Transcript 12.動学モデル

12.動学モデル
連続時間モデルを中心に
線形の差分方程式と複素数
• 固有値とジョルダン標準形 の応用
 a11 a12
a
a22
21

A


 a n1 a n 2
A  I 
a1n 
a2 n 


a11 
a11
a12
a1n
a21
a22
a2 n
a n1 a n 2
a11
 1 a12
0 
2
1 
AT


0 0
正方行列(対称と は限ら ない)
固有方程式 : のn次方程式
0
0
0 
T


n 
1, . . . n 固有根・ ・ すべて異なる と する
ジョ ルダン標準形
例
x  0  x 1  1
1
x  n  2   x  n  1  x  n 
2
のとき一般の
x  n
を求める
1.5
1
-0.5
-1
-1.5
31
29
27
25
23
21
19
17
15
13
11
9
7
5
3
0
1
0.5
結構複雑
な動きをす
る。
解き方(受験テクニック? )
1
x  n  2   x  n  1  x  n 
2
1
x  n  2   x  n  1  x  n   0
2
対応する二次方程式
1
x  x 1  0
2
2
を解く
1
x  x 1  0
2
2
の2根をα、βとすると
x  n  A  B
n
n
一般解
初期条件からAとBを求める
x  0  A  B  A  B  1
0
0
x 1  A1  B 1  A  B  1
解は
n
1 1
 1 1
 1 1
 1 1

x  n   
15i   15i    
15i   15i 
 2 10
 4 4
  2 10
 4 4

複素数が出てくるが各 x  n  は実数
n
行列とジョルダン標準形を使った表現
1
x  n  2   x  n  1  x  n 
2
x  n  1  y  n 
x  n  2  y  n  1
1
y  n  1  y  n   x  n 
2
x  n  1  y  n 
連立の一階の差分方程式になる
1
y  n  1  y  n   x  n 
2
x  n  1  y  n 
行列を使って書く
1


 y  n  1  
1  y  n  

2


 x  n  1   1 0   x  n  
一般のm階の定差方程式
x  n  m  m x  n  m 1  m1x  n  m  2  ...  1x  n
x  n  m 1  ym  n
 y1  n  1    m

 
y
n

1
  1
 2


 

 
 ym  n  1   0
 2 1   y1  n  
0
1


0   y2  n  



 
0   ym  n  
m階の差分方程式は、連立差分方程式の特別な場合
一般の連立差分方程式を行列を使って書くと
y  n 1  Ay  n
y  n 1  Ay  n
の解
y  n   A y  0
n
Aの固有値に重根が無い
A  T 1T
An  T 1T T 1T 
 1n

1 n
1  0
T  T T


 0
 1 0

0 2




0 0
1
T
 T 
0
2 n
0
0 

0 
T


n
m 
0

0


m 
y  n   A y  0
n
 1n

n
1 n
1  0
A T  T T


 0
 1n

1  0
y n  T


 0
0
2
n
0
0
2 n
0
0 

0 
Ty  0 


n
m 
0 

0 
T


n
m 
 1n

1  0
y n  T


 0
0
2 n
0
0 

0 
Ty  0 


n
m 
解の振る舞い
1 ,...., n の絶対値がすべて1より小さいときは0に収束
そうでないときは、初期値がたまたま0にいく
ところに乗っていなければ発散
複素数の積
a  bi  a 2  b 2  cos   i sin    a 2  b 2 ei
は、180度がπになるように取る
cos  i sin   e
i
e   i 0
i

 i 
n
n!
極形式の積
 e  e      e
i1
1
i 2
2
1
i 1  2 
2
絶対値部分はかけられ、角度については、足される
複素数の累乗
 e  e      e
i1
1
i 2
2
1
i 1  2 
2
ik
k  k e
n ink
k  k e
k  1
k  1
n
絶対値はどんどん大きくなる
絶対値はどんどん0に近づく
k  0 正の実数でない
くるくる回る
 1n

