Transcript Materi Aljabar Linier

RUANG-RUANG VEKTOR
 RUANG N EUCLIDES
 RUANG VEKTOR UMUM
 SUBRUANG
RUANG-RUANG VEKTOR
 Rn adalah himpunan semua n tupel terurut dari
bilangan real.
 Cth:
Ruang Euclides orde n
Operasi-Operasi pada ruang3 vektor Euclides:
 Penjumlahan
u  v  u1  v1 , u 2  v2 , ...,u n  vn 
 Perkalian dengan skalar Riil sebarang (k)
ku  ku1 , ku2 ,...,kun 
 Perkalian Titik
u  v  u1v1  u 2 v2  ...  u n vn
 Panjang vektor didefinisikan oleh :
u  u  u 
1
2
 u1  u 2  ...  u n
2
2
2
 Jarak antara dua vektor didefinisikan oleh :
d u , v   u  v

u1  v1 2  u 2  v 2 2  ...  u n  v n 2
Contoh :
v  2, 2, 1, 1
Diketahui u  1, 1, 2, 3 dan
4
Tentukan panjang vektor dan jarak antara kedua vektor
tersebut
Jawab:
Panjang vektor :
u  u  u 
1
2
 12 12  22  32  15
v  2 2  2 2  12  12  10
Jarak kedua vektor
d u , v   u  v


1  22  1  22  2  12  3  12
 12   12  12  22
 7
Ruang Vektor Umum
Misalkan V adalah himpunan tak kosong.
5
Di V terdapat operasi penjumlahan dan perkalian
dengan skalar.
u , v , w  V dan k, l  Riil
V dinamakan ruang vektor jika terpenuhi aksioma :
1. V tertutup terhadap operasi penjumlahan
Untuk setiap u , v  V maka u  v  V
2.
u v  v u
3.
u  v  w   u  v   w
4. Terdapat 0 V sehingga untuk setiap u V
berlaku u  0  0  u  u
5. Untuk setiap u V terdapat
u   u    u   u  0
 u 
sehingga
6. V tertutup thd operasi perkalian dengan skalar.
Untuk setiap
u V dan k  Riil maka ku  V
7.
k u  v   ku  kv
8.
k  l  u  ku  lu
9.
k l u   l k u   kl  u
10.
1. u  u
Contoh 1:
3
V=R
3
Apakah R dengan operasi standard membentuk ruang
vektor?
Bukti
Ambil sebarang u, v  V
 1)
Maka u+v  V
 2)
Contoh 2:
 Apakah M dengan operasi penjumlahan dan
perkalian biasa pada matriks 2x2 membentuk ruang
vektor?
 Bukti
Contoh lain ruang vektor:
1. Himpunan vektor Euclides dengan operasi standar
(operasi penjumlahan dan operasi perkalian dengan
skalar).
Notasi : Rn (Ruang Euclides orde n)
2. Himpunan matriks berukuran m x n
dengan operasi standar (penjumlahan matriks
dan perkalian matriks dengan skalar),
Notasi : Mmxn (Ruang Matriks mxn)
3. Himpunan polinom pangkat n dengan operasi standar.
Notasi : Pn (Ruang Polinom orde n)
SUBRUANG
10
Misalkan W adl subset dari sebuah ruang vektor V
W dinamakan subruang (subspace) V
jika W dengan operasi yang sama dengan V juga
membentuk ruang vektor.
Atau
W disebut subruang dari V jika memenuhi:
1. W  { }
2. W  V
3. Jika u , v W maka
u v W
4. Jika u  W dan k  Riil maka k u  W
Contoh 1 :
Tunjukan bahwa himpunan W yang berisi semua
matriks orde 2x2 dimana setiap unsur diagonalnya
adalah nol merupakan subruang dari ruang vektor
matriks 2x2
Jawab :
 0 0
 W maka W 
1. O  
 0 0

2. Jelas bahwa W  M 2x2
3. Ambil sembarang matriks A, B  W
Tulis
0
 0 a1 
B  

A  
 b2
 a2 0  dan
b1 

0
Perhatikan bahwa :
 0 a1   0 b1 
  

A  B  
 a2 0   b2 0 
a1  b1 
 0

 
0 
 a2  b2
12
Ini menunjukan bahwa A  B  W
4. Ambil sembarang matriks A  W dan k  Riil
maka
 0 ka1 
  W
kA  
 ka2 0 
Ini menunjukan bahwa kA  W
Jadi, W merupakan Subruang dari M2x2.
Contoh 2 :
Periksa apakah himpunan D yang berisi semua
matriks orde 2x2 yang determinannya nol
merupakan subruang dari ruang vektor M2x2
Jawab :
Ambil sembarang matriks A, B  W
Pilih a ≠ b :
 a b  , jelas bahwa det (A) = 0

A  
 0 0
 0 0  , jelas bahwa det (A) = 0

B  
b a
a b

A B = 
Perhatikan bahwa :
b a
Karena a ≠ b Maka det (A + B ) = a2 – b2 ≠ 0
Jadi D bukan merupakan subruang
karena tidak tertutup terhadap operasi penjumlahan