Transcript vektor 1
VEKTOR
Besaran Skalar dan Besaran Vektor
Besaran skalar adalah besaran yang hanya memiliki besar
(panjang/nilai)
Ex: waktu, suhu, panjang, luas, volum, massa
Besaran Vektor-> memiliki besar dan arah
Ex: kecepatan, percepatan, gaya, momentum, medan
magnet, medan listrik
Notasi Vektor
Ruas garis berarah yg panjang dan arahnya tertentu.
Vektor dinyatakan dg huruf ū, u, u (bold), atau u (italic).
Notasi u dibaca “vektor u”
Physics 207: Lecture 2, Pg 1
a
b
Dua vektor sama,
a=b
a
b
a
b
Dua Vektor
mempunyai besar
sama, arah
berbeda
a
b
Dua vektor arah
sama, besaran
beda
Dua Vektor besar
dan arah berbeda
Physics 207: Lecture 2, Pg 2
Penjumlahan vektor
Penjumlahan :
A =B+C
B
C
B
A
C
Physics 207: Lecture 2, Pg 3
Pengurangan
Pengurangan .
B-C
= B + (-1)C
B
B-C
-C
C
B
Physics 207: Lecture 2, Pg 4
Vektor Satuan
Vector satuan : vector yang
memiliki panjang 1 dan tidak
besatuan
Vektor satuan digunakan untuk
menunjukkan arah.
Vektor satuan u milik vektor U
dapat ditulis û
Contoh penggunaan vektor satuan
pada S.K Kartesian 3D : [ i, j, k ]
masing2 menunjukkan arah sumbu
x, y dan z.
R = r x i + ry j + r z k
z
U = |U| û
û
y
j
k
i
x
Physics 207: Lecture 2, Pg 5
Penjumlahan vektor melalui komponen2nya:
Misal: U = A + B.
(a) U = (Ax i + Ay j ) + (Bx i + By j ) = (Ax + Bx )i + (Ay + By )j
(b) U = (Ux i + Uy j )
Dimana ,
Ux = Ax + Bx
Uy = Ay + By
U
B
By
Besar U
|U| =
Ux U y
2
A
2
Ay
Bx
Ax
Physics 207: Lecture 2, Pg 6
Perkalian Vektor dengan Skalar
mu adalah suatu vektor dg
panjang m kali panjang
vektor u dan searah
dengan u jika m > 0, dan
berlawanan arah jika m <
0.
u
2u
a
Jika u dan m bilanganreal,
b
a m a
m aka: m u m
b m b
Physics 207: Lecture 2, Pg 7
Sifat-Sifat Operasi Vektor
Komutatif u + v = v + u
(Buktikan ! PR )
Asosiatif (u+v)+w = u+(v+w)
(Buktikan ! PR )
Sifat tertutup-> hasil penjumlahan vektor juga berupa
vektor
Ketidaksamaan segitiga |u+v| ≤ |u| + |v| (Buktikan ! PR )
1u = u
0u = 0, m0 = 0.
Jika mu = 0, maka m=0 atau u = 0
Untuk membuktikan, diandaikan saja nilai-nilai u , v , w
misalnya u = 2i +3j ;
v = i -2j ;
Physics 207: Lecture 2, Pg 8
Menghitung Besar Vektor Hasil Penjumlahan dan Pengurangan
dengan metode sudut
v
u+v
| u v | | u |2 | v |2 2 | u || v | cos
θ
u
u-v
v
| u v | | u |2 | v |2 2 | u || v | cos
θ
u
Physics 207: Lecture 2, Pg 9
Menentukan Arah Vektor Hasil Penjumlahan dan
Pengurangan
v
|uv|
|u|
|v|
sin sin( ) sin
: arah vektor hasil penjumlahan
u+v
β
α
u
u-v
v
β
α
u
|u v|
|u|
|v|
sin sin( ) sin
: arah vektor hasil pengurangan
Physics 207: Lecture 2, Pg 10
Hasil Penjumlahan dan Pengurangan melalui
komponen2nya
Penjum lahan
Pengurangan
c
a
Jika u dan v
d
b
a c a c
u v
b d b d
a
c
Jika u dan v
b
d
a c a c
u v
b d b d
| u v | (a c) (b d )
| u v | (a c) 2 (b d ) 2
2
2
Physics 207: Lecture 2, Pg 11
Dot Product (Inner Product)
Perkalian titik (dot product) u•v (dibaca u dot v) antara dua
vektor u dan v merupakan perkalian antara panjang vektor
dan cosinus sudut antara keduanya.
u v | u || v | cos
Dalam bentuk komponen vektor, bila u = [u1,u2] dan v = [v1,v2],
maka :
u v u1v1u2v2
u•v > 0 jika {γ| 0 < γ < 90o}
u•v = 0 jika {γ| γ = 90o}
u•v < 0 jika {γ| 90o < γ< 180o}
Physics 207: Lecture 2, Pg 12
Besar dan Arah dalam Perkalian Dot Product
Besar Sudut γ dapat dihitung dgn:
uv
u v
cos
| u || v |
u u v v
Physics 207: Lecture 2, Pg 13
VECTOR
CROSS PRODUCT
Hasil perkalian Dot product adalah skalar. Dlm beberapa aplikasi,
misalkan berkaitan dengan rotasi, diperlukan perkalian vektor
Definisi
Cross Product a x b antaravektora [a1 , a2 , a3 ] dan b [b1 , b2 , b3 ]
adalah sebuah vektor
v
v a b, length: v a b sin
b
a
|v| merupakan luas parallelogram pd gambar di atas.
Arah v = a x b tegaklurus kedua vektor a dan b dan a, b, v
sedemikian sehingga membentuk aturan tangan kanan.
Physics 207: Lecture 2, Pg 14
Aturan tangan kanan v = a x b
a
b
v
Physics 207: Lecture 2, Pg 15
Vektor Product (Cross Product)
Dalam bentuk komponen vektor
v
b
v [v1 , v2 , v3 ]
[ a2b3 a3b2 , a3b1 a1b3 , a1b2 a2b1 ]
a
Utk mengingat rumus di atas (ingat rumus determinan matrik)
i
j
a b a1 a 2
b1 b 2
i
j
a b a1
b1
a2
b2
k
3
k
a3
b3
i
i j ijk k
k 1
ijk 1 if ijk 123,231,312
ijk 1 if ijk 321,132,213
ijk 0 if any two indices are alike
j
a3 a1 b2
b3 b1 b2
Physics 207: Lecture 2, Pg 16
Sifat – sifat cross product
Sifat Skalar (q a) b q(a b) a (qb)
Sifat Distributif
a (b c) (a b) (a c)
(a b) c (a c) (b c)
Not Com m utative a c c a
( i j j i )
Anti Com m utative b a (a b)
Physics 207: Lecture 2, Pg 17
Konversi/ Perubahan Sistem Koordinat
Pada koordinat polar, vector R = (r,)
Pada koordinat polar, vector R = (rx,ry) = (x,y)
Konversi antara kartesian - polar mengikuti kaidah:
rx x r cos
ry y r cos
R x ˆi y ˆj
r x2 y 2
tan-1 ( y / x )
y
ry
(x,y)
r
rx
x
Physics 207: Lecture 2, Pg 18