Transcript 制御系解析基礎 - 東京工業大学

システムモデルと確率過程
東京工業大学 機械制御システム専攻
山北 昌毅
よく用いられるシステムのモデル
（計算機で信号をサンプルする際）
AR(Auto Regressive)モデル
y ( k )   n 1 y ( k  1)   n  2 y ( k  2) 
  0 y ( k  n ),
(  i  0, i  0, , n  1)
MA(Moving Average)モデル
y ( k )   n 1e( k  1) 
  0 e( k  n ),
( i  0, i  0, , n  1; u (i )  e(i ), i  k  1, , k  n)
ARX(exogenous)モデル
y ( k )   n 1 y ( k  1)   n  2 y ( k  2) 
  0 y ( k  n )   n 1u ( k  1) 
  0 u ( k  n )  e( k )
ARMAモデル
y ( k )   n 1 y ( k  1)   n  2 y ( k  2) 
  0 y ( k  n )   n 1e( k  1) 
  0e( k  n )
ARMAXモデル
y ( k )   n 1 y ( k  1)   n  2 y ( k  2) 
  0 y ( k  n )   n 1u ( k  1) 
  0u ( k  n )   n 1e( k  1) 
  0e(k  n)
工学系で対象にされるシステムは連続系のシステム。本当にこれで表現できるの？
第１回講義の内容
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
状態空間表現とＬＴＩシステム
ＬＴＩシステムと伝達関数・可観測正準系
ＬＴＩシステムの解とシステムの離散化
可観測正準系と入出力モデル
Ｚ変換・パルス伝達関数・シフトオペレータ・微分オペレータ
式誤差モデル・出力誤差モデル
伝達関数とマルコフパラメータ
確率過程
エルゴード性
確率変数の収束
推定量の性質
状態空間表現とLTIシステム
u(t )
y(t )
d
システム
 x  f ( x, u, t ) 状態方程式
 dt
（ベクトル値関数の一階の常微分方程式）
 y  h( x, u, t )
観測方程式
x(t )  Rn , u(t )  Rm , y(t )  R p
 x1 (t ) 
 x (t ) 
LTI（Linear Time Invariant) システム
2




x
(
t
)
:

 x  Ax  Bu   






 xn (t )



 y  Cx  Du 

 n
 A1 j x j 
 j 1
n
 A2 j x j 
 j 1

 n

 Anj x j 
 j 1

B1 j u j 
j 1

m

B2 j u j 
j 1



m

Bnj u j 
j 1

m
m
 n

 C1 j x j   D1 j u j 
j 1
 j 1

m
n

C2 j x j   D2 j u j 
j 1
 j 1



 n

m


A
x

B
u
  pj j  pj j 
j

1
j

1


ＬＴＩシステムのブロック線図表現
D
u
x
B


A
x
C

y
状態空間表現（１）

１．厳密な数学モデル
(ml 2  I )    mgl sin( )  
２．近似数学モデル
(ml 2  I )    mgl  
状態空間表現（２）
 x1   
x    :  
 x2   
１．厳密な数学モデル
x2
 x1    

x  

2
x
(


x

mgl
sin(
x
)


)
/
(
ml

I
)
2
1
 2    

y    x1
状態空間表現（３）
２．近似数学モデル
x2
 x1    

x  

2
x
(


x

mglx


)
/
(
ml

I
)

2
1
 2   

y    x1
 
0
1
0
  x1  



x  




2
2
2
 mgl / (ml  I )  / (ml  I )  x2  1/ (ml  I ) 

 y  1 0  x1   [0]
 x 
 
 2

ラプラス変換の性質
（ ６ ） 合成則
L f * g  L  f  L g
（ １ ） 線形性
Lc1 f1  c2 f 2   c1L  f 1  c2 L  f 2 
ただし 、 f * gを  f (t  ) g ( )dと する 。
t
（ ２ ） 相似則
0
1 s
L f (at )  F   , F (s) : L  f 
a a
（ ３ ） 推移則
L f (t  )  e s L  f 


