Transcript モジュール1のまとめ

統計学
第４回
西山
第３回のまとめ
ゲタの公式
EaX  b  aE X   b
V aX  b  a 2V X 
SDaX  b  a SDX 
合計の公式
E X  Y   E X   E Y 
XとYが独立なら、
V X  Y   V X   V Y 
分散の求め方
2
2








V X EX  EX
練習問題【１】
１．E[X]＝3、V[X]=2のとき以下の値を求めなさい。
 X  3
E

 2 
 X  3
V

 2 
２．V[X]=3のときY = －2 X＋3 で定義されるYのSD[Y]を
求めなさい。
練習問題の解答
1
3
3
3
 X  3
E
E X  


0

2 
2
2
2
2

2
2
2
 X  3  1 
 1 
V
 V  X  3  
 V X  

2
2   2

 2
問２は省略
分散＝二乗の平均－平均の二乗
この公式も頻繁に利用します．
   EX 
V X   E X
2
2
もちろんデータについても同じ関係があります．
N
1
2
2
2
S   X  X 
N i 1
問題：
1. 「分散＝二乗偏差の期待（平均）値」を式で表現しなさい．
2. 上の公式（水色部分）を証明しなさい．
分散＝平均二乗偏差
２
E [（ X－E[X]） ]
V[X]
平方を開くと（サイコロを例）」

E  X  3 .5 
2




  2  3 .5  X  3 .5 
E X   2  3 .5  E  X   3 .5
E X   3 .5
E X
2
2
2
2
2
一般には、E[X]を3.5と置かない。
2
練習問題【２】
 
１．E[X]=1、V[X]=3のとき E X 2 を求めなさい．
２．互いに独立な確率変数XとYについて、E[X]=1、
V[X]=9、およびE[Y]=－1、V[Y]=16がわかっ
ている．このとき、
2
E X  Y 
25
の値を求めなさい．


第4回目のポイント
1.
2.
3.
これまでの変数は離散型
連続型の変数が大半を占める
連続型の分布のポイントは「面
積で確率を表す」
身長、体重、血圧、高さ、強さ、速さ、etc
すべて連続型です
教科書： 2.3節（63頁）
Ｘがとる値の数が増えると・・
確率分布図は、最後には、作れなくなります！！
０から１まで任意の値となると ・・・・
連続型の確率分布
確率密度
１
０．２から０．９まで
どんぴしゃり、X=0.5
に入る確率は０．７
となる確率はゼロ！
です。これを式で書
これをうまく説明して
くと・・
面積で確率を示す
平均と分散の計算
期待値＝値×確率の合計、に違いはなし
Ｘの値を０から１までベターっと、値×確率を合計すると・・・
1
 x2  1
EX    x 1dx    
0
 2 0 2
1
 
EX
2
1
 x3  1
  x 1dx    
0
 3 0 3
1
2
 
V X   E X  E X 
2
 SDX  
1
 0.29
12
2
2
1 1
1
   
3  2  12
正規分布も連続型！
N(130、400）
血圧150以上の
面積が割合（＝
人は全体の6分
確率）です。全
体は面積１です
の１位だと示さ
れています
X
教科書：83頁
正規分布の利用法①―標準値
1. 標準値にする．
2. 数値表を使う．
標準値をZとか、S.S.といいますが・・・
Xの値－ Xの平均値 X  E X 
標準値＝
＝
Xの標準偏差
SDX 
血圧分布を例にとると
N(130、400）
平均と同じなら
(１３０－１３０)÷２０
だから標準値は０
血圧１５０の標準値
標準軸から分布を
標準値が１を超え
は
みると平均０、標準
る人は全体の何％
(１５０－１３０)÷２
偏差１になります
いるだろうか？
０だから１となる
X
正規分布の利用法②―数値表
N(0,1）
教科書の258頁
を見なさい
S.Sが1.0以上にな
る確率です！