Transcript 極限の話、来週以降の予告(PPTファイル)

2011. 6.28
Ibaraki Univ. Dept of Electrical & Electronic Eng.
Keiichi MIYAJIMA
極限と来週以降の予習
極限とは？
そもそも極限とは何か？
0.9999  1 は成り立つか？
0.3333 
1
を証明してみよう。
3
ヒント： x  0.3333 と置いて両辺10倍すると・・・
極限とは？
極限の近づき方
lim xの式 と lim xの式  の違い
x a  0
x a 0
x a 0 x  a 0
a
lim xの式  とは、どちらから近づいてもかまわない
x a
極限とは？
そもそも極限とは何か？
lim xの式  とは、
x a
「 x が無限に a に近づく」という動作を表す。
例えば、lim  x  1 ならば、
x 1
lim  x  1  2
x 1
目的地
２に限りなく近づく
動作を表す
極限値
「 x は１に無限に近づく」が、「 x は1ではない」
極限とは？
0.9999  1 とは何か？
0.9999 とは１に小さい方から「無限に近づく」
0.9999  1
の正体とは、
lim x  1
x 1 0
極限と収束（発散）
2
x
x を考える
lim 2 と lim
x 0 x
x 0 x
約分して考えるのではなく、そのまま x をコマ撮りの
ように動かして考えてみよう。
x
x
2
1 0.1
0.01
0.001
1 0.01 0.0001 0.000001
・・・
・・・
0.01
0.00001
このように、収束（発散）には速度（のようなもの）があ
ると考えることができる。
極限と収束（発散）
0
x
2
x を考える
lim 2 と lim
x 0 x
x 0 x
の極限にはいくつかのタイプに分けることが可能
0
速い！
（Ⅰ）
0.000  001
0.01
（Ⅱ）
遅い
遅い
0.001
0.000  001
（Ⅲ）
0.001
0.001
0 （収束）
 （発散）
速い！
同じ速さ
1 （収束）
極限と収束（発散）
収束や発散の速度（のようなもの）の考え方は

lim lim ( f ( x))
x 0 n 
n

このような、括弧付きの場合でも同様に考えることが
できる。
積の微分と部分積分
積の微分
積の微分の仕方：
d
dx
 f ( x)  g ( x)  

 f ( x)  g ( x) 
d
f ( x)  g ( x)  f ( x) 
dx
d
dx
 f ( x)  g ( x)  f ( x)  g ( x)
では部分積分はどうやるのか？
g ( x)
部分積分
部分積分は積の微分の変形

 f ( x)  g ( x) 
 f ( x)  g ( x)  f ( x)  g ( x)
両辺を積分すると・・・
f ( x)  g ( x)   f ( x)  g ( x)dx   f ( x)  g ( x)dx
あとは左辺のどちらかの項を移行すれば、教科
書に出てくる部分積分の公式になる
f ( x)  g ( x)   f ( x)  g ( x)dx   f ( x)  g ( x)dx
合成関数の微分と置換積分
合成関数の微分
y  f (t ), t  g ( x) のとき
dy
dy dt


dx
dt dx
置換積分の場合はどうなるか？
置換積分
y  f (t ), t  g ( x) のとき
f ( g ( x)) について g ( x)  t とおいて
 f (t )dt  F (t )  C
とおく。
この両辺を x で微分すると
d
d
f (t )dt 
F (t )

dx
dx
d
dt

d
dt
f (t )dt 

F (t )
dx dx
合成関数の微分
置換積分
y  f (t ), t  g ( x) のとき
d
dt

d
dt
f (t )dt 

F (t )
dx dx
f (t )
f ( g ( x))  g ( x) 
d
F (t )
dx
両辺を x で積分すれば
 f ( g ( x))  g ( x)dx  F (t )  C

f ( g ( x))  g ( x)dx   f (t )dt
 f (t )dt  F (t )  C