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逆格子空間
基本並進ベクトル
T  u1a1  u2a 2  u3a3 (u ,u ,u は整数）
a 2  a3
b1  2
V
を使って、
1
2
に対して、
3
V  a・
1 (a 2  a 3 )
G  v1b1  v2b 2  v3b3 (v ,v ,v は整数）
但し
1
2
3
を逆格子ベクトルという。
問
1) aiは長さのディメンジョンを持つ。biのディメンジョンは？
2) ベクトル積
A x B を成分で書け。
3) A・(B x C ) は３つのベクトルA, B, Cの作る平行六面体の
体積に等しいことを示せ。
4) １次元の逆格子ベクトルを定義してみよ。
1
１次元の逆格子空間 （練習問題の最後）
基本並進ベクトル：
T=u a
逆格子ベクトル：
(uは整数）
Ｇ=v b 、 (vは整数)
｜b｜=２π/a,
a
-a
0
a=|a|
b
a
1次元の周期aの関数
2a
-2π/a
0
2π/a
4π/a
フーリエ空間では、
2π/aの整数倍の波数kでのみ
値を持つ。
３次元でも同様。
2
やっていること。
固体原子
＋
自由電子
-> 金属中の電子
？
＋
格子と逆格子
ブリルアンゾーン
格子振動
比熱
E
Ψ=exp(ikx)の波
 2k 2
Ek 
2m
0
k
3
粒子密度
並進操作Tに関して不変な関数n(r)は次のように書ける。
n(r )   nG exp( i(1)
G  r)
G
但し、Gは逆格子ベクトル（３次元）。
問1 bi・aj=2πδij を確かめよ。
a 2  a3
具体的にb1・a1とb1・a2を求めてみよ。 b1  2 V
V  a・
1 (a 2  a 3 )
問2 (1)式のn(r)が確かに
n(r+T)=n(r)
を満たすことを確かめよ。但し
基本並進ベクトル T=u1 a1 + u2 a2 + u3 a3 (uiは整数）
逆格子ベクトル Ｇ=v1 b1 + v2 b2 + v3 b3 (viは整数）
4
なぜ逆格子を考えるか？
１）周期aの関数のフーリエ変換は2π/aの倍数のｋで値を持つ。
３次元で言うと、逆格子空間の波数のみで値を持つ。
２）Ｘ線を当てる時、入射Ｘ線と放射Ｘ線の波数がわかる。
結晶
入射Ｘ線
e
ikr
k
φ
r
k'
散乱Ｘ線
O
e
i k ' r
点Ｏとrの行路差がrsinφ
位相差でkrsinφ=k・r
回折波について、- k’・r
合計k・r - k’・r
よって位相差は exp(i(k-k’)r)
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結晶
散乱振幅
入射Ｘ線
位相差は exp(i(k-k’)r)
散乱振幅は、
e ikr
k
φ
r
O
k'
散乱Ｘ線
e
ik 'r
F   dVn(r ) e xp[ i (k  k ' )  r ]   dVn(r )exp[iΔk  r ]
n(r)：原子密度
Δk=k’-k 散乱ベクトル
n(r)のフーリエ展開を代入すると、
F    dV nG exp[ i (G  Δk )  r ]
G
散乱Fが大きな値を持つのは、
G=Δk＝k’-k
の時。つまり散乱ベクトルと逆格子ベクトルが一致する時。
6
散乱の続き
弾性散乱だと、 k’=k (ベクトルの大きさが等しい）
k’=k+Gより、
(k+G)2=k2
よって 2k・G+G2 = 0
Gが逆格子ベクトルなら、-Gも逆格子ベクトルなので、
2k・G=G2 とも書ける。
上の式から、ブラッグの散乱条件を導きたい。
2dsinθ＝nλ 但しdは面間隔、λは波長、nは整数。
反射X線
入射X線
θ
結晶面
d
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結晶面(hkl)
結晶軸を、格子定数を単位として、s1, s2 ,s3 で切り取る面があれば、
1/s1, 1/s2 ,1/s3 を最小の整数に簡約する。
得られる(hkl)を面の名前とする。
例：(4,1,2)で切り取る面だとすると、(1/4, 1,1/2)の簡約化は(142)面
l)
負の時は, (h kのようにバーを付ける。
ある軸に平行な場合は、軸と交わらないので、ｓ=∞、よって面指数には0を入れる。
問１
立方晶系を考える。（３つの基本ベクトルが垂直で長さが等しい）。
立方体をいくつか書き、それぞれに以下の面を図示せよ。
(100), (110) , (111) , (210)
問２
(hkl)面と、逆格子ベクトルＧ=hb1 + kb2 + lb3 は直交することを示せ。
問３ 面(hkl)の間隔dが、d=2π/G であることを示せ。
但し前問同様、Ｇ=hb1 + kb2 + lb3 とする。
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X線の散乱条件
問４
問３および、散乱条件 2k・G=G2 から、
ブラッグの散乱条件
2dsinθ＝nλ
但しdは面間隔、λは波長、nは整数、
θは入射角。
を導け。但しGは、結晶面に対応する逆格子ベクトル。
入射X線 θ
反射X線
d
結晶面
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