授業の要点(システムモデルと伝達関数)
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システムモデルと伝達関数
1. インパルス応答と伝達関数
キーワード : 伝達関数、インパルス応答、
ステップ応答、ランプ応答
2. 1 次(遅れ)系の応答
キーワード : 1 次(遅れ)系の種々の応答
学習目標 : 伝達関数、インパルス応答とステップ応答
について理解する。また、1 次系の過渡応答
特性を理解する。
1
システムモデルと伝達関数
1 インパルス応答と伝達関数
システム(微分方程式):
dny
d n1 y
d mu
d m1u
an1 n1 a0 y(t ) m bm1 m1 b0u(t )
n
dt
dt
dt
dt
両辺をラプラス変換(初期値=0)
snY (s) an1sn1Y (s) a0Y (s) smU (s) bm1sm1U (s) b0U (s)
bm s m bm1s m1 b0
Y (s) n
U (s) G(s)U (s)
n1
s an1s a1s a0
上式は入出力関係を代数方程式で表現している。
U (s)
伝達関数:
m1
bm s bm1s b0
(n m)
G(s) n
n1
s an1s a1s a0
m
G(s)
Y (s)
図 1 線形システム
2
代表的な入力信号
(単位)デルタ関数:
α 0
の極限
1
α
(t )
0
(0 t )
(その他)
以下の条件を満たす関数
(t )dt 1
α(t )
1
α
(t )
α
(t ) 0 (t 0)
f (t ) (t )dt f (0)
t
0
図 2 デルタ関数
デルタ関数のラプラス変換
L (t) 0 est (t )dt e0 1
3
us (t )
単位ステップ関数:
us (t )
1
t 0
0
t 0
1
ステップ関数のラプラス変換
L us (t )
st
0
e 1dt
ランプ関数:
r (t )
t
0
1 st
e
s
0
1
s
r (t )
t 0
t 0
ランプ関数のラプラス変換
L r(t )
0
図 3 ステップ関数
st
0
e tdt
t
0
t
図 4 ランプ関数
1 st
1 st
te 2 e
s
s
0
1
2
s
4
応答(出力)
1
G(s)U (s)
y
(
t
)
L
Y (s) G(s)U (s)
y(t)は入力のラプラス変換と伝達関数の積を逆ラプラス変換したもの
1
ステップ応答: U (s)
インパルス応答: U (s) 1
s
1
y(t ) L 1 G(s) 1
1
y(t ) L G(s) g1(t)
s
1
L G(s) g (t )
ステップ応答は、インパルス応答
インパルス応答は、伝達関数
を時間積分したもの
を逆ラプラス変換したもの
L g(t) G(s)
伝達関数は、インパルス応答
をラプラス変換したもの
t
1
L g ( )d G(s)
0
s
t
1 1
0 g( )d L s G(s)
*同様に、ランプ応答はステップ
応答の時間積分となる。
5
U (s)
G(s)
(t )
入力
Y (s)
応答(出力)
t
t
0
図5(a) デルタ関数
微
分
g(t )
積
分
0
図5(b) インパルス応答
微
分
積
分
g1 (t )
us (t )
入力
応答(出力)
0
t
図5(c) 単位ステップ関数
0
t
図5(d) ステップ応答
6
時間領域での応答計算
時間領域でy(t)を計算するには・・・
・合成積(ラプラス変換の性質)
F (s)G(s) L
f (t )g( )d
t
0
・たたみ込み積分
y(t ) L 1G(s)U (s)
g (t )u( )d
t
0
g(t ) :インパルス応答
つまり、時間領域でy(t)を計算するには、上式の積分を計算
しないとならない。
7
時間領域
ステップ応答
積分
微分
微分方程式
インパルス応答
g(t )
ラプラス
変換
ラプラス
変換
フーリエ
逆変換
フーリエ
変換
ラプラス
逆変換
伝達関数
s j
周波数伝達関数
G(s)
G( j )
s領域
周波数領域
8
2. 1 次(遅れ)系の応答
インパルス応答:
K
g(t ) L G(s) L
Ts 1
K /T
1
L s (1/ T )
1
K Tt
e
T
1
K
T 1
0.8
g(t )
1 次(遅れ)系の G ( s ) K
伝達関数:
Ts 1
0.6
0.4
0.2
0
0
1
2
t /T
3
4
5
図6 インパルス応答
ラプラス変換の基本公式
L
1
1
at
e
sa
9
ステップ応答:
インパルス応答の積分で得られるから
t K / T
K / T t
g1(t)
0
T
e
d
T
Te
K
定常値
t /T
lim g1 (t ) lim K (1 e
t
) K
初期速度
K t / T
dg1
e
dt t 0 T
1
0.8
g-1 (t )
t
0
K (1 et /T )
t 0
K
T
0.6
0.4
0.2
0 0
1
3
2
4
5
t /T
図7 ステップ応答
10
・ 時刻 t=T において定常値の
63.2 % になる。
K (1 0.368) 0.632 K
1
0.8
0.632
0.6
g-1(t )
g1 (t ) K (1 et / T ) K (1 e1 )
K
0.4
・ 初期速度のまま進めば,T 秒後
に定常値に到達する.
定常値 lim g1 (t )
t
1
lim g1 (t ) lim sY (s) lim s G(s)
s 0
t
s0
s
lim G(s) G(0)
Y (s)
s0
t T 1
0.2
0
0
3
4
t /T
図8 ステップ応答
1
2
5
最終値定理
lim f (t ) lim sF(s)
t
s0
・ 定常値は入力の大きさのK 倍になる。
lim g1 (t )
t
K
K
T 0 1
T :時定数
K :ゲイン
11
種々の時定数Tに対する応答
K
1
の値
0.8
Im
g-1(t )
1
T
Re
1
0.2
1
1
1
0.6 1.0 1.4
0
0.6
0.4
0.2
0
T 1.0
T 0.6
T 0.2
T 1.4
3
5
0
1
2
4
t
図9 種々の時定数 T に対する応答
12
[例1]
1次(遅れ)系の例
dy(t )
A
By(t ) u(t )
dt
入力 u(t )
出力 y(t )
ラプラス変換
AsY(s) BY (s) U (s)
( As B)Y (s) U (s)
1
(1/ B)
Y (s)
U (s)
U (s)
As B
( A / B)s 1
伝達関数:
(1/ B)
Y ( s)
G(s)
U (s) ( A / B)s 1
1
ゲイン
B
A
時定数
B
13
インパルス応答:
Bt
1
1
/
B
1
A
1
e
g (t ) L G(s) L
( A / B)s 1
A
ステップ応答:
g1(t)
ランプ応答:
t1
0
g2 (t)
A
eB / Ad
t1
0
B
(1 e
B / A
1
(1 eBt/ A )
B
1
)d 2 (Bt AeBt/ A A)
B
ステップ応答の定常状態:
lim g1 (t )
t
1
G(0)
B
dy / dt 0 の時、定常状態となる。
つまり、微分方程式で dy / dt 0, u(t ) 1 とすると
By(t ) 1
1
y(t )
B
14