L f (t   )  es L  f    f (t )e st dt
0
（ ４ ） 積分法則
L
t
s 0
0
（ ５ ） 微分法則
 df 
L    L  f (1)   sL  f   f (0)
 dt 
L f
n1
  s L f    f
n
k 0
s 
（ ９ ） 最終値の定理
f ()  lim sF (s)
 f ( )d  1s L f 
( n)

（ 畳み込み積分）
（ ７ ） 反転公式
1 c
f (t ) 
F (s)est ds

c

2
（ ８ ） 初期値の定理
f (0 )  lim sF (s)
(k )
(0)sn1k
ただし 、 sF (s)は閉複素右半面で解析的
（ １ ０ ） パーセバルの定理
2
1 
0 f (t)dt  2  F ( j) d
ただし 、 F (s)はs  jで定義さ れる も のと する

2
良く使うラプラス変換と逆変換
L f 
1
1
U (t )(step func.)
s
1
at
e
sa
n!
t neat
(s  a)n1
f
 (t )
f
sin t
L f 

s2   2
s
cos t
s2   2
 cos   (s  a)sin 
at
e sin(t   )
(s  a)2   2
n!
n
t
sn1
ラプラス変換の利用法
時間領域での表現
時間領域での表現
畳み込み積分
ラプラス変換
逆ラプラス変換
周波数領域での表現
周波数領域での表現
掛け算
状態空間表現と伝達関数行列
 x  Ax  Bu

 y  Cx  Du

( A, B, C, D)が定数行列である と き 、
時不変線形( LTI : Li near Ti me I nvar i ant ) シス テムと いう
x(0)  0の下で両辺をLapl ace変換する と
sX (s)  AX (s)  BU (s)  X (s)  (sI  A)1 B
Y (s)  CX (s)  DU (s)  C(sI  A)1 BU (s)  DU (s)
: H (s)U (s),
H (s) : C(sI  A)1 B  D
可観測正準系（１）
Ｌ Ｔ Ｉ シス テムの座標変換
x  Tx ( xは新し い状態変数ベク ト ル） を用いて
xを用いてシス テムを表現する こ と をシス テムの
座標変換と いう
 x  Ax  Bu Tx  ATx  Bu  x  T 1 ATx  T 1Bu



 y  Cx  Du  y  CTx  Du
 y  CTx  Du
 x  Ax  Bu

,( A : T 1 AT , B : T 1B, C : CT )
 y  Cx  Du
可観測正準系（２）
[ Fact ] 完全可観測な1入力１ 出力シス テムは以下のよ う に
座標変換する こ と ができ る

0 0

1 0


 x  0 1







 y  0 0
0 a0 
 b0 
b 
0 a1 
 1 
 x   u
0

 
0 an1 
bn2 
 bn1 
0 1 an 
0 1 x  du
連続系の時間領域の入出力表現
y  xn
y  xn  xn1  an1xn  bn1u  xn1  an1 y  bn1u
y  xn2  an2 y  an1 y  bn2u  bn1u
y( n1)  x1  a1 y 
 an2 y( n3)  an1 y( n2)  b1u  bn2u 
 bn1u ( n2)
 an2 y( n2)  an1 y( n1)  b0u  b1u 
 bn1u ( n1)
y( n)  a0 y  a1 y 
y( n)  an1 y( n1)  an2 y( n2) 
 a1 y  a0 y  bn1u( n1)  bn2u( n2) 
 b1u  b0u
（注意：微分方程式表現で入力の微分項があっても実現には微分器は不要）
両辺を y(0)  y(0) 
(s n  an1sn1 
 y( n1) (0)  0の下でLapl ace変換する と
 a1s  a0 )Y (s)  (bn1s n1 
bn1sn1   b1s  b0
Y ( s)
: H (s)  n
U ( s)
s  an1sn1   a1s  a0
 b1s  b0 )U (s)
状態方程式の一般解
物理システムは連続系のシステムとして表現されることが普通
 x(t )  Ax(t )  Bu(t ), x(0)  x0

 y(t )  Cx(t )  Du(t )
x(t )  e x0   e
At
t
A(t  )
0
2
Bu( )d （一般解）
3
( At ) ( At )
e : I  At 

