Transcript 授業の要点(システムモデルと伝達関数)

システムモデルと伝達関数
1. インパルス応答と伝達関数
キーワード ： 伝達関数、インパルス応答、
ステップ応答、ランプ応答
2. 1 次（遅れ）系の応答
キーワード ： 1 次（遅れ）系の種々の応答
学習目標 ： 伝達関数、インパルス応答とステップ応答
について理解する。また、1 次系の過渡応答
特性を理解する。
1
システムモデルと伝達関数
1 インパルス応答と伝達関数
システム（微分方程式）:
dny
d n1 y
d mu
d m1u
 an1 n1   a0 y(t )  m  bm1 m1   b0u(t )
n
dt
dt
dt
dt
両辺をラプラス変換（初期値=0）
snY (s)  an1sn1Y (s)  a0Y (s)  smU (s)  bm1sm1U (s)  b0U (s)
bm s m  bm1s m1   b0
Y (s)  n
U (s)  G(s)U (s)
n1
s  an1s   a1s  a0
上式は入出力関係を代数方程式で表現している。
U (s)
伝達関数:
m1
bm s  bm1s   b0
(n  m)
G(s)  n
n1
s  an1s   a1s  a0
m
G(s)
Y (s)
図 1 線形システム
2
代表的な入力信号
（単位）デルタ関数：
α 0

の極限
1
α
(t ) 
0
(0  t   )
（その他）
以下の条件を満たす関数


 (t )dt 1




α(t )
1
α
 (t )
α
 (t )  0 (t  0)
f (t ) (t )dt  f (0)
t
0
図 2 デルタ関数
デルタ関数のラプラス変換
L  (t)  0 est (t )dt  e0  1
3
us (t )
単位ステップ関数：
us (t ) 
1
t 0
0
t 0
1
ステップ関数のラプラス変換
L us (t )
  st
0
  e 1dt
ランプ関数：
r (t ) 
t
0
 1 st  

e 
 s
0
1

s
r (t )
t 0
t 0
ランプ関数のラプラス変換
L r(t )
0
図 3 ステップ関数
  st
0
  e  tdt
t
0
t
図 4 ランプ関数
1 st  
 1 st
  te  2 e 
s
 s
0
1
 2
s
4
応答（出力）
1
G(s)U (s)
y
(
t
)
L
Y (s)  G(s)U (s) 
y(t)は入力のラプラス変換と伝達関数の積を逆ラプラス変換したもの
1
ステップ応答： U (s) 
インパルス応答： U (s)  1
s
1 
y(t )  L 1 G(s) 1
1
y(t ) L  G(s)   g1(t)
s 

1
L G(s)  g (t )
ステップ応答は、インパルス応答
インパルス応答は、伝達関数
を時間積分したもの
を逆ラプラス変換したもの




L g(t)  G(s)
伝達関数は、インパルス応答
をラプラス変換したもの
 t
 1
L  g ( )d  G(s)
0
 s
t

1  1
0 g( )d  L  s G(s) 
＊同様に、ランプ応答はステップ
応答の時間積分となる。
5
U (s)
G(s)
 (t )
入力
Y (s)
応答（出力）
t
t
0
図5(a) デルタ関数
微
分
g(t )
積
分
0
図5(b) インパルス応答
微
分
積
分
g1 (t )
us (t )
入力
応答（出力）
0
t
図5(c) 単位ステップ関数
0
t
図5(d) ステップ応答
6
時間領域での応答計算
時間領域でy(t)を計算するには・・・
･合成積（ラプラス変換の性質）
F (s)G(s)  L
  f (t  )g( )d 
t
0
・たたみ込み積分
y(t ) L 1G(s)U (s)
  g (t  )u( )d
t
0
g(t ) ：インパルス応答
つまり、時間領域でy(t)を計算するには、上式の積分を計算
しないとならない。
7
時間領域
ステップ応答
積分
微分
微分方程式
インパルス応答
g(t )
ラプラス
変換
ラプラス
変換
フーリエ
逆変換
フーリエ
変換
ラプラス
逆変換
伝達関数
s  j
周波数伝達関数
G(s)
G( j )
s領域
周波数領域
8
2. 1 次（遅れ）系の応答
インパルス応答：
K 
g(t ) L G(s) L 

 Ts  1 
 K /T 
1
L  s  (1/ T ) 
1
K Tt
 e
T
1 
K
T 1
0.8
g(t )
1 次（遅れ）系の G ( s )  K
伝達関数：
Ts  1

0.6
0.4
0.2
0
0
1
2
t /T
3
4
5
図6 インパルス応答
ラプラス変換の基本公式
L
1



1 
 at

e

sa 
9
ステップ応答:
インパルス応答の積分で得られるから
t K  / T
K   / T  t

g1(t) 
0
T
e
d 
T
 Te

K
定常値
t /T
lim g1 (t ) lim K (1 e
t 
) K
初期速度
K t / T
dg1
 e
dt t  0 T
1
0.8
g-1 (t )
t 

0
 K (1  et /T )
t 0
K

T
0.6
0.4
0.2
0 0
1
3
2
4
5
t /T
図7 ステップ応答
10
･ 時刻 t=T において定常値の
63.2 % になる。
 K (1  0.368)  0.632 K
1
0.8
0.632
0.6
g-1(t )
g1 (t )  K (1  et / T ) K (1  e1 )
K
0.4
･ 初期速度のまま進めば，T 秒後
に定常値に到達する．
定常値 lim g1 (t )
t 

1
lim g1 (t ) lim sY (s)  lim s  G(s)
s 0
t 
s0
s
 lim G(s)  G(0)
Y (s)
s0
t T 1
0.2
0

0
3
4
t /T
図8 ステップ応答
1
2
5
最終値定理
lim f (t )  lim sF(s)
t 
s0
･ 定常値は入力の大きさのK 倍になる。
lim g1 (t )
t 
K
K
T  0 1
T ：時定数
K ：ゲイン
11
種々の時定数Tに対する応答
K
1
の値
0.8
Im
g-1(t )
1

T
Re
1

0.2
1
1
1



0.6 1.0 1.4
0
0.6
0.4
0.2
0
T  1.0
T  0.6
T  0.2
T  1.4
3
5
0
1
2
4
t
図9 種々の時定数 T に対する応答
12
［例1］
１次（遅れ）系の例
dy(t )
A
 By(t )  u(t )
dt
入力 u(t )
出力 y(t )
ラプラス変換
AsY(s)  BY (s)  U (s)
( As  B)Y (s)  U (s)
1
(1/ B)
Y (s) 
U (s) 
U (s)
As  B
( A / B)s 1
伝達関数：
(1/ B)
Y ( s)

G(s) 
U (s) ( A / B)s 1
1
ゲイン
B
A
時定数
B
13
インパルス応答：
Bt

1
1
/
B

1
A
1 

e
g (t ) L G(s) L 

 ( A / B)s 1 
A
ステップ応答:
g1(t) 

ランプ応答:
t1
0

g2 (t) 
A
eB / Ad 
t1
0
B
(1 e
B / A
1
(1 eBt/ A )
B
1
)d  2 (Bt  AeBt/ A  A)
B
ステップ応答の定常状態：
lim g1 (t )
t 
1
 G(0) 
B
dy / dt  0 の時、定常状態となる。
つまり、微分方程式で dy / dt  0, u(t )  1 とすると
By(t )  1

1
y(t ) 
B
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