1  0
y n  T


 0
0
2 n
0
0 

0 
Ty  0 


n
m 
解の振る舞い
1 ,...., n の絶対値がすべて1より小さいときは0に収束
そうでないときは、初期値がたまたま0にいく
ところに乗っていなければ発散
結構複雑な動きをする。
非同次の差分方程式
y  n 1  Ay  n 同次の差分方程式
y  n 1  Ay  n  b 非同次の差分方程式
解き方
1がAの固有値でなければ
y  Ay  b は解 y*   I  A  b を持つ
1
このときは、同次の差分方程式
 y  n 1  y *  A y  n  y *
に帰着
例 乗数と加速度
• 古風な例
Yt  Ct  It
t期の国民所得= t期の消費＋ t期の投資
Ct  C   Yt 1
消費関数・・前期の消費に依存
It  I   Yt 1  Yt 2 
投資関数・・前期の国民所得の増加に依存
Yt  C   Yt 1  I   Yt 1  Yt 2 
Yt  C   Yt 1  I   Yt 1  Yt 2 
定常値を求める
Yt 2  Yt 1  Yt  Y *
CI
Y* 
1 
定常値周りの同次差分方程式にする
yt  Yt  Y *
yt      yt 1   yt 2
yt      yt 1   yt 2
x      x    0 を解く
2
補助方程式
x1 
    
     4
2
2
yt  A x  A2 x2
t
1 1
が一般解
t
x2 
    
      4
2
2
数値例
Ct  C  0.6Yt 1
It  I  0.4 Yt 1  Yt 2 
1 1
x1 , x2  
5i
2 10
解の経路の例
0.025
複素数なので
0.02
0.015
結構複雑に動く
0.01
0.005
2
系列1
2
1  1
 2
5   1
  
 2   10  5
0
1
-0.005
-0.01
なので0に収束
-0.015
3
5
7
9
11
13
15
確率差分方程式
yt      yt 1   yt 2  t
乱数(独立な確率変数)を加える
解の経路の例(平均0、分散0.01の正規分布の
乱数を加える)
0.4
0.3
0.2
0.1
0
-0.1 1
-0.2
-0.3
-0.4
系列1
10 19 28 37 46 55 64 73 82 91 100
固定係数の線形連立微分方程式
dx  t 
 ax  t  1変数の線形微分方程式
dt
x t   c exp at がuniqueな解
dx  t 
 ax  t を 恒等的に満たす式
dt
dx  t 
 x  ax
dt
固定係数の線形連立微分方程式
 x1   a11 x1  a12 x2  ..  a1n xn 
 x   a x  a x  ..  a x 
1n n 
 2    21 1 22 2

  

  
a
x

a
x

..

a
x
x
nn n 
 1   n1 1 n 2 2
行列で書く と
x  Ax
x  Ax  b
 x  A1bが存在
d
x  x   x  Ax  x 
dt
x  xを xと 置く と x  Axに帰着
固定係数の線形連立微分方程式(続き)
x  Ax
A  T 1T
d
x  T Tx   Tx     Tx 
dt
y  Tx 
1
y  y
固有方程式に重根が無い
 y1   1 0
y  0 
2
 2
  
  
 yn   0 0
0   y1   1 y1 
0   y2   2 y2 

  

  

n   yn   n yn 
 y1   1 0
y  0 
2
 2
  
  
 yn   0 0
0   y1   1 y1 
0   y2   2 y2 

  

  

n   yn   n yn 
yi  ci exp it  , i  1,..., n
y  Tx   x  T 1y
xi   ij y j   ij c j exp   j t  , i  1,..., n :  ij , T 1の要素
n
n
j 1
j 1
固有値の実数部分がすべてマイ ナス の場合0に収束
exp   a  bi  t   e at ebit  e at  cos bt  i sin bt 
元利合計と現在価値の積分表現
• 利子率が年5%
– 年初に100万円貯金すると、年末には、105万円
• 利子率が年2.5%
– 年初に60万円、6ヶ月後に、40万円貯金
– 年末の金額は
120
80
2
1.025  1.025  104, 0375
2
2
y  0 ,..., y 11 毎月初めの年率の預金額
r
12
月あたりの金利・・・日数の違いは無視する。
年末の複利元利合計
y  0 
y 11 
r 
r 
12 y  i  1 
r 
1    ... 
1    i 1
1  
12  12 
12  12 
12  12 
12
1
12i
年始が0、年末が1に正規化すると
0
y 
12
 12  1  r   ... 


