Transcript BAB 1 ANALISIS VEKTOR

BAB I ANALISIS VEKTOR
1.1 SKALAR DAN VEKTOR
 Skalar
•
•
Hanya mempunyai besar
Contoh : massa, volume, temperatur, energi
Vektor
•
•
Mempunyai besar dan arah
Contoh : gaya, kecepatan, percepatan
Medan
•
•
Besarnya tergantung pada posisinya dalam ruang
Contoh : EP = m g h
Medan
•
•
skalar
vektor
Besar dan arahnya tergantung pada posisinya dalam ruang
Contoh : F = 2 xyz ax – 5 (x + y + z) az
1.2 ALJABAR DAN PERKALIAN VEKTOR
 Penjumlahan dan Pengurangan Vektor
• Metoda jajaran genjang
• Metoda poligon
B
C=A+B
D = A – B = A + (- B)
A
A
-B
C=A+B
D=A-B
B
A
 PERKALIAN TITIK
HASILNYA SKALAR
Proyeksi B pada A
A
A  B  A B cos AB
 B A cos AB  B  A
AB
B
Proyeksi A pada B
 PERKALIAN SILANG
HASILNYA VEKTOR
A  B  A B sin AB a N   B  A
A
AB
B
AB
aN = vektor satuan yang tegak lurus pada
bidang yang dibentuk oleh vektor-vektor A
dan B (arahnya sesuai dengan aturan ulir
tangan kanan)
1.3 SISTEM KOORDINAT KARTESIAN
 Titik
• dinyatakan dengan 3 buah koordinat x, y dan z
P(x, y, z)
• Contoh : P(1, 2, 3)
Q(2, - 2, 1)

Vektor
• dinyatakan dengan tiga buah vektor satuan ax, ay dan az
• Contoh : r = x + y + z = x ax + y ay + z az
• vektor posisi dari sebuah titik dalam ruang
• VEKTOR POSISI
r P  a x  2a y  3a z
r P  2a x  2a y  a z
• Vektor antara 2 titik
R PQ  r P  r Q  (2  1)a x  (2  2)a y  (1  3)a z
 a x  4a y  2a z
Titik asal 
 Bidang


O(0, 0, 0)
x = 0 (bidang ZOY)
y = 0 (bidang ZOX)
z = 0 (bidang XOY)
* ELEMEN LUAS (VEKTOR)
 DY DZ AX  DX DZ AY
 DX DY AZ
* ELEMEN VOLUME (SKALAR)
DX DY DZ
 PERKALIAN TITIK DALAM SISTEM KOORDINAT KARTESIAN
A  Ax a x  Ay a y  Az a z
B  B x a x  B y a y  Bz a z
A  B  A B cos A, B
A  A A A
2
x
2
y
2
z
B  B B B
2
x
2
y
2
z
aB 
B
B
cos 0o  1 cos 90o  0
ax  ax 1 ay  ay 1 az  az 1
ax  ay  ay  ax  0 ax  az  az  ax  0 ay  az  az  ay  0
A  B  A x B x  A y B y  A z Bz
• PROYEKSI VEKTOR A PADA VEKTOR B
A
(A  a B )a B
AB
B
Proyeksi A pada B
CONTOH SOAL 1.1
DIKETAHUI TIGA BUAH TITIK A(2, 5, - 1), B(3, - 2, 4) DAN C(- 2, 3, 1). TENTUKAN :
A). RAB  RAC
B). SUDUT ANTARA RAB DAN RAC
C). PROYEKSI VEKTOR RAB PADA RAC
Jawab :
R AB  a x  7a y  5a z R AC  4a x  2a y  2a z
R AB  R AC  (1)( 4)  (7)( 2)  (5)( 2)  20
R AB  1  49  25  8,660
cos  
a AC 
R AC  16  4  4  4,899
R AB  R AC
20

 0,471    61,9o
R AB R AC (8,660)(4,899)
R AC  4 a x  2 a y  2 a z

  0,816 a x  0,408 a y  0,408 a z
R AC
4,899
Proyeksi RAB pada RAC :
(R AB  a AC )a AC  [(1)( 0,816)  (7)( 0,408)  (5)(0,408)]a AC
 4,08(0,816a x  0,408a y  0,408a z )
 3,330a x  1,665a y  1,665a z )
 PERKALIAN SILANG DALAM SISTEM KOORDINAT KARTESIAN
A  Ax a x  Ay a y  Az a z
B  B x a x  B y a y  Bz a z
A  B  A B sin  AB a N  B  A
A
AB
sin 0o  0 sin 90o  1
B
ax  ax  0 ay  ay  0 az  az  0
a x  a y  a z  a y  a x
a x  a z  a y  a z  a x
AB
a y  a z  a x  a z  a y
A  B  ( A y B z  A z B y ) a x  ( A z B x  A x B z )a y  ( A x B y  A y B x )a z
ax
ay
az
A  B  Ax Ay Az
B x B y Bz
CONTOH SOAL 1.2 :
SEBUAH SEGITIGA DIBENTUK OLEH A(2, - 5, 1), B(- 3, 2, 4) DAN C(0, 3, 1). TENTUKAN :
A). RBC  RBA
B). LUAS SEGITIGA ABC
C). VEKTOR SATUAN YANG TEGAK LURUS PADA BIDANG SEGITIGA
Jawab :
R AB  1  49  25  8,660
ax
R BC  R BA  3
ay
az
1
3
R AC  16  4  4  4,899
5 7 3
 [(1)( 3)  (3)( 7)] a x  [(3)( 3)  (3)(5)] a y  [(3)( 7)  (1)(5)] a z
 24a x  6 a y  26 a z
 ABC 
aN 
R BC  R BA
2
 24 a x  6 a y  16 a z
35,888
242  62  262 35,888


