Transcript aljabar matriks pert 4

ALJABAR MATRIKS
pertemuan 4
Oleh :
L1153
Halim Agung,S.Kom
Vektor
Definisi Vektor
Vektor adalah suatu potongan garis yang mempunyai arah.
A
 B
Kita dapat menggambarkan suatu vektor dengan memberi tanda panah pada titik ujungnya.
Sedangkan untuk menuliskannya kita dapat memakai salah satu notasi.
A , AB,...
Vektor
Operasi-Operasi Pada Vektor.
a. Penjumlahan Vektor.
Misalkan kita hendak menjumlahkan vektor a dan b, kita mengenal dua metode, yaitu :
a.
Metode Jajaran Genjang
a + b diperoleh dari diagonal jajaran genjang yang dibentuk oleh a dan b ,
setelah titik awal di tempatkan berimpit
b.
Metode Segitiga.
a + b diperoleh dengan menempatkan titik awal salah satu vektor pada ujung
vektor yang lainnya
Vektor
Operasi-Operasi Pada Vektor.
b. Perkalian skalar.
Jika λ suatu skalar bilangan riil, a suatu vektor maka perkalian skalar λa
menghasilkan suatu vektor yang panjangnya │λ│kali panjang a. dan arahnya sama
dengan a.
Susunan koordinat ruang n (Rn)
a. Ruang Berdimensi Satu
Setiap bilangan riil dapat diwakili oleh sebuah titik pada suatu garis lurus yang
membentuk susunan koordinat di dalam ruang berdimensi satu.
b. Ruang Berdimensi Dua (R2)
Setiap pasangan bilangan riil dapat diwakili oleh sebuah titik pada suatu bidang rata,
yang membentuk susunan koordinat didalam ruang berdimensi dua.
Susunan koordinat ruang n (Rn)
c. Ruang Berdimensi Tiga
Setiap tripel bilangan riil dapat diwakili oleh sebuah titik didalam ruang berdimensi tiga
(R3), dengan membentuk suatu susunan koordinat, yaitu mengambil tiga garis lurus
(tidak sebidang) yang berpotongan dititik awal 0. Masing-masing garis disebut sumbu
koordinat.
Contoh : gambar titik A (2,3,1) ∈ R3
Vektor didalam ruang n (Rn)
Untuk Rn berlaku :
a. Vektor posisi dari titik A(a1, a2, a3, …,an).
adalah OA=( a1, a2, a3, …,an).
b. Vektor bertitik awal di P(p1, p2, p3, …,pn) dan bertitik ujung di Q(q1, q2, q3, …,qn).
adalah PQ =( q1-p1,q2-p2,q3-p3,…qn-pn).
c. Panjang vektor a = (a1, a2, a3, …,an).
adalah
a  a12  a22  a32  ...  an2
dan panjang PQ adalah
pq  (q1  p1 ) 2  (q2  p2 ) 2  ...  (qn  pn ) 2
Vektor didalam ruang n (Rn)
d. Vektor-vektor satuan dari susunan koordinat adalah
e1=(1,0,...,1), e2 = (0, 1, …,0,) … , en = (0, 0, …,1).
e. Penjumlahan vektor a=( a1, a2,…,an) b=( b1, b2,…,bn).
a + b = ((a1+b1), (a2+b2), (a3+b3), …, (an+bn)).
f. Perkalian vektor a = (a1, a2, a3, …,an) dengan skalar λ berlaku λa = λ(a1, a2, a3, …,an)
atau λa = λa1, λa2, λa3,…, λan.
Contoh :
a = (2, -1, 3, 1) dan b = (3, 4, -2, 5) є R4.
a + b = (2+3, -1+4, 3+(-2), 1+5).
a + b = (5, 3, 1, 6).
3a–2b=(3.2,3(-1),3.3,3.1) – (2.3, 2.4,2(-2),2.5) = (0,-11,13,-7)
Latihan
1. Jika a = [1,0,2]T , b = [-1,2,0]T , hitunglah (a – b)/2
2. Tentukan panjang vektor a dari soal no 1
3. Tentukan panjang vektor b dari soal no 1
4. Tentukan jarak ab dari soal no 1
Dalil pada operasi vektor
Beberapa dalil pada operasi vektor
Untuk setiap vektor a=( a1, a2,…,an), b=( b1, b2,…,bn), c = (c1, c2,…,cn) є Rn dan λβ
adalah skalar berlaku.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
a + b = b + a (Komutatif).
(a + b) + a = a + (b + c) (Assosiatif).
λ (a + b) = λa + λb (Distributif).
a + 0 = a.
a + (-a) = 0.
(λβ)a = λ(βa) = βλa.
(λ + β) a = λa + βa.
Dot produk
Definisi: Dot matriks dari a dan b, ditulis a.b adalah suatu skalar
a.b   a b cos
(a.b)
cos 
ab
Misal vektor a dan b ≠ 0. Proyeksi a dan b adalah potongan garis A’B’ = AC
AC  a cos
AC 
ab
b
cos
( a.b)
AC 
b
Dimana (a.b) = a1.b1 + a2.b2 + a3.b3 + … + an.bn.
Dot produk
Contoh :
Diketahui vektor a = (2, 1, 3, -1) dan b = (1, 2, 1, 1) є Rn.
Tentukanlah :
a. │a│,│b│,│ab│
b. Besar sudut antara a dan b.
c. Proyeksi a pada b.
Jawab :
a  4  1  9  1  15
b  1 4 11  7
a.b  1  1  4  4  10
a.b   a b cos
cos 
(a.b)
ab
cos 
2  2  3 1
6