12  12 
 11 
 i 1 
y 
y
1
12 i

 12  1  r   12  12  1  r 

  i 1


12  12 
12  12 
0
y 
12
 12  1  r   ... 


12  12 
 11 
 i 1 
y 
y
1
12 i

 12  1  r   12  12  1  r 

  i 1


12  12 
12  12 
1日あたりにすると
 i 1 
y
365i

365  365  
r 
 i1 365 1  365 
年率の貯蓄額が連続に与えられているとして、時間
をどんどん細かくする
 i 1 
y
N i

N
r 
N 

lim N   i 1
1  
N  N
 i 1 
y
N i

N
r 
N 

lim N   i 1
1  
N  N
r 

1  
 N
N i
N

r r

  1  
   N 

N
r




r





N i
N
k
r 

 1
lim N  1    limk  1    e
 N
 k
r 

1  
 N
N i
  er 
N i
N
N
r
k
r 

 1
lim N  1    limk  1    e
 N
 k
k
 1
Z k  1  
 k
の説明
両辺の対数を取る
 1
limk 0
ln 1  
k  ln 1  x 

ln Z k 

1
x
k ロピタル・ルールを用いる
Zk  e
対数を
戻す
d
ln 1  x 
limk 0 ln Z k  dx
d
x x 0
dx
x 0
1
 1 x
1
x 0
1
 i 1 
y
N i

N
r 
N 

lim N   i 1
1  
N  N
 i 1  
N
y


N
r r
N  

 lim N   i 1
1 


N  N 

 i 1 
y
N i

N
N
 er N
 lim N   i 1 


N
 i 1 
y
 i 

N
N  1 N r

 lim N   i 1
e
N




r





N i
N
 i 1 
y
 i 

N
N  1 N r

 lim N   i 1
e
N
y  x  e1 x r
  y  x er 1 x dx
1
0
結局
01 2
N N
 i 1 
y
N i

1
N
r 
N 
r 1 x 

lim N   i 1
dx
1    0 y  x e
N  N
N 1
N
 i 1 
y
N i

1
N
r 
N 
r 1 x 

lim N   i 1
dx
1    0 y  x e
N  N
時間なのでtにすると

1
0
y  t er 1t  dt
y  t  に残り1  t の時間の利子が付いて y  t 
割引現在価値
連続複利では
r
e
現在の1円 = 1年後の
円
各時点で y  t  貯蓄したときの1年後の金額
=0時点で z 貯蓄したときの1年後の金額
ze   y  t e
r
1
0
r 1t 
z   y  t e rt dt
1
dt
0
貯蓄流列の(割引)現在価値
t時点までの現在価値

t
0
y  s e rs ds

 rs
lim
y
s
e
ds

y
s
e
ds




t  
将来を無限に取るとき

t
0
 rs
0
連続モデルのメリット
• フロー変数(貯蓄・投資など)の時間について
の積分がストック変数(貯蓄残高、資本など)
になる
• ストック変数の時間についての微分がフロー
変数になる
• このあたりがメカニカルに出て、混乱すること
が少ない
時間についての微分
直線上の運動
x
dx
dt
位置
速度
dx
x
dt
独立変数が時間の
ときはこの書き方を
する
2
2
d x
2
dt
加速度
d x
x
2
dt
力を加えないと等速運動する
加速度を与えるには、力がいる
二次元、3次元では、結構難しい
貯蓄
S t 
貯蓄残高
しばらくは、すべて時間の関数なのでtは省略
S
貯蓄残高の純増加
=その時点での純貯蓄＋利子
S  y  rS
その時点での貯蓄残高の利子だけを考えればいい
微分方程式の例
資本の蓄積
資本・・・労働以外の生産要素
資本を増やすのが投資
資本が減るのが減価償却
K
I
K
資本の量に比例
資本の増加=投資－原価償却
K  I  K
放射性元素の崩壊型
常微分方程式
g  x, x, t   0
x  f  x, t 
一般的な微分方程式
(正規系の)常微分方程式
x t 
x t   f  x t  , t 
微分方程式の解
が恒等的に成り立つ
fが行儀がよく、定義域が  t0 , x0  を含む開集合なら
初期値
x0  x t0 
を満たす解が一意に存在
t0 , x0  から x t   f  x t  , t 
にしたがって、じわじわ変化
例 貯蓄の蓄積
S  y t   rS
 S0 , t0  を初期値とする解は
t
r  t t 
r t s 
S  t   S0e
  y  s e
ds
t
0
0
最初の項が初期の貯蓄残高に利子が
ついた分で、二項目は、途中の貯蓄に
残りの期間の利子がついたもの
S  t   S0e
r  t t0 
  y  s e
t
r t s 
t0
ds
右辺を微分する
rS0 e
r  t  t0 
 y t  e
r  t t 
 r  y  s e
t
t0
r t  s 
ds
 y  t   rS  t 
t g  x, s, t 
d t
g  x, s, t ds  g  x, t , t   
d

