Transcript vektor 1

VEKTOR

Besaran Skalar dan Besaran Vektor
 Besaran skalar adalah besaran yang hanya memiliki besar
(panjang/nilai)
 Ex: waktu, suhu, panjang, luas, volum, massa
 Besaran Vektor-> memiliki besar dan arah
 Ex: kecepatan, percepatan, gaya, momentum, medan
magnet, medan listrik
 Notasi Vektor
 Ruas garis berarah yg panjang dan arahnya tertentu.
 Vektor dinyatakan dg huruf ū, u, u (bold), atau u (italic).
 Notasi u dibaca “vektor u”
Physics 207: Lecture 2, Pg 1
a
b
Dua vektor sama,
a=b
a
b
a
b
Dua Vektor
mempunyai besar
sama, arah
berbeda
a
b
Dua vektor arah
sama, besaran
beda
Dua Vektor besar
dan arah berbeda
Physics 207: Lecture 2, Pg 2
Penjumlahan vektor
Penjumlahan :
A =B+C
B
C
B
A
C
Physics 207: Lecture 2, Pg 3
Pengurangan

Pengurangan .
B-C
= B + (-1)C
B
B-C
-C
C
B
Physics 207: Lecture 2, Pg 4
Vektor Satuan
Vector satuan : vector yang
memiliki panjang 1 dan tidak
besatuan
 Vektor satuan digunakan untuk
menunjukkan arah.
 Vektor satuan u milik vektor U
dapat ditulis û
Contoh penggunaan vektor satuan
pada S.K Kartesian 3D : [ i, j, k ]
masing2 menunjukkan arah sumbu
x, y dan z.
R = r x i + ry j + r z k
z


U = |U| û
û
y
j
k
i
x
Physics 207: Lecture 2, Pg 5
Penjumlahan vektor melalui komponen2nya:
Misal: U = A + B.
(a) U = (Ax i + Ay j ) + (Bx i + By j ) = (Ax + Bx )i + (Ay + By )j
(b) U = (Ux i + Uy j )



Dimana ,
 Ux = Ax + Bx
 Uy = Ay + By
U
B
By
Besar U
|U| =
Ux U y
2
A
2
Ay
Bx
Ax
Physics 207: Lecture 2, Pg 6
Perkalian Vektor dengan Skalar

mu adalah suatu vektor dg
panjang m kali panjang
vektor u dan searah
dengan u jika m > 0, dan
berlawanan arah jika m <
0.
u
2u
a
Jika u    dan m bilanganreal,
b
 a   m a
m aka: m u  m    
 b   m b
Physics 207: Lecture 2, Pg 7
Sifat-Sifat Operasi Vektor







Komutatif  u + v = v + u
(Buktikan !  PR )
Asosiatif  (u+v)+w = u+(v+w)
(Buktikan !  PR )
Sifat tertutup-> hasil penjumlahan vektor juga berupa
vektor
Ketidaksamaan segitiga |u+v| ≤ |u| + |v| (Buktikan !  PR )
1u = u
0u = 0, m0 = 0.
Jika mu = 0, maka m=0 atau u = 0
Untuk membuktikan, diandaikan saja nilai-nilai u , v , w
misalnya u = 2i +3j ;
v = i -2j ;
Physics 207: Lecture 2, Pg 8
Menghitung Besar Vektor Hasil Penjumlahan dan Pengurangan
dengan metode sudut
v
u+v
| u  v | | u |2  | v |2 2 | u || v | cos 
θ
u
u-v
v
| u  v | | u |2  | v |2 2 | u || v | cos 
θ
u
Physics 207: Lecture 2, Pg 9
Menentukan Arah Vektor Hasil Penjumlahan dan
Pengurangan
v
|uv|
|u|
|v|


sin  sin(   ) sin 
 : arah vektor hasil penjumlahan
u+v
β
α
u
u-v
v
β
α
u
|u v|
|u|
|v|


sin  sin(   ) sin 
 : arah vektor hasil pengurangan
Physics 207: Lecture 2, Pg 10
Hasil Penjumlahan dan Pengurangan melalui
komponen2nya
Penjum lahan
Pengurangan
c
a
Jika u    dan v   
d 
b
a  c   a  c 

u  v        
b   d  b  d 
a
c
Jika u    dan v   
b
d 
a  c   a  c 

u  v        
 b   d  b  d 
| u  v | (a  c)  (b  d )
| u  v | (a  c) 2  (b  d ) 2
2
2
Physics 207: Lecture 2, Pg 11
Dot Product (Inner Product)

Perkalian titik (dot product) u•v (dibaca u dot v) antara dua
vektor u dan v merupakan perkalian antara panjang vektor
dan cosinus sudut antara keduanya.
u  v | u || v | cos

Dalam bentuk komponen vektor, bila u = [u1,u2] dan v = [v1,v2],
maka :
u  v  u1v1u2v2



u•v > 0 jika {γ| 0 < γ < 90o}
u•v = 0 jika {γ| γ = 90o}
u•v < 0 jika {γ| 90o < γ< 180o}
Physics 207: Lecture 2, Pg 12
Besar dan Arah dalam Perkalian Dot Product

Besar Sudut γ dapat dihitung dgn:
uv
u v
cos 

| u || v |
u u v v
Physics 207: Lecture 2, Pg 13
VECTOR
CROSS PRODUCT

Hasil perkalian Dot product adalah skalar. Dlm beberapa aplikasi,
misalkan berkaitan dengan rotasi, diperlukan perkalian vektor

Definisi
Cross Product a x b antaravektora  [a1 , a2 , a3 ] dan b  [b1 , b2 , b3 ]
adalah sebuah vektor
v
v  a  b, length: v  a b sin 
b
a


|v| merupakan luas parallelogram pd gambar di atas.
Arah v = a x b tegaklurus kedua vektor a dan b dan a, b, v
sedemikian sehingga membentuk aturan tangan kanan.
Physics 207: Lecture 2, Pg 14
Aturan tangan kanan v = a x b
a
b
v
Physics 207: Lecture 2, Pg 15
Vektor Product (Cross Product)
Dalam bentuk komponen vektor

v
b
v  [v1 , v2 , v3 ]
 [ a2b3  a3b2 , a3b1  a1b3 , a1b2  a2b1 ]

a
Utk mengingat rumus di atas (ingat rumus determinan matrik)
i
j
a  b  a1 a 2
b1 b 2
i
j
a  b  a1
b1
a2
b2
k
3
k
a3
b3
i
i  j    ijk k
k 1
 ijk  1 if ijk  123,231,312
 ijk  1 if ijk  321,132,213
 ijk  0 if any two indices are alike
j
a3 a1 b2
b3 b1 b2
Physics 207: Lecture 2, Pg 16
Sifat – sifat cross product
Sifat Skalar (q a)  b  q(a  b)  a  (qb)
Sifat Distributif
a  (b  c)  (a  b)  (a  c)
(a  b)  c  (a  c)  (b  c)
Not Com m utative a  c  c  a
( i  j  j  i )
Anti Com m utative b  a  (a  b)
Physics 207: Lecture 2, Pg 17
Konversi/ Perubahan Sistem Koordinat

Pada koordinat polar, vector R = (r,)

Pada koordinat polar, vector R = (rx,ry) = (x,y)

Konversi antara kartesian - polar mengikuti kaidah:
rx  x  r cos 
ry  y  r cos 
R  x ˆi  y ˆj
r  x2  y 2
tan-1 ( y / x )
y
ry
(x,y)
r

rx
x
Physics 207: Lecture 2, Pg 18