Transcript モジュール1のまとめ
数理統計学
第3回
西山
第1回のまとめ
統計的なものの見方
• 分布の形を見ることからスタート
• 要するに、平均値と標準偏差を図か
ら読みとれればよし！
復習クイズ
（５）偏差の合計は常にゼロである。
（６）分散＝二乗の平均－平均の二乗
n
X
i 1
i
2
n
n
X X
X
n
X
2
Xi
i 1
i
n
n
nX
i
1 0
2 XX i n X
i 1
i
2
1 デ ー タ の 個 数in1
上 の 両 辺i を
で 割ればよ い
2
X i nX
2
第2回目の目標
1.
2.
3.
確率分布とは何の意味？
データの平均と理屈の平均
データの標準偏差と理屈のそれ
教科書： 第2章の頁49～53
第2章の頁67～71
偶然は分布を生む
サイコロを6回振ると、 ６、４、２、６、５、５
度数分布図
2.5
目の数の平均
と標準偏差、
出せますね
2
1.5
1
0.5
X 4.67
0
S 2 1.89
S 1.37
1
2
3
不自然なところはありますか？
4
5
6
理屈に合っていますか？
正しいサイコロの目の出方
これが理屈です！
本当の分布の形
理屈の割合のこと
を確率といって
P（X=1)＝1/6
と書きます．
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
1
2
3
4
目の数
5
6
目の数をXとすると割
合の決まった変数だか
ら確率変数と呼んでい
ます．
縦軸の値は1回ずつというより1/6ずつ、ですね．
同じ分布ではあるが
データの分布 VS 理屈の分布
ヒストグラム
確率分布
分布の中心と広がり
平均と標準偏差
分布の形だけは
最初から分かっ
ている
理屈の平均の求め方
『正常なコインを投げて表だと君の勝ちだ。私
が千円あげる。だが裏だと千円もらおう！ 』
どちらが得をするか？
何度も反復すると
割合×値の合計・・
これは平均計算じゃ
教科書68－69ページ
を見よ．
E[利益]＝0.5×（＋1000）＋0.5×（－1000）＝0
勝ち負け半々だから、損も得もしない理屈．
勝ち負けの理屈の分布は
勝ち負けの割
合、決まってる
ね
勝ち（1000円）と負け（－1000円）の頻度
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
-1000
1000
回数でなく確率を示しているから確率分布です
授業はここまで
10/13
実際に10回やってみると
表が7回、裏が3回出た。合計で４０００円も
うけた。平均ではどれだけトクをしたか？
X
1000 1000 ( 1000 ) 1000
10
7 1000 3 ( 1000 )
10
理屈では
7
1000
10
400
E X 0 . 5 1000 0 . 5 ( 1000 ) 0
3
( 1000 )
10
割合 値の合計
Xの平均、あるいはXの数学的期待値と呼びます。
賭け金をあげるとどこが変わる？
『 1000円から10000円に上げよう』
X
1000
-1000
P
0.5
0.5
Xの理屈の平均をE[X]
Xの理屈の分散をV[X]
Xの理屈の標準偏差をSD[X]
X
10000
-10000
P
0.5
0.5
計算を確かめると
平均
利得
-1000
1000
0
偏差
二乗偏差
確率
-1000
1000000
0.5
1000
1000000
0.5
0
1000000
↓
分散＝
1000000
標準偏差＝
1000
利得をXと置くと
E X 0
V X 10 6
SDX 1000
同じく・・・
EX 0
V X 10 8
SD X 10000
教科書： 頁67～71
平均
利得
-10000
10000
0
偏差
-10000
10000
0
二乗偏差
100000000
100000000
100000000
↓
分散＝
標準偏差＝
確率
0.5
0.5
1E+08
10000
練習問題【１】
表の出る確率が0.4であるコインを使って、
賭け金を1000円にしてすると、どうなる？
平均
利得
-1000
1000
-200
偏差
二乗偏差
確率
-800
640000
0.6
1200
1440000
0.4
0
960000
↓
分散＝
960000
標準偏差＝ 979.7959
E X 0.6 1000 0.4 1000 200
V X 0.6 {1000 (200 )}2 0.4 {1000 (200 )}2 960000
SD X 960000 979.8
練習問題【２】
（１）さいころを6回振ったところ、
１、２、６、６、１、２
となった。平均と分散、標準偏差を求めなさい。平
均計算＝値×割合の合計、によっても同じ平均値
と標準偏差が得られることを確かめなさい。
（２）正しいサイコロを振るときに出る目の数をXと置く。
E[X]とV[X]、SD[X]を求めなさい。
練習問題【２】の解答
X
偏差
1
2
6
6
1
2
18
-2
-1
3
3
-2
-1
0
二乗偏差
4
1
9
9
4
1
28
E[X]やV[X]など
は教科書６９，７０
ページを見よ
X 3
S 2 4.67
S 2.16