公式
Im
𝑖
𝑒 𝑖𝜃 = cos𝜃 + 𝑖sin𝜃
Re
𝜃
−1
O
1
−𝑖
• 複素数平面上において、絶対値が 1 の点の集合は円となります。
• 極形式と直交形式の関係を示したのが、オイラーの公式 𝑒 𝑖𝜃 =
cos𝜃 + 𝑖sin𝜃 です。
オイラーの公式
虚数単位
𝑖 2 = −1
𝑒
𝑖𝜃
偏角（実数）
= cos𝜃 + 𝑖 sin𝜃
指数関数
ネイピア数=2.718281828…
三角関数
cos 2 𝜃 + sin2 𝜃=1を満たす
極形式と直交形式
Im
𝑖
偏角[°]
偏角[rad]
極形式
直交形式
0
0
𝑒0
1
𝜋
6
𝜋
3
𝜋
2
2𝜋
3
5𝜋
6
𝜋
𝜋
𝑒 6𝑖
3 1
+ 𝑖
2
2
1
3
+
𝑖
2
2
30
−1
𝜋
6
O
Re
1
60
90
120
−𝑖
150
180
𝜋
𝑒 3𝑖
𝜋
𝑒 2𝑖
2𝜋
𝑒3𝑖
5𝜋
𝑒6𝑖
𝑒 𝜋𝑖
𝑖
1
3
− +
𝑖
2
2
3 1
−
+ 𝑖
2
2
−1
複素数と回転
Im
𝑖
×𝑖
・ある複素数に 𝑖 をかけると
いう演算は、複素数平面上
の 90 度の回転に相当しま
す。
×𝑖
1
−1
O
Re
×𝑖
×𝑖
−𝑖
・たとえば、1 から始めて、
順々に 𝑖 を掛けるという操
作を繰り返すと、1 → 𝑖 →
− 1 ⟶ −𝑖 ⟶ 1となり、4
回の操作で元に戻ることが
わかります。
練習問題
複素数 1 + 𝑖 に順々に 𝑖 をかけて、もとの数に戻ることを示しなさい。また、そ
れぞれの数のガウス平面上の位置を示しなさい。
ここから物理学
運動量
• 質量m[kg]の物体が速度v[m/s]で運動しているとき、物体は
p=mv[kg・m/s]の運動量をもつという。
• ２つの物体が衝突するとき、衝突前と衝突後で運動量の総和は
変わらない（運動量保存の法則）
質量小
同じ速度でも質量が大きいと
運動量が大きい
質量大
量子化
𝜕
𝑝 = −𝑖ℏ
𝜕𝑥
虚軸
p 運動量
実軸
x
位置
複素数平面
• 古典力学 → 位置xと運動量pは両方実数
• 量子力学 → 位置xと運動量pは実数（実軸）と虚数（虚軸）の
関係
位置と運動量
Im
𝑝
Re
𝑝
ℏ
ℏ
x
x
観察者の回転軸上
の動きによって円
の大きさが変化
ミクロ世界→
• 位置ｘと運動量ｐが知恵の輪（直交トーラス）の２つの円環に対応
• 円の半径がプランク定数
不確定性原理
p
p
∆p
ℏ
ℏ
x
x
xを決定→
ｘが直線（数）
pが円環のまま
• 位置を決定すると、運動量が不定になる
Δ𝑥Δ𝑝 ≥
ℏ
2
ハイゼンベルク
不確定性原理
p
p
ℏ
ℏ
∆𝑥
x
x
pを決定→
pが直線（数）
xが円環のまま
• 運動量を決定すると、位置が不定になる
マクロとミクロ
𝑒 𝑖𝑝𝑥/ℏ
𝑝 = 𝑚𝑣
𝑚
マクロ →
円周（モノの輪郭）を観察
「点」に収縮
ℏ
ミクロ →
点（素粒子）を観察
𝜕
𝑝 = −𝑖ℏ
𝜕𝑥
可換な回転
ＳＯ（２）＝Ｕ（１）
α
β
α
• 同じ軸についての回転→可換
• 角度α回転＋角度β回転＝角度β回転＋角度α回転
• 数の演算 2+3=3+2 2x3=3x2
β
非可換な回転（ＳＯ（３））
pを掛ける→pを軸として回転
xを掛ける→xを軸として回転
p
x
p
x
• 互いに直交する回転→順序を変えると、結果が変わる
𝑥𝑝 ≠ 𝑝𝑥
𝑥𝑝 − 𝑝𝑥 = 𝑖ℏ 交換関係
「シュレーディンガーの猫」問題
• 猫の生と死は意識（複素数）の世界においては実数と虚数（１とi）の関係
である。従って、「重ね合わせ可能」（共存可能）
|  
1
| 生
  | 死 
2
• 現実（実数）の世界においては、生と死は＋１と－１の関係である。よって
共存できない（足し合わせると0となる）
生成・消滅演算子
p
a=x+ip
消滅演算子
x
a
x
a†=x-ip
生成演算子
p
a†