 ...
2
3!
At
d At
A3t 2
( At )2
2
( e ) 0 A A t 
... A( I  At 
...)  Ae At
dt
2!
2
（遷移行列）
一般解の証明
公式
t 
d t
h(t, )d  h(t, t )   h(t, )d

0
0 t
dt

t
d
d At
x(t ) 
e x0   e A(t  ) Bu( )d
0
dt
dt

 Ae x0  A e A(t  ) Bu( )d  Bu(t )
t
At

0

 A e x0   e A(t  ) Bu( )d  Bu(t )
At
t
0
 Ax(t )  Bu(t )
入出力関係の畳み込み積分表現
x(t )  e At x0   e A(t  ) Bu( )d
t
0
y(t )  Cx(t )  Du(t )
x0  0と 仮定する と
y(t )   Ce A(t  ) Bu( )d  Du(t )   H (t  )u( )d
t
t
0
0
H (t ) : Ce At B  D (t )
A2t 2 A3t 3
 C( I  At 

 ) B  D (t )
2!
3!
2
3
2 t
3 t
 CB  CABt  CA B  CA B   D (t )
2!
3!
t2
t3
: H1  H2t  H3  H4   H0 (t )
2!
3!
Hiを連続系のマルコ フパラ メ ータ と いう
マルコフパラメータと伝達関数の関係
H (s) : C(sI  A)1 B  D
 C( I  A / s)1 / sB  D
 C( I / s  A / s 2  A2 / s3  ) B  D
1
2
3
1
1
2 1
 CB    CAB    CA B   
s
s
s
1
2
3
0
1
 D 
s
0
1
1
1
1
: H1    H2    H3     H0  
s
s
s
s
Hiはi個の積分器を通った後の重みを表す
 1  tn
L  n1  
 s  n!
1
2
t
L1 H (s)  CB  CABt  CA2 B 
2!
 D (t )
システムの離散化（１）
u(t )
u(k )
0
12 3
k
0
ＺＯＨ
Ｄ／Ａ
y(t )
T2T 3T
0
t
プラント
y(k )
T2T 3T
t
0
12 3
Ａ／Ｄ
計算機
計算機でy(k)を観測してu(k)を決定することになる
k
システムの離散化（２）
kT
x(kT )  e A( kT ) x0   e A( kT  ) Bu ( )d
0
x((k  1)T )  e A(( k 1)T ) x0 
( k 1)T

e A(( k 1)T  ) Bu ( )d
0
kT
( k 1)T
0
kT
 e AT e A( kT ) x0  e AT  e A( kT  ) Bu ( )d 
 e AT x (kT ) 
( k 1)T

e A(( k 1)T  ) d Bu (kT )
kT
 x (kT )  u (kT )
T
 : e AT ,  :  e A d B
0

e A(( k 1)T  ) Bu ( )d
システムの離散化（３）
 x  Ax  Bu

 y  Cx  Du
＋
T
x (( k  1)T )   x ( kT )  u ( kT )
y ( kT )  Cx (kT )  Du (kT )
T
 : e AT ,  :  e A d B
0
離散時間系の時間領域の入出力モデル

 o 
0
 0 

1 0

  


1



 1 
 Ao   1 ...
  x(k  1)  A0 x(k )  b0u (k )
.  , b0 = 





.



n2 

 n  2   y (k )  c0 x(k )