t0
dt t0
t
合成関数微分と微分と積分が反対
微分と積分の入れ替えは、ルベーグ積
分の収束についての定理に依存する
ので、怪しいときは調べる
途中で利子率が変わるとき
S  y t   r t  S
解は
S  t   S0 exp
  r  s  ds    y  s  exp   r u  du  ds
t
t
t
t0
t0
s
初期値のチェックと右辺を微分して、
解であることをチェックすればいい。
ウェイトをかけない単純和になる。
瞬時ごとに指数的に増加
微分方程式の安定性
• 線形微分方程式や二体問題のように、陽表
的に解けることは少ない。
• 安定性を検討
x t  : x  f  x, t  の解
limt  x t   x *
が成立するか
x  f  x  変化の法則が時間に依存しない
自律系の常微分方程式
f  x  0
xが変化しない
xが定常点
x0が一つ定常点
f '  x0   0
x0
f  x
xがx0より少し大きい
x  f  x  0
xは減少しx0に近づく
xがx0より少し小さい
x  f  x  0
xは増加しx0に近づく
x0の近くでは、局所的に安定
f '  x0   0
x0の近くでは、局所的に不安定
例 ソローの成長モデル
K  I   K 資本蓄積モデル
Y  F  K , L 一次同次の生産関数
L
g
労働成長率は一定
L
I  sY  sF  K , L
投資=貯蓄=所得の一定割合
s=限界貯蓄性向=平均貯蓄性向
K
k
L
ln k  ln K  ln L
時間について微分する
両辺の対数を取る
K  I  K
L
g
L
I  sY  sF  K , L
生産関数は一次同次
k K L
 
k K L
I  K

g
K
sF  K , L 

  g
K
F  K, L
s
L   g

K
L
K 
sF  ,1
L 


  g
k
K 
sF  ,1
k K L
sf  k 
 L    g
  

  g
k K L
k
k
k  sf  k    g    k
k  sf  k0    g    k0  0
g  k
sf  k 
k  sf  k    g    k  0
k  sf  k    g    k  0時間がたつとどんどん
k0に近づく
k
k0
ポントリャーギン原理
ラグランジュ乗数法
max x1 ,..., xn f  x1,..., xn 
st g1  x1,..., xn   0,..., gm  x1,..., xn   0
m n
ポントリャーギン原理を使う問題
max  f  y  t  , x1  t  ,..., xn  t  , t dt
b
a
st y t   g  y t  , x1 t  ,..., xn t  , t 
以下(t)は省略
max  f  y, x1 ,..., xn , t dt
b
a
st y  g  y, x1,..., xn , t 
y:位置のようにいっぺんにワープできない
状態変数
x1,..., x1:舵やガソリンの使用量のように瞬時
に変えられる
制御変数
例 f y, x1 ,..., xn , t 各時点での燃料消費


もとの問題が最小化問題なら、、特定の時間
で、燃料をできるだけ使わないで、対岸に行く
max  f  y, x1 ,..., xn , t dt
b
a
st y  g  y, x1,..., xn , t 
ポントリャーギン原理のレシピ
(i)ハミルトニアン(ラグランジュアンの親玉)を作る
H  f  y, x1,..., xn , t    g  y, x1,..., xn , t 
最大値問題でラグランジュ乗数の前の符号は
＋で覚える・・・最小化問題なら、－を付け最大
化問題にする
ラグランジュ乗数法のときは、ラグランジュアン
の符号が変わるだけ
非線形計画法のときは、本で調べる
(i)ハミルトニアン(ラグランジュアンの親玉)を作る
H  f  y, x1,..., xn , t    g  y, x1,..., xn , t 
(ii)ハミルトニアンを制御変数で微分して0と置く
g  y, x1 ,..., xn , t 
H f  y, x1 ,..., xn , t 


