Transcript vektor 02 xii ipa

PENDAHULUAN
PEMBAGIAN RUAS GARIS
HASIL KALI SKALAR VEKTOR
SUDUT ANTARA DUA VEKTOR
PROYEKSI ORTHOGONAL
LATIHAN SOAL-SOAL
PENUTUP
1
SD
SMA
SMP
MGMP MATEMATIKA
SKKK JAYAPURA
Kami mohon Donasi dari saudara-saudara sekalian agar blog ini tetap
Eksis untuk membantu saudara-saudara sekalian agar dapat
mengakses materi bahan ajar atau soal-soal dan lainnya dalam bentuk
“POWERPOINT” silahkan salurkan lewat rekening Bank MANDIRI atas
nama HENDRIK PICAL,A.Md,S.Sos dengan No. ac Bank
1540004492181. dan konvirmasi lewat No. HP. 081248149394. Terima
Kasih.
Setelah menyaksikan
tayangan ini Anda dapat
Menggunakan rumus
Perbandingan vektor,
menentukan
hasil kali skalar dua vektor
& sudut antara dua vektor
4
Pembagian Ruas Garis
Titik P membagi ruas garis AB
dengan perbandingan m : n
m

A
n

P
AP : PB = m : n

B
5
• Bila P di dalam AB, maka AP
dan
• PB mempunyai arah yang
sama,
• sehingga m dan n tandanya
sama
6
Bila P di luar AB,
maka AP dan PB mempunyai arah
yang berlawanan,
sehingga m dan n tandanya
berbeda
m

A

B
-n
AP : PB = m : (-n)

P
7
Contoh :
Ruas garis PQ dibagi menjadi
lima bagian yang sama
oleh titik-titik A, B, C, dan D.
Hitunglah nilai-nilai perbandingan
a. PA : PD
b. PB : BQ
c. AQ : QD
d. AC : QP
8
Jawaban:

P

A

B

C

D

Q
a. PA : PD = 1 : 4
b. PB : BQ = 2 : 3
c. AQ : QD = 4 : (-1)
d. AC : QP = 2 : (-5)
9
Pembagian Dalam Bentuk Vektor
B
b
n
P
m
p
A
a
O
p
m.b  n.a
m n
a , b dan p berturut-turut adalah
vektor posisi titik
A, B dan P.
Titik P membagi
garis AB dengan
perbandingan
m : n, maka
vektor p = ….
10
Contoh 1
B
b
1
P
3
p
A
a
3b  a
31
1
4
p
3
p  4b a
O
a , b dan p berturut-turut adalah
vektor posisi titik
A, B dan P.
Titik P membagi
garis AB dengan
perbandingan
3 : 1, maka
vektor p = ….
11
Contoh 2
Titik P membagi ruas garis AB di luar
dengan perbandingan AP : PB = 9 : 4
Jika titik A(4,3,1) dan B(-6,8,1),
maka koordinat titik P adalah….
Jawab:
AP : PB = 9 : (-4), karena P di luar AB
9b  ( 4 ) a
maka
9 4
p
12
p
9b  4 a
5
  6


p  95  8  
1
 
p  b a
9
5

 4



4
p

3




5

1
 

4
5
54  16
5
72  12
5
94
5





  14


p   12  Jadi titik P adalah (-14,12,1)
 1 


13
Contoh 3
P adalah titik (-1,1,3), Q adalah (2,0,1)
dan R adalah(-7,3,7). Tunjukan bahwa
P, Q dan R segaris (kolinear), dan
Tentukan perbandingan dari PQ : QR
Jawab:
 2    1
   
0   1  

PQ = q – p =    
1  3 
  7  2
   
QR = r – q =  3    0  
 7  1
   
3
 
 1
  2
 
  9
 
3
6
 
14
PQ = q – p =
QR = r – q =
3
 
 1
  2
 
  3
  9
 
 
 3   3 1 
2
6
 
 
QR = 3PQ,
terbukti P, Q dan R segaris dengan
perbandingan PQ : QR = 1 : 3
15
Contoh 4
Titik A(3,2,-1), B(1,-2,1) dan
C(7,p -1,-5) segaris untuk nilai p =….
Jawab:
Segaris: AB = kBC  b – c = k(c – b)
 7   1 
 1  3
   
