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電気回路Ⅱ 演習 第11回
•ラプラス変換の概要
•ラプラス変換表について
•ラプラス変換を用いた微分方程式の解法
ラプラス変換とは？
 電気回路の特性は，微分方程式で表すことができる．
 電気回路を解析するには微分方程式を解く必要がある．

これまでは，特解や過渡解など求めるのがやや難しかった
 ラプラス変換とは，微分方程式を解く方法の一つ．
電気回路の微分方程式
ラプラス変換（ラプラス変換表を利用）
計算の流れ
代数方程式（加減乗算）に変換．その解を求める．
ラプラス逆変換（ラプラス逆変換表を利用）
代数方程式の解を微分方程式の解に変換する
ラプラス変換表の一部
時間関数
f (t)
T （定数）
e t
sin t
f 1 (t )
演算子関数
F(s)
T
s
1
s 

s2   2
sF (s)  f (0)
ラプラスの定義，関係式等は後で説明する
一例
 次の回路においてスイッチを入れた場合に，流れる電流を
求めよ
R
L
E
switch
OFF→ON
ラプラス変換を用いた解法（１）
 まず従来と同様に微分方程式を求める
d
L i (t )  Ri (t )  E
dt
 次にラプラス変換を行う．
d
E
ラプラス変換表より i (t )  I ( s ),
i (t )  sI ( s )  i (0), E 
dt
s
また，電流の初期条件i (0) = 0とおき
E
が得られる
代数方程式 LsI ( s )  RI ( s ) 
s
E
これを普通に解くと I ( s ) 
となる．
sLs  R  これを逆変換すれば解が求まる
ラプラス変換を用いた解法（２）
 逆変換をする前に，もう少し式を整理しよう．



E
E
1
E 1
1 

I (s) 

  
R
R Rs
s Ls  R  L 
s

s s  


L

L

1
 t 
E

i (t )  1  e L 
R

R
ラプラス逆変換すると
e
R
 t
L
ラプラス変換表と
簡単な代数計算のみで
解を求めることができた
ラプラス変換法
 ラプラス変換を用いれば，代数方程式で微分方程式を計算することが
可能となる．一例としてラプラス変換の使い方を説明した．
 以下では，ラプラス変換の定義とラプラス変換・逆変換の表の数式を
導出する．
ラプラス変換の定義

F (s)   f (t )est dt
f(t)についてはt<0では値を持たず，
t=0以後に有限の値をもつものとする．
0
s:ラプラス演算子s=+j: （複素数）
：包絡定数，：角周波数
ラプラス逆変換の定義
f (t )  
c  j
c  j
ts
F (s)e ds
 を0と仮定すると時間0からの複素数
のフーリエ変換に形がそっくりである．
ラプラス変換（１）
 f(t)=1の場合


0
0
F ( s)   f (t )e  st dt  

1
 1 
1e  st dt   e  st  
 s
0 s
 f(t)=tの場合
F ( s)  

0


 1
1
 1

 1 
te  st dt   te  st   
e  st dt   2 e  st   2
 s
0 0 s
s
0 s
 f(t)=exp(at)の場合


0
0
F ( s)   e at e  st dt  

1
  1 ( s  a ) t 
e ( s a )t dt  
e


sa
s  a
0
問題１

次の関数f(t)のラプラス変換を求めよ
1.
f (t )  e at
2. f (t )  teat
ラプラス変換（２） _三角関数
 ラプラス変換（１）のスライドより
f (t )
e at
e jt  cost  j sin t
実部
虚部
実部と虚部を比較して
cost
sin t
F (s )
1
sa
1
s

 2
j 2
2
s  j s  
s 2
実部
s
s2   2

s2   2
虚部
ラプラス変換（３）_微分
 1次の微分の場合 f

R f
(1)


(t )   f
0
(1)
(1)
d
(t ) 
f (t )
dt
 st

(t )e dt  f (t )e
 st
 


0
0
 sf (t )e st dt

  f (0)   sf (t )e st dt  sF ( s)  f (0)
0
 n次の微分の場合 f
同様に解くと


(n)
d
(t )  n f (t )
dt
R f ( n) (t )  s n F (s)  s n1 f (0)  s n2 f (1) (0)      f ( n1) (0)
ラプラス変換（４）_積分
 1次の積分の場合 f



R f ( 1) (t )   e  st
0

t
0
( 1)
t
(t )   f (t )
0

e
f (t )dt dt  
s
 st

t
0

 st
e

f (t )dt  
f (t )dt
0 s
0
1   st
1
  e f (t )dt  F ( s )
s 0
s
 1次の積分の場合

f

( 1)
R f ( 1) (t ) 
t
(t )   f (t )  f ( 1) (0) とおくと
0
1
1
F ( s )  f ( 1) (0)
s
s
ラプラス変換（４）_積分の続き
 n次の積分の場合
f ( n) (t )
同様に解くと


R f ( n) (t )  s n F (s)  s n f ( 1) (0)  s ( n1) f ( 2) (0)      s 1 f ( n) (0)
その他のラプラス変換
 教科書の後ろにラプラス変換表がある
 憶えておくとよいもの
定数 T
F (s )
f (t )
e
at
cost
sin t
f
(1)
1
sa
t
s
s2   2
cosh t

s2   2
sF (s)  f (0)
sinh t
f (1)
T
s
1
s2
s
s2   2

s2   2
1
F (s)
s
ラプラス変換を用いた過渡応答
例題１
 次の回路に流れる電流を求めよ
R
C
E
switch
OFF→ON
L
例題の解答１
 まず，回路の微分方程式
di 1 t
Ri  L   idt  E
dt C 0
 ラプラス変換する
11
E
RI ( s )  LsI ( s )  i (0)  
I ( s) 
Cs
s
電流の初期値は0であるから
E
E
 Li(0)
L
I ( s)  s

1
R
1
2
R  sL 
s  s
Cs
L
LC
例題の解答２
E
L
 さらにちょっと変形して
I (s) 
2
R 
1
R2

 2
s 
 
2 L  LC 4 L

ラプラス変換表より
sin(t )
sinh(t )

s2   2

s2   2
et sin(t )
et sinh(t )
となる．

s   2   2

2
s      2
1
R2
 2 が正か負か？→場合わけ
ここで重要となるのが
LC 4 L
例題の解答３
1
R2
 2 0
LC 4 L
 場合わけ １
I (s) 
E
L
2
R 
1
R2

 2
s 
 
2 L  LC 4 L

は et sin(t )
の変換公式を用いればよい
よって
i(t ) 

s   2   2
E
 1
R2 
L
 2 
 LC 4 L 
1
2
e
R
 t
2L
1


2
2
R  
 1
sin 
 2  t 
 LC 4 L  


例題の解答４
 場合わけ ２
1
R2
 2 0
LC 4 L
E
L
I ( s) 
2
R   R2
1 


s 
   2 
2 L   4 L LC 

t
は e sinh(t )

2
s      2
の変換公式を用いればよい
ここが正になるように，式を変形
よって
i(t ) 
E
 R2
1 

L 2 
 4 L LC 
1
2
e
R
 t
2L
1
 2

2
1  
 R
 t 
sinh 2 
 4 L LC  


例題の解答５
 場合わけ ３
E
L
I (s) 
2
R 

s 

2
L


1
R2
 2 0
LC 4 L
は
t
tet
1
s2
1
2
s   
の変換公式を用いればよい
よって
E  2RL t
i (t )  te
L