  n 1 

1  n 1 

 co   0 0 ... 0 1 （可観測正準系）
y (k )  xn (k )
 xn 1 (k  1)   n 1 xn (k  1)   n 1u (k  1)
 xn 1 (k  1)   n 1 y (k  1)   n 1u (k  1)
 xn  2 (k  2)   n  2 xn (k  2)   n  2u (k  2)   n 1 y (k  1)   n 1u (k  1)
 xn  2 (k  2)   n  2 y (k  2)   n  2u (k  2)   n 1 y (k  1)   n 1u (k  1)
 x1 (k  n  1)  1 y (k  n  1)  1u (k  n  1)    n 1 y (k  1)   n 1u (k  1)
 0   0 y (k  n)   0u (k  n)  1u (k  n  1)    n 1 y (k  1)   n 1u (k  1)
  n 1 y (k  1)   n  2 y (k  2)    0 y (k  n)   n 1u (k  1)    0u (k  n)
y ( k )   n 1 y ( k  1)   n  2 y ( k  2) 
  0 y ( k  n )   n 1u ( k  1) 
  0u ( k  n )
AR(Auto Regressive)モデル
y ( k )   n 1 y ( k  1)   n  2 y ( k  2) 
  0 y ( k  n ),
(  i  0, i  0, , n  1)
MA(Moving Average)モデル
y ( k )   n 1e( k  1) 
  0 e( k  n ),
( i  0, i  0, , n  1; u (i )  e(i ), i  k  1, , k  n)
ARX(exogenous)モデル
y ( k )   n 1 y ( k  1)   n  2 y ( k  2) 
  0 y ( k  n)   n 1u ( k  1) 
  0 u ( k  n)(  e( k ))
ARMAモデル
y ( k )   n 1 y ( k  1)   n  2 y ( k  2) 
  0 y ( k  n )   n 1e( k  1) 
  0e( k  n )
ARMAXモデル
y ( k )   n 1 y ( k  1)   n  2 y ( k  2) 
  0 y ( k  n )   n 1u ( k  1) 
  0u ( k  n )   n 1e( k  1) 
  0e(k  n)
Ｚ変換・パルス伝達関数、シフト・微分オペレータ
数列{y(k),k=0,1, }のＺ変換

Y ( z ) :  y (k ) z  k
k 0
関数y(t)(t  0)のラプラス変換

Y(s)=  y (t )e  st dt
0
パルス伝達関数＝ゼロ状態での入力のＺ変換 伝達関数＝ゼロ状態での入力のラプラス変換と
と出力のＺ変換の比
出力のラプラス変換の比
安定性：極が複素単位円内に存在する
安定性：極が複素左半平面に存在する
q  z , q 1  z 1 (初期関数値を無視）
q  s, q 1  s 1
qy (k )  y (k  1), q 1 y (k )  y (k  1)
sy (t )  y (t ), s 1 y (t )   y ( )d
t
0
式誤差モデル・出力誤差モデル（ＢＪモデル）（１）
式誤差モデル：ダイナミックスの前に外乱が入る構造
（式の誤差として外乱が入る構造）
C ( z ) w (t )
B ( z )u (t )
1
A( z )
y (t )
y (k )   n 1 y (k  1) 
y (k )   n 1 y (k  1) 
 1 y ( k  n  1)   0 y ( k  n)   n 1u ( k  1) 
 1 y ( k  n  1)   0 y ( k  n)   n 1u ( k  1) 
出力誤差モデル：ダイナミックスの後に外乱が入る構造
（出力に誤差が入る構造）
w (t )
B ( z )u (t )
1
A( z )
y (t )
B ( z )u (t )
1
A( z )
C ( z ) w (t )
1
D( z )
y (t )
BJ（Box Jenkins)モデル
式誤差モデルはＢＪモデルの特殊な場合！
D( z)  A( z)
  0 u ( k  n )  w(t )
  0 u ( k  n)  w(t )
パラメータ同定用モデル
ARＸモデル
y (k )   T (k  1)  e(k )
 T (k  1) : [ y (k  1), y (k  2), , y (k  n), u (k  1), , u (k  n)]
 T : [ n 1 , ,  0 ,  n 1 , ,  0 ]
 (k  1)を回帰ベクトルと呼ぶ
NARXモデル
y ( k )  h ( y ( k  1), y ( k  2), , y ( k  n ), u ( k  1), , u ( k  n ))
NARMAXモデル
y ( k )  h ( y ( k  1), y ( k  2), , y ( k  n ), u ( k  1), , u ( k  n ), e( k  1), , e( k  n ))
パルス伝達関数とマルコフパラメータ（１）
y (k )   n 1 y (k  1)   n  2 y (k  2)    0 y (k  n)   n 1u (k  1) 
初期条件ゼロの下で両辺をＺ変換する
ただし、数列y (k )のZ変換は
  0u ( k  n )

