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電気回路Ⅱ 演習 第11回
•ラプラス変換の概要
•ラプラス変換表について
•ラプラス変換を用いた微分方程式の解法
ラプラス変換とは?
電気回路の特性は,微分方程式で表すことができる.
電気回路を解析するには微分方程式を解く必要がある.
これまでは,特解や過渡解など求めるのがやや難しかった
ラプラス変換とは,微分方程式を解く方法の一つ.
電気回路の微分方程式
ラプラス変換(ラプラス変換表を利用)
計算の流れ
代数方程式(加減乗算)に変換.その解を求める.
ラプラス逆変換(ラプラス逆変換表を利用)
代数方程式の解を微分方程式の解に変換する
ラプラス変換表の一部
時間関数
f (t)
T (定数)
e t
sin t
f 1 (t )
演算子関数
F(s)
T
s
1
s
s2 2
sF (s) f (0)
ラプラスの定義,関係式等は後で説明する
一例
次の回路においてスイッチを入れた場合に,流れる電流を
求めよ
R
L
E
switch
OFF→ON
ラプラス変換を用いた解法(1)
まず従来と同様に微分方程式を求める
d
L i (t ) Ri (t ) E
dt
次にラプラス変換を行う.
d
E
ラプラス変換表より i (t ) I ( s ),
i (t ) sI ( s ) i (0), E
dt
s
また,電流の初期条件i (0) = 0とおき
E
が得られる
代数方程式 LsI ( s ) RI ( s )
s
E
これを普通に解くと I ( s )
となる.
sLs R これを逆変換すれば解が求まる
ラプラス変換を用いた解法(2)
逆変換をする前に,もう少し式を整理しよう.
E
E
1
E 1
1
I (s)
R
R Rs
s Ls R L
s
s s
L
L
1
t
E
i (t ) 1 e L
R
R
ラプラス逆変換すると
e
R
t
L
ラプラス変換表と
簡単な代数計算のみで
解を求めることができた
ラプラス変換法
ラプラス変換を用いれば,代数方程式で微分方程式を計算することが
可能となる.一例としてラプラス変換の使い方を説明した.
以下では,ラプラス変換の定義とラプラス変換・逆変換の表の数式を
導出する.
ラプラス変換の定義
F (s) f (t )est dt
f(t)についてはt<0では値を持たず,
t=0以後に有限の値をもつものとする.
0
s:ラプラス演算子s=+j: (複素数)
:包絡定数,:角周波数
ラプラス逆変換の定義
f (t )
c j
c j
ts
F (s)e ds
を0と仮定すると時間0からの複素数
のフーリエ変換に形がそっくりである.
ラプラス変換(1)
f(t)=1の場合
0
0
F ( s) f (t )e st dt
1
1
1e st dt e st
s
0 s
f(t)=tの場合
F ( s)
0
1
1
1
1
te st dt te st
e st dt 2 e st 2
s
0 0 s
s
0 s
f(t)=exp(at)の場合
0
0
F ( s) e at e st dt
1
1 ( s a ) t
e ( s a )t dt
e
sa
s a
0
問題1
次の関数f(t)のラプラス変換を求めよ
1.
f (t ) e at
2. f (t ) teat
ラプラス変換(2) _三角関数
ラプラス変換(1)のスライドより
f (t )
e at
e jt cost j sin t
実部
虚部
実部と虚部を比較して
cost
sin t
F (s )
1
sa
1
s
2
j 2
2
s j s
s 2
実部
s
s2 2
s2 2
虚部
ラプラス変換(3)_微分
1次の微分の場合 f
R f
(1)
(t ) f
0
(1)
(1)
d
(t )
f (t )
dt
st
(t )e dt f (t )e
st
0
0
sf (t )e st dt
f (0) sf (t )e st dt sF ( s) f (0)
0
n次の微分の場合 f
同様に解くと
(n)
d
(t ) n f (t )
dt
R f ( n) (t ) s n F (s) s n1 f (0) s n2 f (1) (0) f ( n1) (0)
ラプラス変換(4)_積分
1次の積分の場合 f
R f ( 1) (t ) e st
0
t
0
( 1)
t
(t ) f (t )
0
e
f (t )dt dt
s
st
t
0
st
e
f (t )dt
f (t )dt
0 s
0
1 st
1
e f (t )dt F ( s )
s 0
s
1次の積分の場合
f
( 1)
R f ( 1) (t )
t
(t ) f (t ) f ( 1) (0) とおくと
0
1
1
F ( s ) f ( 1) (0)
s
s
ラプラス変換(4)_積分の続き
n次の積分の場合
f ( n) (t )
同様に解くと
R f ( n) (t ) s n F (s) s n f ( 1) (0) s ( n1) f ( 2) (0) s 1 f ( n) (0)
その他のラプラス変換
教科書の後ろにラプラス変換表がある
憶えておくとよいもの
定数 T
F (s )
f (t )
e
at
cost
sin t
f
(1)
1
sa
t
s
s2 2
cosh t
s2 2
sF (s) f (0)
sinh t
f (1)
T
s
1
s2
s
s2 2
s2 2
1
F (s)
s
ラプラス変換を用いた過渡応答
例題1
次の回路に流れる電流を求めよ
R
C
E
switch
OFF→ON
L
例題の解答1
まず,回路の微分方程式
di 1 t
Ri L idt E
dt C 0
ラプラス変換する
11
E
RI ( s ) LsI ( s ) i (0)
I ( s)
Cs
s
電流の初期値は0であるから
E
E
Li(0)
L
I ( s) s
1
R
1
2
R sL
s s
Cs
L
LC
例題の解答2
E
L
さらにちょっと変形して
I (s)
2
R
1
R2
2
s
2 L LC 4 L
ラプラス変換表より
sin(t )
sinh(t )
s2 2
s2 2
et sin(t )
et sinh(t )
となる.
s 2 2
2
s 2
1
R2
2 が正か負か?→場合わけ
ここで重要となるのが
LC 4 L
例題の解答3
1
R2
2 0
LC 4 L
場合わけ 1
I (s)
E
L
2
R
1
R2
2
s
2 L LC 4 L
は et sin(t )
の変換公式を用いればよい
よって
i(t )
s 2 2
E
1
R2
L
2
LC 4 L
1
2
e
R
t
2L
1
2
2
R
1
sin
2 t
LC 4 L
例題の解答4
場合わけ 2
1
R2
2 0
LC 4 L
E
L
I ( s)
2
R R2
1
s
2
2 L 4 L LC
t
は e sinh(t )
2
s 2
の変換公式を用いればよい
ここが正になるように,式を変形
よって
i(t )
E
R2
1
L 2
4 L LC
1
2
e
R
t
2L
1
2
2
1
R
t
sinh 2
4 L LC
例題の解答5
場合わけ 3
E
L
I (s)
2
R
s
2
L
1
R2
2 0
LC 4 L
は
t
tet
1
s2
1
2
s
の変換公式を用いればよい
よって
E 2RL t
i (t ) te
L