0
xi
xi
xi
(iii)状態変数に対する微分にマイナスをつける
と、その状態変数に対応するラグランジュ乗数
の変化になる
f  y, x1 ,..., xn , t 
g  y, x1 ,..., xn , t 
H
 


y
y
y
ポントリャーギン原理の注意点
• 以上のレシピ(+以下で説明する横断条件)が
ポントリャーギン原理
• 古典的な方法は、変分法で一階の条件がオ
イラー方程式だが、ポントリャーキン原理の
ほうが機械的に説ける
• 正確な条件は例によって本を見る
横断条件(transversality condition)
• yとλの最初と最後の条件
• 流れる川を渡って、できるだけ早く、燃費を少
なくいくには、舟が岸を出るときも、岸につくと
きも、岸と垂直にするのがいい????
y  a  , y b が与えらない
b
  a     b  0
limt   t   0
初期値や終値が特定の関係を満たすなどの場
合は、本を調べる
状態変数と制約がたくさんある場合
max  f  y1 ,..., yk , x1 ,..., xn , t dt
b
a
st y j  g j  y1,..., yk , x1,..., xn , t  , j  1,..., k
hs  y1,..., yk , x1,..., xn , t   0, s  1,..., p
(i)ハミルトニアンを作る
H  f  y1 ,..., yk , x1 ,..., xn , t 
 j 1  j g j  y1 ,..., yk , x1 ,..., xn , t 
k
 s 1 s hs  y1 ,..., yk , x1 ,..., xn , t 
p
(i)ハミルトニアンを作る
H  f  y1 ,..., yk , x1 ,..., xn , t    j 1  j g j  y1 ,..., yk , x1 ,..., xn , t 
k
 s 1  s hs  y1 ,..., yk , x1 ,..., xn , t 
p
(ii)ハミルトニアンを制御変数で微分して0と置く
g j  y1 ,..., yk , x1 ,..., xn , t 
H f  y1 ,..., yk , x1 ,..., xn , t 
k

  j 1  j
xi
xi
xi
hs  y1 ,..., yk , x1 ,..., xn , t 
 s 1  s
0
xi
p
(iii)状態変数に対する微分にマイナスをつけると、その
状態変数に対応するラグランジュ乗数の変化になる
g j  y1 ,..., yk , x1 ,..., xn , t 
f  y1 ,..., yk , x1 ,..., xn , t 
H
k
 j 

  j 1  j
y j
y j
y j
hs  y1 ,..., yk , x1 ,..., xn , t 
 s 1 s
0
y j
p
ポントリャーキン原理の直感的説明
• 微分方程式を時点ごとの制約と考え、ラグラ
ンジュアンを作る
L   f  y, x1 ,..., xn , t dt     t   y  g  y, x1 ,..., xn , t dt
b
b
a
a
  f  y, x1 ,..., xn , t dt     t  ydt     t  g  y, x1 ,..., xn , t dt
b
b
b
a
a
a
   t  ydt
b
a
を部分積分
  t  ydt   b y b     a  y  a     t  y t dt
b
b
a
a
L   f  y, x1 ,..., xn , t dt     t  ydt     t  g  y, x1 ,..., xn , t dt
b
b
b
a
a
a
  t  ydt   b y b     a  y  a     t  y t dt
b
b
a
a

L   f  y, x1 ,..., xn , t dt    b  y  b     a  y  a      t  y  t  dt
b
a
    t  g  y, x1 ,..., xn , t dt
b
a
b
a


b
a

f  y, x1 ,..., xn , t    t  y    t  g  y, x1 ,..., xn , t  dt
   b  y  b     a  y  a 

L

b
a

f  y, x1 ,..., xn , t    t  y    t  g  y, x1 ,..., xn , t  dt
   b  y  b     a  y  a 
元は、y(t)は微分方程式で関係していたが、この式では、バラバラ
微分して0でないと大きくも小さくもなる。
  f  y, x1 ,..., xn , t     t  y    t  g  y, x1 ,..., xn , t 
y
f  y, x1 ,..., xn , t 
g  y, x1 ,..., xn , t 


