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バンドの絵
格子なしの場合
E
格子があると、ゾーン境界で
ギャップができる。
E
このエネルギーは
とれない
0
0
-1
-π/a
0
k π/a
0
0
k
E∝k2（自由電子）のグラフで、
ブリルアンゾーンに全部折り返した
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バンドの絵：もっと模式的に描くと
E
E
第3バンド
第2バンド
第1バンド
0
0
ｋ
k
バンドへの電子の詰まり方により、
金属、半導体、絶縁体の性質を持つ。
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絶縁体、半導体、金属
E
絶縁体
E
半導体
E
電子
k
ホール
k
金属
電子が１つのバンドを
満たしてない。
k
余分な電子がない。
下のバンドに電子が足りない。
ホールがある。
実際のバンドはもっと複雑。
半導体は他にも種類がある。
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ここから、
磁性体、統計力学の復習
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磁性
原子の持つ磁気モーメントにより、
物質が磁性を示す。
例
磁気モーメントの方向が揃うと
強い磁性を示す
磁気モーメントの方向がランダムだと、
磁性は弱くなる。
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なぜ原子は磁気モーメントを持つか？
古典的に考えると、電荷が円運動すれば、
磁気モーメントを持つ。

  -B 

磁気モーメント＝定数
e
B 
2mc
x 軌道角運動量
ボーア磁子
スピンも磁気モーメントを持つ


  -2Bs
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磁性を議論する時の基本的な量
H:磁場 （外からかける）
M:磁化
χ：帯磁率
F
MH
F: ヘルムホルツの
自由エネルギー
M

H
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いろいろな磁性体：常磁性(paramagnetic)
常磁性：磁場Hをかけると、磁化Mが磁場の方向を向く。
H=0で、磁化M=0.
隣同士の磁気モーメントの相互作用が弱い。
χ=C/T キュリーの法則。
H
磁場なし
磁場あり
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いろいろな磁性体
強磁性(ferromagnetic)：磁場がゼロでも、全体の磁化が残る。
（ヒステリシス現象）
Fe,Co, Niなど。
隣同士の磁気モーメントの相互作用が強い。
強磁性
フェリ磁性
C

T  TC
反強磁性
(anti-ferromagnetic)
T>Tcで常磁性
T<Tcで強磁性
キュリー・ワイスの法則
高温では、常磁性になる。（H=0で、M=0)
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常磁性体の簡単なモデル：
独立な磁気モーメントの場合
磁場Hの方向に、gμBm (m=J, J-1, ..., -J)の
磁気モーメントが単位体積中にn個ある。
異なる磁気モーメントは独立とする。
問題１：この系のエネルギーEを書け。
問題２：この系の分配関数Zを書け。
問題３：磁化Mを求めよ。
磁場Hが小さい時の関数形を書け。
磁場Hが大きい時はどうなるか？
問題４：磁場Hが小さい時、
帯磁率χの温度依存性が、 χ=C/Tであることを示せ。
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解答
分配関数とは。
E
Z   exp( )
kT
全ての状態
磁場Hの方向に、gμBm (m=J, J-1, ..., -J)の磁気モーメントが
単位体積中にn個ある。異なる磁気モーメントは独立とする。
問題１：この系のエネルギーE(n個の磁気モーメント
gμBmi, i=1,...n を使って書く。）
n
E   gB H  mi
i 1
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解答続き
問題２：この系の分配関数Zを書け。
J
J
J
E
gB H n
Z   exp( )    ..  exp(
mi )

kT m1  J m2  J mn  J
kT i 1
全ての状態
gB H
a
kT
Z
とおくと、
J
J
J
n
J
J
J
n
  ...  exp(a m )    ...  exp(am )
m1  J m2  J
mn  J
i 1
i
m1  J m2  J
1 

n
sinh(
J

)a 
 J
 
2
   exp(am)  

a
m   J
  sinh

2 

mn  J i 1
i
n
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統計力学の復習
カノニカル分布 (T, V, Nが一定)
の場合を考える。
ボルツマン因子
温度Tが一定の時、エネルギーEをとる確率は、
E
ボルツマン因子
に比例する。
exp(
kT
分配関数
E
Z   exp( )
kT
全ての状態
)
高温では、どのエネルギーも
同程度の確率（等分配則）
低温では、低いエネルギーの
状態が確率が高い。
なぜ分配関数を考えるか？
・いろいろな量の平均を出す時の、
規格化因子（分母）になる。
・物理量がZから出てくる。（微分する。）
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