Z  y (k ) : Y ( z ) :  y (k ) z  k
k 0

Z  y (k  1)   y (k  1) z
k
k 0

  y (k ') z
 k ' 1
k '1

zy (0)  zy (0)   y (k ') z  k '1
k '1



k ' 
  zy (0)  z  y (0)   y (k ') z    zy (0)  z  y (k ') z  k '   zy (0)  zY ( z )
k '1
k ' 0



Z  y (k  1)   y (k  1) z
z
k 0
n
  n 1 z n 1 
k

 y (k  1) z
k
k 1

  y (k ') z  k '1 z 1Y ( z )
k ' 0
 1 z   0  Y ( z )   bn 1 z n 1 
bn 1 z n 1  b1 z  b0
Y ( z)

: H ( z )
U ( z ) z n   n 1 z n 1   1 z   0
b1 z  b0 U ( z )
パルス伝達関数とマルコフパラメータ（２）
x(k  1)  x(k )  u (k )
y (k )  Cx(k )  Du (k )
u (0)  1, u (k )  0(k  1)の入力を上式に入れる
y (0)  D, x(1)  
y (1)  Cx(1)  C , x(2)  
y (2)  Cx(2)  C , x(3)   2
y (n)  Cx(n)  C  n 1
H 0 : D, H i : C  i 1(i  1)をマルコフパラメータという
H iはiステップ遅れて出力に影響を与える重みとなっている
パルス伝達関数とマルコフパラメータ（３）
 x(k  1)  x(k )  u (k )

 y (k )  Cx(k )  Du (k )
x(0)をゼロとして両辺をＺ変換すると
 zX ( z )  X ( z )  U ( z )

Y ( z )  CX ( z )  DU (k )
Y ( z )   C ( zI  ) 1   D U ( z )
Y ( z)
 C ( zI   ) 1   D : H ( z（パルス伝達関数）
)
U ( z)
1
2
2
1
1
1
C ( zI   )   D  C    C     C 2   
z
z
z
1
1
2
2
1
1
1
 H 0  H1    H 2    H 3   
z
z
z
1
 D 
z
0
確率過程（１）
水の上の花粉の軌跡は最初の位置が同じでも、‘熱的ノイズ’によってその軌跡は
非常に異なるものとなる。このような現象を数学的に取り扱いたい。
px (t )
p (t , 1 )
tは時間で、iは何回目の観測かを示すと考える。
これを数学的に、p(t ,  )のtを固定したとき、を
確率パラメータとしてもつ確率変数と考える。
p x (t , 1 )
p x (t ,  2 )
py
p (t ,  2 )
px
t
を固定して、p(t ,  )をtのみの関数と考えたとき、
見本過程という。（実際に観測されるのは見本過程
の一つである！）
確率過程（２）
P()
数学的には、 確率過程と は時間tを変数に持つ確率変数
dP()
の集合（ 族） と 定義さ れる 。
Y (t, ), t T  (Tは非負の整数と か、 実数空間をと る ）
   d
上記の設定だけで平均値を定義し てみよ う 。 だたし 、 の軌道が生成さ れる
確率を P()によ り 定義する 。 ま た、 の取り う る 全体集合を形式的にと する 。
P()


E Y (t ) :  Y (t, )dP()    Y (t, )
d : Y (t, ) p()d 



 

こ のと き 、 いったい全体集合はどのよ う な集合で, どう やって全体で積分を
実行し たら いいだろう か？
確率過程（３）
こ れに対し て答えを与える のが次のDoob-Dynki nの補題である 。
[ 補題]( Doob  Dynkin)
関数X , Y :   Rnを考える 。 Xが確率変数である と する 。
こ の時、 Yが確率変数である ための必要十分条件は、 Rn上
での確率変数g : Rn  Rnが存在し て、 以下の関係を満たす
こ と である 。
Y ()  g ( X ())
確率過程（４）
こ の補題を使って x  X ()  Rnと し 、   X 1 ( x)と し た場合には次のよ う になる 。
（ ただし 、 X 1は逆関数ではなく て集合関数と し て一般には定義）


