Transcript 第5回（5月14日）

統計学
第４回
西山
平均と分散の性質
ゲタの公式
EaX  b  aE X   b
V aX  b  a 2V X 
SDaX  b  a SDX 
合計の公式
E X  Y   E X   E Y 
XとYが独立なら、
V X  Y   V X   V Y 
分散の求め方
2
2








V X EX  EX
【例題】サイコロの目の数をXとして
EX   3.5
V X   2.92
SDX   1.71
Y=２X＋１とします。
（１） E[Y]を求めなさい。
（２） V[Y]を求めなさい。
（３） SD[Y]を求めなさい。
69‐70ページ
【解答】
EY   E2 X  1
 2EX   1
 2  3.5  1
V Y   V 2 X  1
 V 2 X 
 2 V X 
 2  2.92
2
2
（続き）練習問題【４】
1. E[X]＝3、V[X]=2のとき、Y=3X+1とYを定義する。E[Y]とV[Y]を求
めなさい．
２．E[X]=－2、V[X]=4のとき
  を求めなさい．
E X2
３．互いに独立な確率変数XとYについて、E[X]=1、V[X]=9、
およびE[Y]=－1、V[Y]=16がわかっている．このとき、

E X  Y 
25
の値を求めなさい．
2

（続き）分散＝二乗の平均－平均の二乗
 
V X   E X  E X 
2
2
問題：
1. 「分散＝二乗偏差の期待（平均）値」を式で表現し
なさい．
2. 上の公式（水色部分）を証明しなさい．
たとえば確率変数X＝サイコロの目
として、具体例で確認しましょう
常に平均を議論します
サイコロの目の数をXとすれば（69‐70ページ）
EX   3.5 V X   2.92 SDX   2.92  1.71
E X  3.5  



2
EX
EX
EX
EX
2
2
2
2
 2  3.5  X  3.5 
 2  3.5  EX  3.5
 2  3.5  3.5
 3.5
2
2
2
2
2
第4回目のポイント
1.
2.
3.
4.
これまでの変数は離散型
連続型の変数が大半を占める
連続型の分布のポイントは「面
積で確率を表す」
特に正規（ノーマル）分布
身長、体重、血圧、高さ、強さ、速さ、etc
すべて連続型です
教科書： 2.3節（63頁）
正規分布の形
本当の分布として
当てはめて考えます
Ｘがとる値の数が増えると・・
確率分布図は、最後には、作れなくなります！！
０から１まで任意の値となると ・・・・
連続型の確率分布
確率密度
１
０．２から０．９まで
どんぴしゃり、X=0.5
に入る確率は０．７
となる確率はゼロ！
です。これを式で書
これをうまく説明して
くと・・
面積で確率を示す
平均と分散の計算
期待値＝値×確率の合計、に違いはなし
Ｘの値を０から１までベターっと、値×確率を合計すると・・・
1
 x2  1
EX    x 1dx    
0
 2 0 2
1
 
EX
2
1
 x3  1
  x 1dx    
0
 3 0 3
1
2
 
V X   E X  E X 
2
 SDX  
1
 0.29
12
2
2
1 1
1
   
3  2  12
正規分布の利用法①―標準値
1. 標準値にする．
2. 数値表を使う．
標準値をZとか、S.S.といいますが・・・
Xの値－ Xの平均値 X  E X 
標準値＝
＝
Xの標準偏差
SDX 
標準値は統計分析の定番ツール
ある試験の得点分布をみると、平均値が３００、標準偏
差が３０だった。
A君は得点350だった
平均値を引いてから、標準偏差で割った値にしなさい。
標準値は１．７
別の試験では平均が500点、標準偏差が40点だった。
B君は得点555点だった
A君とB君はどちらが好成績だったか？
（参考）偏差値とは
平均値
標準偏差
３５０
３０
－３５０
０
３０
÷３０
０
１
０
１
×１０
０
１０
＋５０
５０
１０
５０
１０
元の値
標準値
偏差値
血圧分布を例にとると
N(130、400）
平均と同じなら
(１３０－１３０)÷２０
だから標準値は０
血圧１５０の標準値
標準軸から分布を
標準値が１を超え
は
みると平均０、標準
る人は全体の何％
(１５０－１３０)÷２
偏差１になります
いるだろうか？
０だから１となる
X
正規分布の利用法②―数値表
N(0,1）
教科書の258頁
を見なさい
S.Sが1.0以上にな
る確率です！
例題
０．日本人の成人男性の身長はN(168,100)に従っ
て分布しているとします。168センチ以上の割合
P(168 ≦ X)を求めなさい。
1. 平均値±標準偏差以内の範囲に含まれる割合
P(158 ≦ X ≦ 178)を求めなさい。この範囲
を１シグマ区間といいます．
例題（１）の解答
標準値にしてから数値表
身長の分布は平均 168、分散 100、標準偏差 10．だから
158  168
 1
10
178  168
178 の標準値は Z 
1
10
158 の標準値は Z

よって
P158  X  178  P1  Z  1  1  2  0.15866  0.68
１シグマ区間に全体の６８％が含まれます
練習問題【１】
身長分布はN(168,100)の正規分布が当てはまって
います。
身長の2シグマ区間はどんな範囲ですか？２シグマ
区間に全体の何％程度が含まれますか。２シグマ区
間とは標準値が－2から＋2までの区間のこと。
練習問題【２】
身長分布はN(168,100)の正規分布が当てはまって
います。
身長の３シグマ区間はどんな範囲ですか？３シグマ
区間に全体の何％程度が含まれますか。３シグマ区
間とは標準値が－3から＋3までの区間のこと。
正規分布の確率法則

1シグマの法則
◦ 標準値で－１から＋１までの範囲
◦ 「平均圏」、「普通の範囲」と呼んでいます
◦ 概ね3分の２、６８％が含まれます

2シグマの法則
◦ 標準値で－２から＋２まで
◦ ９５％圏のことです

3シグマの法則
◦ 最大限、最小限を見込むときに使います