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基礎電気理論 (9)
2008年作成
担当：本間 聡
連絡先 Email: [email protected]
勾配
f
f
f
grad f  f  i  j  k
x y
z
ベクトル量になることに注意
例題 １ 点電荷が作る電界

空間上に+1の電荷量をもつ電荷を置いたとき、その電荷に生じ
る電磁気的な力をその点に於ける電場と定義
試験用においた＋１の電荷
+q0
r
+
電荷に力が発生： 電界E

電磁ポテンシャルΦを用いれば

0
と与えられる
電界は、空間上に電荷が存在することによって引き起こされる
電位の勾配に対応する。
E  -grad

q0
4 r
例題：電磁ポテンシャルと電界

点電荷q0が作る電磁ポテンシャル
y
y
q0
x
x
電荷の分布
zz

電磁ポテンシャル
q0
40 x2  y 2  z 2
zz
電磁ポテンシャル
例題：点電荷が作る電界
+q0の電荷が(0,0,0)にあると仮定すると  
試験用の電荷を置く
q0
40 x2  y 2  z 2
E  -grad
こちらの方向に移動しようとする。
勾配が大きい方が力が大きくなる
(x,y,0)における電界は

q  1
2x
1
2y
E

i

3
40  2 2
2 2
2
2 2
x

y

z
x  y2  z2

q
1
xi  yj

3
40 2
x  y2  z2 2

zz





3
2


j


例題２
y
2枚の平行な導体板の間に発生する電界
d
E
-
V
(x,y)における－の電極（y軸）からの電圧の高さは
+
+
+
+
x
V
 x
d
したがって、電界は
V
E  i
d
ベクトルの発散

n
流速を求める積分


前回の授業で流速ベクトルJ
について勉強した。
ある単位時間に面積Sの面
を通過する流量をQfとすると
S
J
Qf  J  S  J  nS
ここでベクトルnは面Sに
垂直な単位ベクトル
S
J
S
任意の面で
同様に流量を考えることができる
微小な領域Sを通過する流量Qfは
Qf  J  nS
では、面S全体から出る流量は？
ベクトルの発散

ある閉曲面S全体から出る流量を求めるには？


各微小区間から流出する量を足し合わせればよい。
→積分すればよい！
（ただし場
所ごとにnの方向が異なることに注意）
積分形
n
Q f   J  ndS
S
S
閉曲面から出ていく流体の総量
S
もし
Qf   J  ndS  0
なら
S
閉曲面に流れ込んだ流体は、
同じ量だけこの閉曲面から出ていく
J
重要事項
もし
Qf   J  ndS  0
なら
S
閉曲面に流れ込んだ流体は、
同じ量だけこの閉曲面から出ていく
もし
Qf   J  ndS  A ( A  0)
なら
S
閉曲面から流体が流出している
もし
Qf   J  ndS  A ( A  0)
S
閉曲面の中に流体が貯まる
なら
ベクトルの発散

これまでは積分形について述べた。以下では微分形について
説明をする
n
S
J
閉曲面を小さくし、体積を0に近づける。
この小さい体積から流出する流体の量を
⊿Vで割ると、単位体積当たりの流出量が
求められる
面積 S
体積 V
1
div J  lim
J  ndS

V 0 V S
divはdivergence(ダイバージェンス)と呼ぶ。
div J はベクトルJの発散
ベクトルの発散（微分形）

微分形の式を導くために、直方体の閉曲面を
k J z (x, y, z  z)
考える
(x,y,z+z)
z-axis
J  i Jx  j J y  k Jz
として
(x,y,z)
1
div J  lim
J  ndS

V V S
(x+x,y,z)
を計算する。
y-axis
x-axis
(x,y+ y,z)
k J z (x, y, z)
3つの方向があるが、
代表例としてz方向につ
いて計算する
ベクトルの発散（微分形）
k J z (x, y, z  z)
（式１）
z-axis
n=k
k  k J z ( x, y, z  z)  (k)  kJ z ( x, y, z)xy
 J z ( x, y, z  z)  J z ( x, y, z)xy
（式2）
n=-k
z方向について、直方体の領域から出る流体は
同様にx,y方向についても考えると
i  i J x ( x  x, y, z)  i  (i) J x ( x, y, z)yz
 J x ( x  x, y, z)  J x ( x, y, z)yz
y-axis （式3）
J (x, y  y, z)  J (x, y, z)xz
y
-axis
y
k J z (x, y, z)
直方体の領域から出る流体の総和は (式１）＋(式２)＋（式３）
ベクトルの発散（微分形）
1
V 0 V
div J  lim
 J  ndS
S
 J x ( x  x, y, z)  J x ( x, y, z)yz 
1 

 lim
 J y ( x, y  y, z)  J y ( x, y, z) xz 
x , y , z 0 xyz 
 J ( x, y, z  z)  J ( x, y, z)xy 
z
 z

 J y ( x, y  y, z)  J y ( x, y, z) 
 J x ( x  x, y, z)  J x ( x, y, z) 
 lim 
 lim 


x0
y 0

x

y




 J z ( x, y, z  z)  J z ( x, y, z) 
 lim 

z 0
z

J x J y J z



x y z


ベクトルの発散（微分形）
J x J y J z
div J 


x y z
  J
単位体積から湧き出す流量を表す。これを発散と呼ぶ。
重要：発散の量は、スカラー量になる
先と同様に
div J  0
ならば、湧き出す流体はない