Y ()dP()  n g ( X ())dP( X 1 ( x))   n Y ( x)dP( x)
R
R
ただし 、
Y ( x) : g ( x)


P X 1
1
dx
dP( x) : dP( X ( x)) 
 x

つま り 、 での確率分布関数から xでの確率分布関数( 確率密度関数）
が誘導さ れる 。
従って、 の分布関数を考えなく と も 、 xの分布関数を考えて
期待値計算を行って良いこ と になる 。 ( つま り 、 Y ( x)の実現値が
観測さ れている と 考える ）
確率過程（５）
こ こ で、 上記の結果を次の期待値計算に適用する 。
E Y (t ) :  Y (t , )dP()   Yt ()dP()


xt  X t( ) , Yt( )  g ( X t ())と し 、 =X t1 ( xt )と し て考え、 前と 同様に変形する 。
E Y (t ) :  Y (t , )dP()   n g ( X t ())dP( X t 1 ( xt ))   n Yt ( xt )dP( xt )

R
R
こ こ で、
Yt ( xt ) : g ( xt )

1
dPt ( xt ) : dP( X t ( xt ))
と し 、 y(t ) : yt  Yt ( xt ), xt =Yt 1 ( yt )  Yt 1 ( y(t ))と 考える と
E Y (t )   n y(t )dPt (Y 1 ( yt ))   n y(t )dPt ( y(t ))
R
R
と なって、 y(t )の分布関数さ え分かれば計算可能と なる 。
ただし 、 nの大き さ は考える 問題によ って異なる 。 たく さ んの時刻の結合（ 同時） 確率分布を考える
と nは非常に大き く なる ！
確率過程（６）
例
今、 x(t, )の平均値を計算し たいと する 。 標本信号の考え方では
E{x(t )}   x(t , )dP()

と し なければなら ないが、 標本信号がどのよ う な確率で生成さ れ
る かは分ら ない。 こ れに代わって
E{x(t )}   n x(t )dP( x(t ))
R
と 計算でき る こ と を示し ている 。
確率過程（７）
ま た、 例えば時刻と
t sの相関を計算する ために、
 x(t, ) 
xa (t, s, ) : 

 x(s, )
と して
E{xa (t ) xaT (s)}   xa (t , s, ) xaT (t , s, )dP()

を計算し なければなら なく なる が、 こ れは
 x(t ) 
E{xa (t ) xaT (s)}   2 n xa (t , s) xaT (t , s)dP( xa (t, s)), xa (t , s) : 

R
 x(s)
と し て計算でき る こ と を示し ている 。 も ちろん、 xa (t , s)の分布
を知る 必要がある が。
確率過程（８）
一般に確率過程はy( t 1, ) , , y( t n , ) の同時確率によ ってその性質が決定さ れる 。 こ の同時確率が時間の推移に
関し て不変である と き 、 その確率過程は定常である と いう 。
[モーメ ント ]次式で定義さ れる 期待値を n次のモーメ ント と いう 。
E{ y(t1, ) y(t2 , )
y(tn , )}
特に、 １ 次、 ２ 次のモーメ ント を平均値、 相関関数と 呼び、 次のよ う に表現する
平均値　：  y (t )  E{ y(t, )}
自己相関関数： yy (t1, t2 )  E{ y(t1, ) y(t2 , )}
[ 共分散、 分散] 共分散、 分散を次式で定義する
自己共分散：  yy (t1, t2 )  cov[ y(t1 ), y(t2 )]: E{( y(t1 )   y (t1 ))( y(t2 )   y (t2 ))}
分散　：  y 2 (t ) : cov[ y(t ), y(t )]
確率過程が定常である と き 、 相関関数は時刻の差のみの関数と なる 、 つま り   t2  t1と する と
yy (t1, t2 )  yy ( )  yy ( )
なぜなら 、
E{ y(t1 ), y(t2 )}  E{ y(t1 ) y(  t1 )}  E{ y(t '1  ) y(t '1 )}
確率過程（８）
数学的（ 集合的） 平均と 時間平均
前のス ラ イ ド で考えた平均値はいろいろな標本があり 得る のに
たいし て、 それを集合的に考えてその期待値を計算し ていた。
その期待値を 数学的期待値、 ま たは集合的期待値と いう 。
し かし 、 現実の実験や観測では一つの時間関数が観測でき る だけで、
同じ 実験や観測を何度も する こ と ができ な場合も 多い。 そのよ う な
一つの標本関数を用いて、 集合的な性質が計算可能である 場合を
エルゴード 過程と 呼ぶ。
例え ば
1 T
x(t   )d
T  2T T
E{x(t )}  lim
自己共分散とスペクトル密度関数
定常過程の場合は自己共分散は時間差のみの関数であっ た
xx ( )
こ れをフーリ エ変換し たも のを考える