0
y
y
 f  y, x1 ,..., xn , t     t  y    t  g  y, x1,..., xn , t 

(iii)に対応

xi
f  y, x1 ,..., xn , t 
g  y, x1,..., xn , t 


0
xi
xi
y  a  , y b 
が決まっていないと
(ii)に対応
横断条件に対応
  a   0, y b  0
最適貯蓄
S  yt  rt S
S, St , S t  :
t時点の貯蓄残高
y, yt , y t  :
t時点の貯蓄額
r, rt , r t  :
S  0 :
t時点の瞬時的な利子率
最初の貯蓄残高・・与件
S T   0
T時点に貯蓄を食いつぶして死ぬ
I , It , I  t  :
c, ct , c t  :
t時点の(利子以外の)所得
各時点での消費
I  c  y 所得は、消費されるか貯蓄される
u  c  各時点での消費からの効用
u '  c   0, u " c   0

T
0
u  ct  e
 t
dt
生涯効用
将来の消費は時間選好率0で割り引かれる
問題
max  u  ct  e dt
T
 t
生涯効用の最大化
0
st S  yt  rt S  It  ct  rt S
貯蓄蓄積の方程式、所得は与件
max  u  ct  e dt
T
 t
0
st S  It  ct  rt S
(i)ハミルトニアンを作る
H  u  ct  e
 t
   It  ct  rt S 
(ii)制御変数(c)で微分して0
H
 t
 u '  ct  e    0
ct
(iii)状態変数(S)で微分し－をつけるとラグランジュ
乗数の微分
H

  rt
S
以下の体系は、コンピュータで近似計算できる
u '  ct  e
 t
  0
S  It  ct  rt S
H

  rt
S
S  0  S0 , S T   0
S T 
S T 
  0  仮に決める
c  0 が決まる
少し先の   t  , S  t 
が決まる
まで繰り返す
が0に近くないときは   0  を変え繰り返す
解析的解法

  rt
t    0  exp   rs ds
線形微分方程式
t
0

u '  ct  e  
t
 t
u '  ct  e    0  exp   rs ds
 t

ct  u '
S  It  ct  rt S
1
   0 exp   r ds  e 
t
0 s
St  S  0     I s  cs  exp
0
線形微分方程式
S T   0
になるよう
0
t
  0
を決める

t
  r du  ds
t
s u
ct  u '

1

 
  0  exp   rs ds e t
t
0
利子率が一定の場合
   0 exp  rt  e 
   0 exp    r  t 
t
1
ct  u '
1
 u'
u'
 r
r
1
は減少関数
なら消費をだんだん減らす
なら消費をだんだん増やす
例 最適資本蓄積
F K
マクロ的生産関数・・労働は一定
K  F  K   ct 一国の実物的関係・・利子はつかない

max  u  ct e dt
 t
T 
0
生涯効用の最大化
前の例は、完全競争市場の個人だが、この例は、
経済全体

max  u  ct e dt
 t
0
st K  F  K   ct , K  0  K0
(i)ハミルトニアンを作る
H  u  ct  e
 t
   F  K   ct 
H  u  ct  e
 t
   F  K   ct 
(ii)制御変数(c)で微分して0
H
 t
 u '  ct  e    0
ct
(iii)状態変数(K)で微分し－をつけるとラグランジュ
乗数の微分
H

  F '  K 
K
解析的解法
  e
 
 
 
t
対数を取ってtで微分
u '  ct  e
 t
  0
   F '  K 
u '  ct   

 F '  K   
K  F  K   ct 
1
1
K  F K  u ' 
ct  u '   
自律系の連立常微分方程式
(右辺は状態変数のみ)
連立微分方程式と位相図

