Transcript 全微分と偏微分
2006. 10.31
Ibaraki Univ. Dept of Electrical & Electronic Eng.
Keiichi MIYAJIMA
偏微分と全微分
偏微分とは?
例えば f y (a, b) ならば
z f ( x, y )
y
f ( a, b)
b
0
この接線の傾き: f y (a, b)
a
x
偏微分の定義(i) (p.119)
(i) (a, b) D とする。 極限
f ( x, b ) f ( a , b )
lim
x a
xa
が存在するとき、f ( x, y )は (a, b) において x に関
して偏微分可能であるという。
この極限を f ( x, y )の (a, b) における x に関する
偏微分係数とよび
f
f x (a, b) または
( a, b)
x
偏微分の定義(ii) (p.119)
(ii) f ( x, y ) が D のすべての点において x に関
して偏微分可能であるとき、f ( x, y )は D にお
いて x に関して偏微分可能であるという。
x
このとき、領域 D の各点 (a, b) に f x ( x, y )を対
応させることで D で定義された関数が得られ
る。この関数を f ( x, y )の x に関する偏導関数
と呼び、
f
f x ( x, y ) または
( x, y )
x
偏微分の定義(ii) (p.119)
(ii) x に関する偏導関数を求めることを、 x に関
して偏微分するという。
偏導関数の定義式
f ( x h, y ) f ( x, y )
f x ( x, y ) lim
h 0
h
(iii) y に関しても全く同様なので省略
偏微分の図形的意味
z f ( x, y )
y
この接線の傾き: f y (a, b)
接線の傾き: f x (a, b)
f ( a, b)
b
0
a
x
例6.2 (p.121)
f ( x, y) x 2 xy 3x 4 y を x および y に関して
偏微分せよ。
3
2
f x ( x, y) 3x 2 y 3
2
2
f y ( x, y) 4 xy 4
全微分 (p.123)
f ( x, y ) が (a, b) で全微分可能とは、実数A,B
が存在して、
f ( x, y) f (a, b) A( x a) B( y b) ( x, y; a, b)
とおくとき、
( x, y; a , b )
lim
0
2
2
( x , y ) ( a ,b )
( x a ) ( y b)
が成り立つこと。
全微分 (p.123)
f ( x, y) f (a, b) A( x a) B( y b) ( x, y; a, b)
y b とおくと、
f ( x, b) f (a, b) A( x a) ( x, b; a, b)
ここで、両辺を x a で割る
f ( x, b ) f ( a , b )
( x, b; a, b)
A
A
xa
xa
ここで x a と言う極限をとると
lim
( x , y ) ( a ,b )
( x, y; a , b )
0
2
2
( x a ) ( y b)
より
全微分 (p.123)
つまり
f ( x, y) f (a, b) A( x a) B( y b) ( x, y; a, b)
の A は f x (a, b)で表される
B についても同様なので省略。
定理6.3 (p.123)
全微分可能
各変数に関して偏微分可能
定理6.4 (p.123)
領域 D で f ( x, y )が x および y に関して偏
微分可能で、偏導関数が f x ( x, y ), f y ( x, y )
が D 上連続ならば、f ( x, y ) は D で全微分
可能
定理6.4 (p.123)
領域 D で f ( x, y )が x および y に関して偏
微分可能で、偏導関数が f x ( x, y ), f y ( x, y )
が D 上連続ならば、f ( x, y ) は D で全微分
可能
各変数に関して偏微分可能
全微分可能
C 級
1
C 級
1
全微分の具体的な計算法
2変数関数
f ( x, y )
の (a, b) での全微分とは
df f x (a, b)dx f y (a, b)dy
と書く。
これは df
dy
f x ( a, b) f y ( a, b)
dx
dx
両辺をdxで
割った形
両辺をdyで
割った形
df
dx
f x ( a , b) f y ( a , b )
dy
dy
と変形できる
例題
f ( x, y) x 2 y 2 の点 (1,1) における全微分を求め
なさい。
解答例:
f x (1,1) 2, f y (1,1) 2 より
全微分 df は
df 2 dx (2) dy
2dx 2dy
合成関数の微分
多変数関数における合成関数の微分とは?
例1:
x(t ), y(t )のとき f ( x(t ), y(t )) の微分はどうなるか?
df f dx f dy
dt x dt y dt
として、計算する。
(この式は後日、Taylor展開の時に使用する)
合成関数の微分
多変数関数における合成関数の微分とは?
例2:
x( s, t ), y( s, t ) のとき f ( x(s, t ), y(s, t )) の微分は?
f f x f y
s x s y s
f f x f y
t x t y t
として、計算する。
(この式は後日、重積分のヤコビアンと関連する)
接平面
高校の時までの復習
y
f (x)
接線の方程式
y f (a) f (a)( x a)
f (a)( x a) (1) ( y f (a)) 0
f (a)
0
a
x
接平面
高校の時までの復習
y
f (x)
f (a)( x a) (1) ( y f (a)) 0
f (a)
0
f (a)
法ベクトル
1
a
x
接平面
z f ( x, y )
y
この接線の傾き: f y (a, b)
接線の傾き: f x (a, b)
f ( a, b)
b
0
a
接平面
x
接平面 (定理6.6)
接平面を求める式は?
接線を求める式が
f (a)( x a) (1) ( y f (a)) 0
だったのだから、これを拡張して・・・
f x (a, b)( x a) f y (a, b)( y b) (1) ( z f (a, b)) 0
f x ( a, b)
法ベクトル f y (a, b)
1
接平面と全微分の関係
f x (a, b)( x a) f y (a, b)( y b) (1) ( z f (a, b)) 0
f x (a, b)( x a) f y (a, b)( y b) z f (a, b)
x aと y b をそれぞれ dx, dy とおくと
全微分と同じ形になる。
本日の課題
2変数関数 f ( x, y) ln( 1 x 2 y 2 ) について
(1) 点 (2,1) における f の全微分を求めなさい。
(2) 点 (2,1, ln 6) における f ( x, y ) の接平面の方程
式を求めなさい。