xx ( j)   xx ( )e j d

こ れはパワ ース ペク ト ルと 呼ばれる 。 ま た、 逆フーリ エ変換では
xx ( ) 
1
2



xx ( j)e j d
従って各時刻のxの分散xx (0)は
xx (0) 
1
2



xx ( j)1d
である ので、 パワ ース ペク ト ルの周波数領域での積分で与えら れる 。
パワースペクトルからの伝達関数の推定
相互相関関数と フィ ルタ ー出力のパワ ース ペク ト ル
相互相関関数は次式で定義さ れる
xy ( ) : E{x(t ) y(t   )}
相互相関関数のフーリ エ変換には次の関係がある

xy ( j) :  xy ( )e j d

xy ( j)   yx* ( j)
相互相関関数と 自己相関関数の関係には次の関係がある .
ただし 、 xから yへの伝達関数を H (s)でその重み関数を h(t )と する.

xy (t )   h(t )xx (t  )d

yy (t )   h(t )yx (t  )d
実際


1 T
x(t ') x(t ' t  )dt 'd


T  2T T

1 T
1 T

x
(
t
')
h
(
t
)
x
(
t
'

t


)
d

dt
'

x(t ') y(t ' t )dt '  xy (t )

2T T
2T T
h(t )xx (t  )d   h(t ) lim
従って

 yy ( j)  F{ h(t )yx (t  )d }  F{h}F{yx }  H ( j) yx ( j)

 H ( j) xy ( j)  H ( j) H * ( j)xx* ( j) | H ( j) |2 xx ( j)
*
今yのス ペク ト ル密度関数が分かっている と する と 、 パワ ース ペク ト ルが
全周波数に渡って１ のノ イ ズ( 白色ノ イ ズ） によ って駆動さ れている と する と
xx ( j)  1
である ので、
 yy ( j) | H ( j) |2
と 考える こ と ができ る 。 ま た、 yの分散yy (0)は
yy (0) 
1
2



 yy ( j)d 
1
2



| H ( j) |2 d || H (s) ||22
と なり 、 H (s)のH2ノ ルムの２ 乗（ の定数倍） と なる こ と が分かる
伊藤の確率微分方程式‘超入門’
 x(t  t )  x(t )  fc ( x(t ))t  L(t ) (t )  o(t ), x(t )  Rn

p
 y(t  t )  y(t )  hc ( x(t ))t  V (t ) (t )  o(t ), y(t )  R
が任意の小さ な正のtについて成り 立つ時
dx(t )  fc ( x(t ), t )dt  L(t )d  (t )

dy(t )  hc ( x(t ), t )dt  V (t )d (t )
と 表現する 。 ただし 、  (t ), (t )は独立なブラ ウ ン運動で、
それぞれ対角な拡散行列Q(t ), R(t )を持つ。
 d    (t ), d  (t )d  T (t )  Q(t )dt , Q(t )  diag (q1 (t ), , qn (t ))

 d   (t ), d (t )d T (t )  R(t )dt , R(t )  diag (r1 (t ), , rp (t ))

