Transcript 第2章 プロセスモデル
プロセス制御工学
2.プロセスモデル
京都大学
加納 学
Division of Process Control & Process Systems Engineering
Department of Chemical Engineering, Kyoto University
[email protected]
http://www-pse.cheme.kyoto-u.ac.jp/~kano/
講義内容
プロセスモデルの構築
ラプラス変換
2
動的なプロセスモデルの必要性
プロセス制御を実現するためには,プロセスの入力変数
(操作変数と外乱)が変化したときに出力変数(制御変
数)が時間的にどのように変化するか,すなわちプロセ
スの動特性を表現できるモデルが必要である.
プロセス設計に利用されるモデルは,定常状態におけ
る変数間の関係を表現するものであり,動特性は無視
されている場合が多い.
アクセルやブレーキと車速の関係を
知らなかったら,どうなるだろうか?
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プロセスモデルの種類
物理モデル(現象論的モデル)
物理や化学の法則に基づいて化学プロセスの動特性を
一連の微分方程式や代数方程式で表現するモデル
ブラックボックスモデル(統計的モデル)
プロセスの運転データから導出されるモデル
例えば,操作変数を人為的に変化させることによって,操
作変数が制御変数に与える影響を知ることができるため,
そのときの入出力データからモデルを構築できる.
システム同定:入出力データから統計的モデルを構築す
ること
グレイボックスモデル=現象論的モデル+統計的モデル
4
5
状態変数と状態方程式
プロセスの動特性を表現するためには,プロセスの状態
を表す変数(状態変数)とその時間的変化を表す数式
(状態方程式)が必要である.
例)物質収支式や熱収支式などのプロセス方程式
dx
状態方程式
f ( x, u )
dt
状態変数
x
初期状態 x0 と入力 u が与えられれば,プロセスの状態
が変化する様子を知ることができる.
プロセス方程式から状態方程式へ
プロセス方程式が 1 階微分方程式で与えられるとは限
らないが,状態変数の 1 階から n-1 階微分までを状態
変数に加えることにより, n 階微分方程式に変形できる.
2
d y
dy
a
g ( y, u )
2
dt
dt
dy
x1 y, x2
dt
x2
d x1
dt x2 g ( x1 , u ) ax2
6
定常状態と非定常状態
定常状態
状態変数が時間的に変化しない状態
0 f (~
x , u~)
非定常状態
状態変数が時間的に変化する状態
dx
f ( x, u )
dt
7
例題2.1
物質収支
エネルギー収支
dL
A
Fi F
dt
d ( LT )
c p A
c p FiTi c p FT Q
dt
8
例題2.1
物質収支
エネルギー収支
dL
A
Fi F
dt
d ( LT )
Q
A
FiTi FT
dt
c p
d ( LT )
dT
dL
dT
A
AL
AT
AL
T ( Fi F )
dt
dt
dt
dt
dT
Q
AL
F (Ti T )
dt
c p
9
10
例題2.1
状態方程式
dL
A
Fi F
dt
dT
Q
AL
F (Ti T )
dt
c p
状態変数
L
T
自由度
プロセス自由度
プロセスの定常状態を決めるために必要十分な変数の
数,あるいは互いに独立に変化させることのできる変数
の数
プロセス自由度 = 変数の数 - 式の数
制御自由度
制御可能な変数の数
制御自由度 = プロセス自由度 - 外部条件変数の数
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自由度の計算例(例題2.2)
状態方程式
dL
A
Fi F
dt
dT
Q
AL
F (Ti T )
dt
c p
プロセス自由度
4
=
変数の数
6
ー
式の数
2
制御自由度 = プロセス自由度 - 外部条件変数の数
2
4
2
12
線形化
化学プロセスの物理モデルの多くは非線形微分方程式
で与えられる.しかし,プロセスが狭い条件範囲で運転
される場合には,線形モデルによって非線形モデルを
十分な精度で近似できる.