 F '  K   

K  F  K   u '1   
自律系の連立常微分方程式
(右辺は状態変数のみ)
このタイプの二元のシステム
は位相図により、だいたいの
振る舞いがわかる

 F '  K   

K  F K u '
1

 0


 F ' K     0

1
K  F'

は、一定
F ' K 
K
限界生産力逓減により減少関数

 F '  K   

右はプラスで上がり
左はマイナスで下がる

 F '  K   


1
K  F K u '

1
K  F K u'
  0
 0
F K  u'

  u '  F  K 
1
K 0
K
減少関数なので右下がり
K  F K u '
1

右は、＋で右へ、
左は－で左へ

 F '  K   

K  F K u '
1


 0
C
全体としては矢印の
ように動きそう
一本だけ定常点Bから
B
K 0
出て行くパスがある
A
K
一本だけ定常点Bに入る
パス(trajectory)がある。
このタイプの定常点は鞍点

 F '  K   

1
K  F K u '


 0
C
一本だけ定常点Bに入る
パス(trajectory)がある。
これ以外のパスでは、資 0
本がどんどん増えたり、
減ったりして、うまくいき
そうもない。最適なパス
はここにのっている
初期の資本が決まると
B
K0
K 0
A
の初期μが決まる
位相図はphase diagramでtoplogyとは関係ない
K
連立微分方程式の局所的安定性
x  f  x, y 
y  g  x, y 
自律系の連立常微分方程式
位相図を描いて考えるのが一つのアプローチ
定常点付近で線形近似し、線形代数と関係付ける
のが以下の話
x  f  x, y  , y  g  x, y 
f  x0 , y0   0, g  x0 , y0   0
 x0 , y0  : 定常点
この付近で線形(一次)近似
x  f  x, y   f  x0 , y0 
 f x  x0 , y0  x  x0   f y  x0 , y0  y  y0 
y  g  x, y   g  x0 , y0 
 g x  x0 , y0  x  x0   g y  x0 , y0  y  y0 
x  f x  x0 , y0  x  x0   f y  x0 , y0  y  y0 
y  gx  x0 , y0  x  x0   g y  x0 , y0  y  y0 
d
 x  x0   f x  x0 , y0  x  x0   f y  x0 , y0  y  y0 
dt
d
 y  y0   g x  x0 , y0  x  x0   g y  x0 , y0  y  y0 
dt
y  y0  Y
x  x0  X
X  f x X  f yY
Y  gx X  g yY
 x0 , y0 
独立変数は略
X  f x X  f yY 行列で表す X   f x
 g
Y  gx X  g yY
Y   x
fx  
fy
gx
gy  
 fx

 gx
fy 

gy 
fy  X 
 
gy  Y 
  2   fx  g y     fx g y  f y gx   0
の固有方程式
異なる2根を持つとする(重根のときは厄介)
1 , 2
 X   fx
 g
Y   x
fy  X 
 
gy  Y 
 fx

 gx
 fx

 gx
f y  をジョルダン標準形にする

gy 
fy 
 0
1  1
T
 T 

gy 
 0 2 
Tは正則行列
 0  X
X
1  1
  T 
T  
 0 2   Y 
Y 
 0  X
X
1  1
  T 
T  
 0 2   Y 
Y 
 X   1 0   X 
T 
T  
 Y   0 2   Y 
 X  U 
T  
 Y  V 
 U   1 0   U   1U 
 
   

 V   0 2   V   2V 
 U   1 0   U   1U 
 
   

 V   0 2   V   2V 
U  1U ,V  2V
1t
2t
U  U0e ,V  V0e
 X  U 
T  
 Y  V 
1t

X
 
1 U 0 e 
   T  2t 
Y 
 V0e 
U  0  U 0 

 
 V  0    V0 
初期値
1t
X
1  U 0 e  1 , 2 実根のケース
   T  2t 
Y 
 V0e 
1  0, 2  0 X,Yの絶対値がどんどん大きくなる
不安定
1  0, 2  0 2  0, 1  0
X,Yは、trajectoryにのっていない
限り、やがては、発散
鞍点に対応
1  0, 2  0
X,Yの絶対値がどんどん小さくなる
安定
1t
X
1  U 0 e  1 , 2 実根でないケース
   T  2t 
Y 
 V0e 
1  a  bi, 2  a  bi 根の公式により共役複素数
 cos bt  i sin bt  ,
 a bi t
e
 eat  cos bt  i sin bt 
e
 a bi t
e
at
a0
a0
やがては発散し不安定
やがては収束し安定
虚部もあるので、一般には回転し、
複雑な動き
安定性のRemarks
• 多次元でも、すべての固有値の実部が負の
とき局所的に安定
• 局所的でない大域的安定には、リヤプーノフ
関数を用いる