105
105
15 7
AC 
(a.b) 6

7
b
7
Latihan
Contoh :
Diketahui vektor a = (1, 2, 0, -1) dan b = (1, 0, 1, 1) є Rn.
Tentukanlah :
a. │a│,│b│,│ab│
b. Besar sudut antara a dan b.
c. Proyeksi a pada b.
Persamaan garis lurus pada bidang rata
Suatu garis lurus akan tertentu jika diketahui 2 titik pada garis tersebut. Pandang R3.
Misal titik A(a1, a2, a3, ) dan B(a1, a2, a3) terletak pada garis lurus gs
Maka OA = (a1, a2, a3), OB = (b1, b2, b3) dan AB = (b1-a1, b2-a2, b3-a3).
Untuk setiap titik sebarang x(x1, x2, x3). Pada gs berlaku Ax =λAB (-∞<λ <∞).
OX = OA + λAB
(x1, x2, x3,) = (a1, a2, a3) + λ (b1-a1, b2-a2, b3-a3)
Secara Umum Untuk Ruang n (Rn).
1. Persamaan Vektoris Garis Lurus.
A = (a1, a2,…,an)
B = (b1, b2,…,bn).
(x1,x2,…,xn) = (a1,a2,…,an) + λ(b1-a1,b2-a2,..,bn-an).
2. Persamaan Parameter.
x1 = a1 + λ(b1-a1).
x2 = a2 + λ(b2-a2).
x3 = a3 + λ(b3-a3).
………
xn = an+ λ(bn-an).
3. Persamaan Linier
xn  an
x1  a1 x2  a2 x3  a3


 ... 
b1  a1 b2  a2 b3  a3
bn  an
Secara Umum Untuk Ruang n (Rn).
Contoh :
Persamaan garis melalui titik a=(2,1,3,-1) dan b=(3,4,-1, 2)єR4.
Tentukanlah :
a. Persamaan vektor garis lurus.
b. Persamaan parameter.
c. Persamaan linier.
Jawaban :
a. (x1, x2, x3,…,xn ) = (2, 1, 3, -1) + λ(1, 3, -4, 3)
b. x1 = 2 + λ
x2 = 1 + 3λ
x3 = 3 - 4λ
x4 = -1 + 3λ
c.
x2  1 x3  3 x4  1
x1  2 
3

4

3
Review
1.
Tentukan nilai p dan q yang memenuhi det A = det B
A
B 
2.
p
1
2
q
0
1
1
7
0
0
p 1
2
0
0
0
2
1
3
2
1
0
2
1
3
0
0
2
5
0
0
0
3
Cari nilai p yang memenuhi D = 30
p
p
2
1
0
1
1
0
0
0
p2
1
0
0
0
2
3. selesaikan SPL dengan eliminasi gauss
3x + y – 2z = 7
5x – 2y – 3z = 4
2x + 2y + 3z = 3