 17,944
2
2
  0,669 a x  0,167 a y  0,725 a z
1.4 SISTEM KOORDINAT SILINDER
 Titik
• dinyatakan dengan 3 buah koordinat ,  dan z
P(, , z)
 Transformasi sistem koordinat
Silinder  Kartesian
x   cos 
Kartesian  Silinder
  x2  y2
y   sin 
  tg 1
zz
zz
y
x
CONTOH SOAL 1.3 :
DIKETAHUI TITIK-TITIK A(2, 3, - 1) DAN B(4, - 50O, 2). HITUNG JARAK
DARI A KE B.
JAWAB :
UNTUK MENENTUKAN JARAK DARI A KE B, TITIK B HARUS TERLEBIH
DAHULU DINYATAKAN DENGAN SISTEM KOORDINAT KARTESIAN.
x =  cos  = 4 cos (–50o)
= 2,571
y =  sin  = 4 sin (–50o)
= - 3,064
z = z=2
R AB  (2,571  2)a x  ( 3,064  3)a y  (2  1)a z
 0,571a x  6,064a y  3a z
R AB  (0,571) 2  ( 6,064) 2  32  6,79
Silinder  Kartesian
 VEKTOR
DINYATAKAN DENGAN TIGA BUAH VEKTOR SATUAN
a, a, az
 A  A a   A a   A z a z
Vektor satuan dalam arah  dan  tergantung pada posisinya di dalam ruang
 Transformasi vektor
Silinder  Kartesian
a
a
ax
cos 
- sin 
az
0
ay
az
sin 
0
cos 
0
0
1
Horisontal : a x  cos  a   sin  a 
Vertikal :
a   cos  a x  sin  a y
CONTOH SOAL 1.4 :
NYATAKAN VEKTOR
R  4a x  2a y  4a z
DALAM SISTEM KOORDINAT SILINDER DI TITIK
A(2, 3, 5).
JAWAB :
TERLEBIH DAHULU DILAKUKAN TRANSFORMASI KOORDINAT
UNTUK MENGHITUNG SUDUT  DI TITIK A, YAITU :
  tg 1
ax
ay
az
y
3
 tg 1  56,3o
x
2
a
a
cos  = 0,555 - sin  = - 0,832
sin  = 0,832 cos  = 0,555
0
0
az
0
0
1
R  4(0,555a   0,832a  )  2(0,832a   0,555a  )  4a z
 0,556a   4,438a   4a z
BIDANG

 = KONSTAN (PERMUKAAN
SILINDER)
 = KONSTAN (BIDANG DATAR MELEWATI
SUMBU-Z)
Z
SUMBU-Z)
= KONSTAN (BIDANG DATAR TEGAK LURUS
• ELEMEN LUAS (VEKTOR)
 ddz a 
• Elemen
 dd a 
 dd a z
volume (skalar)
dddz
1.5 SISTEM KOORDINAT BOLA
 Titik
• dinyatakan dengan 3 buah koordinat r, , dan  :
P(r, , )
 Transformasi Koordinat
Bola  Kartesian
Kartesian  Bola
x  r sin  cos 
r  x 2  y2  z2
y  r sin  sin 
  cos 1
z  r cos 
y
  tg
x
1
z
x 2  y2  z2


Contoh Soal 1.5 :
Nyatakan koordinat titik B(1, 3, 4) dalam sistem koordinat
bola.
Jawab :
B(1,3,4)  x  1 y  3 z  4
r  x 2  y 2  z 2  12  32  4 2  5,099
  cos 1
  tg 1
z
x 2  y2  z2
 cos 1
4
 38,3o
5,099
y
3
 tg 1  71,6o
x
1
r  5,099   38,3o
B(5.099, 38,3o ,71,6o )
  71,6o

Vektor
• dinyatakan dengan tiga buah vektor satuan :
ar , a, a
•
 A  Ar a r  A a   A a 
Vektor satuan tergantung pada posisinya di dalam ruang
 Transformasi
ax
ay
az
Vektor
Bola  Kartesian
ar
a
sin  cos  cos  cos 
sin  sin  cos  sin 
cos 
- sin 
a
- sin 
cos 
0
Horisontal : a x  sin  cos  a   cos  cos  a   sin  a 
Vertikal :
a r  sin  cos  a x  sin  sin  a y  cos  a z
Contoh Soal 1.6 :
Sebuah vektor memanjang dari titik A(2, - 1, - 3) ke titik B(1, 3, 4).
Nyatakan vektor tersebut dalam koordinat bola di titik B.
Jawab :
B(1, 3, 4)

 = 38,3o
ar
ax
ay
az
sin  cos 
sin 38,3o cos 71,6o
(0,620)(0,316) = 0,196
sin  sin 
sin 38,3o sin 71,6o
(0,620)(0,949) = 0,588
cos 
cos 38,3o
0,785
 = 71, 6o
a
cos  cos 
cos 38,3o cos 71,6o
(0,785)(0,316) = 0,248
cos  sin 
cos 38,3o sin 71,6o
(0,785)(0,949) = 0,745
- sin 
- sin 38,3o
- 0,620
a
- sin 
- sin 71,6o
- 0,949
cos 
cos 71,6o
0,316
0
R AB  a x  4a y  7a z
 [0,196  4(0,588)  7(0,785)]a r  [0,248  4(0,745)  7(0,629)]a 
 [(0,949)  4(0,316)  7(0)]a z
 7,651a r  1,608a   2,213a z

Bidang  r = konstan (kulit bola)
 = konstan (selubung kerucut)
 = konstan (bidang datar melewati sumbu-z)

Elemen Luas (vektor)
 r 2 sin dd a r

 r sin drd a 
Elemen Volume (skalar)
r 2 sin drdd
 rdrd a 