 (t )～N (0, Q(t )t ),  (t )～N (0, R(t )t )


o(t )
lim
0
t 0
t

伊藤の公式（１）
x(t )が伊藤の確率微分方程式を満た す時
dx(t )  fc ( x(t ), t )dt  L(t )d  (t )
y  f ( x)と する と yの微分方程式は次式と なる 。
f
1 T 2 f
dy  dx  dx 2 dx
x
2
x
伊藤の公式（１）
ただし 、 式を展開し た後次の関係を利用。
dt 2  0, dtd i  0, d i d  j  0(i  j )
 2
d i  qi dt
（ 関数が２ 次の係数を 持つ場合、 確率的要素が確定的成分に！）

44
伊藤の公式（２）

f
1 T 2 f
f
1  2 f
dy  dx  dx 2 dx  dx  Tr  2 dxdxT 
x
2
x
x
2  x


f
1  2 f
 ( fc ( x(t ), t )dt  L(t )d  (t ))  Tr  2 L(t )QLT (t )  dt
x
2  x

Dynkinの公式( 伊藤の公式の応用）
 f

d
1  2 f
E{ f ( x(t ))}  E  fc ( x(t ), t )  Tr  2 L(t )QLT (t ) 
dt
2  x
 x

確率変数の収束（１）
確率変数の列X n (n  1, )と ひと つの確率変数X (定数でも 良い)を考える 。
[確率収束]
任意の  0に対し て、
lim{P(| X n  X |  )}  0(lim{P(| X n  X |  )}  1)
n
n
P
を満たすと き 、 X nはXに確率収束する と いい、pl i mX n  X ( X n  X )のよ う に表現する 。
n
[概収束（ 確率１ での収束）]
P(lim X n  X )  1
n
a. s .
を満たすと き 、 X nはXに概収束する （ 確率１ で収束する ） と いい、 a. s. lim X n  X ( X n  X )のよ う に記述する 。
n
確率収束の場合, X n( ) を nに関する 見本列( サンプルパス ） である と する と 、 Xと X nの値がよ
り 離れる 確率はnが増加する と 限り なく 小さ く なる 。 し かし 、 ひと つのサンプルパス について
X n ()がXに収束する かどう かは分ら ない。
確率変数の収束（２）
Lim
a.s.lim
l.i.m.
plim
[自乗平均収束]
E{|| X n ||2}  , E{|| X ||2}  で、
lim E{|| X n  X ||2}  0
n
を満たすと き 、 X nはXに自乗平均収束する と いい、l . i . m. X n  Xのよ う に表現する 。
n
[分布関数と し ての収束（ 法則収束）]
Fn , FをそれぞれX n , Xの分布関数と する 。 こ のと き
連続な点全てで lim Fn ()  F ()(ある いは弱収束する)
n
を満たすと き 、 X nはXに分布関数と し て収束する と いい、Li mX n  Xのよ う に記述する 。
n
確率収束しても概収束しない例
t ()
t
t
  [0,1]
lim P{| X t |  }  0
t 
 

 p l im X t  0
t 
limsup X t ()  1と なり 、 どのサンプルパス も ０ に収束し ない！
t 
推定量の性質
真のパラ メ ータ pと その推定値pˆの誤差を e : p  pˆと する
[ 不偏性]
E{e}  0のと き 、 pˆを pの不偏推定量と いう
[ 一致性]
eNを N 個のデータ から 推定し た際の誤差である と する 。 こ のと き
plim eN  0
N 
と なる と き 、 pˆ Nを pの（ 弱い） 一致推定量と いう 。
参考文献
1.
山北：システム制御特論テキスト
http://www.ac.ctrl.titech.ac.jp/~yamakita/text.html
2.
3.
4.
Ｂ．エクセンダール（谷口節男訳）：確率微分方
程式（シュプリンガー・ジャパン）（１９９９）
相良ら：システム同定（コロナ社）（１９９５）
足立修一：ユーザのためのシステム同定理論（
コロナ社）（１９９３）