Transcript DIFERENSIAL VEKTOR

OLEH: NURUL SAILA
PROGRAM STUDI TEKNIK ELEKTRO
FAKULTAS TEKNIK UPM PROBOLINGGO
Senin, 28 Nopember 2011
Selasa, 29 Nopember 2011
Definisi:
Turunan fungsi f adalah fungsi lain f’ yang
nilainya pada sebarang bilangan x adalah:
f’(x) = lim∆𝑥→0
𝑓 𝑥+∆𝑥 −𝑓(𝑥)
∆𝑥
asalkan limit ini ADA
Jika limit ini ada, maka dikatakan f
terdiferensialkan (terturunkan)
1.
2.
3.
Jika f(x) = 13x-6, carilah f’(x)
Jika f(x) = 1/x, carilah f’(x)
Jika f(x) = x, carilah f’(x)

Misal R(u) sebuah vektor yg bergantung pd
sebuah variabel skalar tunggal u. Maka:
∆𝑅 𝑅 𝑢 + ∆𝑢 − 𝑅(𝑢)
=
∆𝑢
∆𝑢

Turunan biasa dari R(u) adalah:
𝑑𝑅
∆𝑅
𝑅 𝑢 + ∆𝑢 − 𝑅(𝑢)
= lim
= lim
𝑑𝑢 ∆𝑢→0 ∆𝑢 ∆𝑢→0
∆𝑢
jika limit ini ada.



Bila R(u) adalah vektor kedudukan r(u) yg
menghubungkan titik asal O dari suatu sistem
koordinat dan sebarang titik (x, y, z), maka:
r(u)= x(u)i+y(u)j+z(u)k
Bila u berubah, titik terminal r menggambarkan
sebuah kurva ruang yg memiliki persamaanpersamaan parameter: x = x(u), y = y(u), z = z(u)
Maka
adalah sebuah vektor
yg
∆𝑟 𝑟 𝑢 + ∆𝑢 − 𝑟(𝑢)
=
∆𝑢
∆𝑢
searah dg Δr

Jika lim ∆𝑟 = 𝑑𝑟 𝑎𝑑𝑎, maka limitnya akan berupa
∆𝑢→0 ∆𝑢
𝑑𝑢
sebuah vektor yg searah dg arah garis
singgung pd kurva ruang di (x, y, z), yaitu:
𝑑𝑟 𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑧
=
𝑖+
𝑗+
𝑘
𝑑𝑢 𝑑𝑢
𝑑𝑢
𝑑𝑢


𝑑𝑟
𝑑𝑢
Bila u adalah waktu t, maka
men yatakan
kecepatan v, dimana titik terminal r
menggambarkan kurvanya.
𝑑𝑣 𝑑 2 𝑟
Dengan cara yg sama
menyatakan
= 2
𝑑𝑡 𝑑𝑡
percepatan a sepanjang kurva
1.
Diketahui R = sint i+cost j+tk. Carilah:
𝑑𝑅
𝑎)
𝑑𝑡
2.
𝑑2 𝑅
𝑏)
𝑑𝑡 2
𝑑𝑅
𝑐)
𝑑𝑡
𝑑2 𝑅
𝑑)
𝑑𝑡 2
Sebuah partikel bergerak sepanjang sebuah
kurva yg persamaan parameternya adalah x =e-t,
y = 2 cos 3t, z=2 sin 3t, dimana t adalah waktu.
(a) tentukan kecepatan dan percepatannya pd
sebarang saat (b) Carilah besar dari kecepatan
dan percepatan pd t = 0.
OLEH: NURUL SAILA
PROGRAM STUDI TEKNIK ELEKTRO
FAKULTAS TEKNIK UPM PROBOLINGGO
Senin, 5 Dosember 2011
Selasa, 6 Desember 2011
1.
2.
a)
b)
Sebuah partikel bergerak sepanjang kurva
x=2t2, y = t2-4t, z=3t-5, dimana t adalah
waktu. Carilah komponen-komponen
kecepatan dan percepatannya pd saat t=1
dlm arah i-3j+2k.
Diketahui persamaan kurva: x=t2+1, y=4t3, z=2t2-6t.
Carilah vektor singgung satuan pd sebarang
titik thd kurva tsb.
Tentukan vektor singgung satuan ini pd titik
dimana t=2.
Jika A, B dan C adalah fungsi-fungsi vektor dr
sebuah skalar u yg diferensiabel dan  sebuah
fungsi skalar dr u yg diferensiabel, maka:
1.
d
du
A+B =
2.
𝑑
𝑑𝑢
𝐴. 𝐵 = 𝐴.
3.
d
du
4.
𝑑
𝑑𝑢
AxB =
𝐴 =
dA
du
+
𝑑𝐵
𝑑𝑢
dB
Ax
du
𝑑𝐴
 𝑑𝑢
+
dB
du
+
𝑑𝐴
𝑑𝑢
.𝐵
+
dA
du
xB
𝑑
𝑑𝑢
𝐴
Jika A, B dan C adalah fungsi-fungsi vektor dr
sebuah skalar u yg diferensiabel dan  sebuah fungsi
skalar dr u yg diferensiabel, maka:
𝑑
𝑑𝐶
𝑑𝐵
𝑑𝐴
5. 𝑑𝑢
𝐴. 𝐵𝑥𝐶 = 𝐴. 𝐵𝑥
+ 𝐴.
𝑥𝐶 +
. 𝐵𝑥𝐶
𝑑𝑢
𝑑𝑢
𝑑𝑢
6.
𝑑
𝑑𝑢
𝐴𝑥 𝐵𝑥𝐶
= 𝐴𝑥 𝐵𝑥
𝑑𝐶
𝑑𝑢
+ 𝐴𝑥
𝑑𝐵
𝑑𝑢
𝑥𝐶 +
𝑑𝐴
𝑑𝑢
𝑥(𝐵𝑥𝐶)
1.
Jika A=5t2 i+tj-t3k dan B=sint i-cost j,
carilah:
𝑑
𝑎
𝐴. 𝐵
𝑑𝑡
2.
(a)
(b)
(c)
𝑑
𝑏
𝐴𝑥𝐵
𝑑𝑡
𝑑
𝑐
(𝐴. 𝐴)
𝑑𝑡
Vektor kedudukan dari sebuah partikel yg
bergerak diberikan oleh r=cos t i+sin t j,
dimana  konstan. Tunjukkan bahwa:
kecepatan (v) dr partikel tegaklurus r.
arah percepatan menuju ke titik asal.
rxv = vektor konstan.
ASSALAMU’ALAIKUM
WAROHMATULLOHI WABAROKATUH
NURUL SAILA
PROGRAM STUDI TEKNIK ELEKTRO
FAKULTAS TEKNIK UPM PROBOLINGGO
Senin, 5 Desember 2011
Selasa, 6 Desember 2011