プロセスをある定常状態に保つことが目的である場合
には,その定常点周りでのプロセスの動特性は線形近
似したモデルを用いて表現できるため,その線形モデル
に基づいて制御系を設計すればよい.
近年,反応器など非線形性が強く,かつ高い制御性能
を要求されるプロセスに対して,非線形モデルに基づく
モデル予測制御の適用などが進められている.
13
14
線形化
テイラー展開
2
x x0
(
x
x
)
( 2)
0
f ( x) f ( x0 ) f ' ( x0 )
f ( x0 )
1!
2!
n
(
x
x
)
(n)
0
f ( x0 )
n!
f (x)
2次以上の項を無視
f ( x) f ( x0 ) f ' ( x0 )(x x0 )
x0
x
例題2.3
dL
A
Fi a L
dt
1
~
~
L L
~ (L L )
2 L
dL
a
~
~
A
Fi a L
(L L )
~
dt
2 L
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定常値からの変化量に着目
定常値からの変化量
x x ~
x
状態方程式の線形近似
dx
f ( x) f ( ~
x ) f ' (~
x )( x ~
x)
dt
定常状態
d~
x
0
f (~
x)
dt
dx
f ' (~
x )x
dt
16
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例題2.4
定常値からの変化量
物質収支式
定常状態
~
L L L
dL
A
Fi a
dt
~
0 Fi a
a
~
~
L
~ (L L )
2 L
~
L
dL
a
A
Fi
L
~
dt
2 L
~
Fi
Fi ~ L
2L
撹拌槽型加熱器の線形モデル(例題2.5)
~
Fi
dL
A
Fi ~ L
dt
2L
dT ~
~ ~ Q
AL
Fi (Ti T ) Fi (Ti T )
dt
c p
状態空間表現
~
Fi
d L 2 AL~
dt T
0
1
0 L
A~
~
~ T T
Fi T i
AL
AL
0
~
Fi
AL
F
i
Ti
1
c p AL Q
0
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講義内容
プロセスモデルの構築
ラプラス変換
19
20
ラプラス変換
ラプラス変換の定義と基本特性
定義
L[ f (t )] F (s) f (t )
0
線形性
合成積
e st
dt
L[af (t ) bg(t )] aF(s) bG(s)
t
L[ f (t ) g ( )d ] F ( s)G( s)
0
21
ラプラス変換
微積分のラプラス変換
( n)
L[ f
(t )] s F (s) s
n
L[ f ( n) (t )] s n F (s)
n1
f (0) f
t
n
指数関数のラプラス変換
L[e
at
1
]
sa
(0)
初期値がすべて0の場合
1
L[ f (t )(dt ) ] n F ( s)
0
0
s
t
( n1)
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例題2.6
b (t 0)
dx
ax f (t ), x(0) 0, f (t )
dt
0 (t 0)
ラプラス変換
逆変換(合成積)
sX (s) aX (s) F (s)
F ( s)
X ( s)
sa
t
x(t ) e
0
a ( t )
f ( )d
b
(1 e at )
a
ラプラス変換
移動定理
ds
L[ f (t d )] e F (s)
最終値定理
lim f (t ) lim sF ( s )
t
s 0
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例題2.7
b (t 0)
dx
ax f (t ), x(0) 0, f (t )
dt
0 (t 0)
b
F (s)
s
b
X ( s)
s( s a)
最終値定理
lim x(t ) lim sX ( s)
t
s 0
b
b
lim
s 0 s a
a
t
x(t ) e
0
a ( t )
f ( )d
b
(1 e at )
a
ラプラス逆変換(例題2.8)
7 s 20
7 s 20
a
b
c
F ( s) 3
2
s 7 s 10s s( s 2)(s 5) s s 2 s 5
s を掛けて s=0 を代入
s+2 を掛けて s=-2 を代入
20
a b0 c0
25 1 s 2 s 5
7(2) 20 a 0 b c 0
(2)(2 5)
s
1 s5
2 1
1
F (s)
s s2 s5
項ごとに逆変換
f (t ) 2 e
2t
e
5t
25
おわり
宿題?
26