Transcript 全微分と偏微分

2006. 10.31
Ibaraki Univ. Dept of Electrical & Electronic Eng.
Keiichi MIYAJIMA
偏微分と全微分
偏微分とは？
例えば f y (a, b) ならば
z  f ( x, y )
y
f ( a, b)
b
0
この接線の傾き： f y (a, b)
a
x
偏微分の定義(i) （p.119）
(i) (a, b)  D とする。 極限
f ( x, b )  f ( a , b )
lim
x a
xa
が存在するとき、f ( x, y )は (a, b) において x に関
して偏微分可能であるという。
この極限を f ( x, y )の (a, b) における x に関する
偏微分係数とよび
f
f x (a, b) または
( a, b)
x
偏微分の定義(ii) （p.119）
(ii) f ( x, y ) が D のすべての点において x に関
して偏微分可能であるとき、f ( x, y )は D にお
いて x に関して偏微分可能であるという。
x
このとき、領域 D の各点 (a, b) に f x ( x, y )を対
応させることで D で定義された関数が得られ
る。この関数を f ( x, y )の x に関する偏導関数
と呼び、
f
f x ( x, y ) または
( x, y )
x
偏微分の定義(ii) （p.119）
(ii) x に関する偏導関数を求めることを、 x に関
して偏微分するという。
偏導関数の定義式
f ( x  h, y )  f ( x, y )
f x ( x, y )  lim
h 0
h
(iii) y に関しても全く同様なので省略
偏微分の図形的意味
z  f ( x, y )
y
この接線の傾き： f y (a, b)
接線の傾き： f x (a, b)
f ( a, b)
b
0
a
x
例6.2 （p.121）
f ( x, y)  x  2 xy  3x  4 y を x および y に関して
偏微分せよ。
3
2
f x ( x, y)  3x  2 y  3
2
2
f y ( x, y)  4 xy  4
全微分 （p.123）
f ( x, y ) が (a, b) で全微分可能とは、実数A,B
が存在して、
f ( x, y)  f (a, b)  A( x  a)  B( y  b)   ( x, y; a, b)
とおくとき、
 ( x, y; a , b )
lim

0
2
2
( x , y )  ( a ,b )
( x  a )  ( y  b)
が成り立つこと。
全微分 （p.123）
f ( x, y)  f (a, b)  A( x  a)  B( y  b)   ( x, y; a, b)
y  b とおくと、
f ( x, b)  f (a, b)  A( x  a)   ( x, b; a, b)
ここで、両辺を x  a で割る
f ( x, b )  f ( a , b )
 ( x, b; a, b)
A
 A
xa
xa
ここで x  a と言う極限をとると
lim
( x , y )  ( a ,b )
 ( x, y; a , b )
0
2
2
( x  a )  ( y  b)
より
全微分 （p.123）
つまり
f ( x, y)  f (a, b)  A( x  a)  B( y  b)   ( x, y; a, b)
の A は f x (a, b)で表される
B についても同様なので省略。
定理6.3 （p.123）
全微分可能
各変数に関して偏微分可能
定理6.4 （p.123）
領域 D で f ( x, y )が x および y に関して偏
微分可能で、偏導関数が f x ( x, y ), f y ( x, y )
が D 上連続ならば、f ( x, y ) は D で全微分
可能
定理6.4 （p.123）
領域 D で f ( x, y )が x および y に関して偏
微分可能で、偏導関数が f x ( x, y ), f y ( x, y )
が D 上連続ならば、f ( x, y ) は D で全微分
可能
各変数に関して偏微分可能
全微分可能
C 級
1
C 級
1
全微分の具体的な計算法
2変数関数
f ( x, y )
の (a, b) での全微分とは
df  f x (a, b)dx  f y (a, b)dy
と書く。
これは df
dy
 f x ( a, b)  f y ( a, b)
dx
dx
両辺をdxで
割った形
両辺をdyで
割った形
df
dx
 f x ( a , b)  f y ( a , b )
dy
dy
と変形できる
例題
f ( x, y)  x 2  y 2 の点 (1,1) における全微分を求め
なさい。
解答例：
f x (1,1)  2, f y (1,1)  2 より
全微分 df は
df  2  dx  (2)  dy
 2dx  2dy
合成関数の微分
多変数関数における合成関数の微分とは？
例１：
x(t ), y(t )のとき f ( x(t ), y(t )) の微分はどうなるか？
df f dx f dy
   
dt x dt y dt
として、計算する。
（この式は後日、Taylor展開の時に使用する）
合成関数の微分
多変数関数における合成関数の微分とは？
例２：
x( s, t ), y( s, t ) のとき f ( x(s, t ), y(s, t )) の微分は？
 f f x f y
 s  x  s  y  s


 f f x f y
    
 t x t y t
として、計算する。
（この式は後日、重積分のヤコビアンと関連する）
接平面
高校の時までの復習
y
f (x)
接線の方程式
y  f (a)  f (a)( x  a)
f (a)( x  a)  (1)  ( y  f (a))  0
f (a)
0
a
x
接平面
高校の時までの復習
y
f (x)
f (a)( x  a)  (1)  ( y  f (a))  0
f (a)
0
 f (a) 

法ベクトル 
 1 
a
x
接平面
z  f ( x, y )
y
この接線の傾き： f y (a, b)
接線の傾き： f x (a, b)
f ( a, b)
b
0
a
接平面
x
接平面 （定理6.6）
接平面を求める式は？
接線を求める式が
f (a)( x  a)  (1)  ( y  f (a))  0
だったのだから、これを拡張して・・・
f x (a, b)( x  a)  f y (a, b)( y  b)  (1)  ( z  f (a, b))  0
 f x ( a, b) 


法ベクトル  f y (a, b) 
 1 


接平面と全微分の関係
f x (a, b)( x  a)  f y (a, b)( y  b)  (1)  ( z  f (a, b))  0
f x (a, b)( x  a)  f y (a, b)( y  b)  z  f (a, b)
x  aと y  b をそれぞれ dx, dy とおくと
全微分と同じ形になる。
本日の課題
２変数関数 f ( x, y)  ln( 1  x 2  y 2 ) について
(1) 点 (2,1) における f の全微分を求めなさい。
(2) 点 (2,1, ln 6) における f ( x, y ) の接平面の方程
式を求めなさい。