  

  2    2   k  p  1    2 
 1    1
  5   1 

   
  

16
 7   1 
 1  3
   
  

  2    2   k  p  1    2 
 1    1
  5   1 

   
  

  2
 6 
 


  4   k  p  1 
 2 
 6 
 


◘ -2 = 6k  k = -⅓
◘ -4 = k(p + 1)
17
◘ -4 = k(p + 1)
-4 = - ⅓(p + 1),
ruas kiri & kanan di kali -3
12 = p + 1
Jadi p = 11
18
Hasil Kali Skalar
Dua Vektor
19
Hasil Kali Skalar Dua Vektor
Definisi:
b

a.b = |a||b|cos
 adalah sudut
a
antara vektor a
dan b
20
Contoh 1
Jika |a| = 4, |b| = 6.
sudut antara kedua
vektor 60.
maka a.b = ….
Jawab:
a.b = |a||b|cos
60
|a| = 4
= 4.6. cos 60
= 24.½ = 12
21
Contoh 2
|b| = 2
|a| = 5
Jika |a| = 5, |b| = 2.
sudut antara kedua
vektor 90.
maka a.b = ….
Jawab:
a.b = |a||b|cos
= 5.2. cos 90
= 10.0 = 0
22
Jika a = a1i +a2j + a3k dan
b = b1i + b2j +b3k maka
Hasil Kali Skalar Dua Vektor
dirumuskan dengan
a.b =a1b1 + a2b2 + a3b3
23
Contoh 1
Jika a = 2i + 3j + k dan
b = 5i -j + 4k maka
hasil kali skalar a.b = ....
Jawab: a.b = a1b1 + a2b2 + a3b3
= 2.5 + 3.(-1) + 1.4
= 10 – 3 + 4
= 11
24
Contoh 2
Jika a = 2i + 3j + k dan
b = 5i -j + 4k maka
hasil kali skalar b.a = ....
Jawab: b.a = b1a1 + b2a2 + b3a3
= 5.2 + (-1).3 + 4.1
= 10 – 3 + 4
= 11
25
Sifat-sifat Perkalian Skalar
a.b = b.a
k(a .b) = ka.b = kb.a
a.a = |a|²
a.(b ± c) = a.b ± a.c
a.b = 0 jika dan hanya jika a  b
26
Contoh 1
Jika a = -2i + 3j + 5k ,
b = 3i -5j + 4k dan
c = -7j + k
maka a(b – c) = ....
Jawab: a.(b – c) = a.b – a.c
a.b = (-2)3 + 3(-5) + 5.4
= -6 – 15 + 20
= -1
27
a = -2i + 3j + 5k , b = 3i -5j + 4k
c=
-7j + k
a.(b – c) = a.b – a.c
a.b = -1
a.c = (-2).0 + 3(-7) + 5.1
= 0 – 21 + 5
= -16
a.b – a.c = -1 – (-16) = 15
Jadi a.(b – c) = 15
28
Contoh 2
Jika vektor a dan b membentuk
sudut 60 , |a| = 4, dan |b| = 3,
maka a.(a + b) = ….
Jawab:
a.(a + b) = a.a + a.b
= |a|² + |a|. |b| cos 60
= 16 + 12.½
= 16 + 6 = 22
29
Contoh 3
  6
0
Dua vektor u =   dan v =  
3
x
  2
  3
 
 
saling tegak lurus. Nilai x yang
memenuhi adalah….
Jawab: u  v  u.v = 0   6   0 
 
3
  2
 
 
x=0
  3
 
30
u  v  u.v = 0
  6
 
3
  2
 
0
 
x
  3
 
=0
(-6).0 + 3.x + (-2)(-3) = 0
0 + 3x + 6 = 0
3x = -6 . Jadi x = -2
31
Contoh 4
Dua vektor a
2
=   1
2
 
dan b =
4
 
 10 
  8
 
dan vektor (a + m.b) tegak lurus.
vektor a. Nilai m adalah….
Jawab: (a + mb)  a
 (a + mb).a = 0
32
2
 
a =   1
2
 
4
 
dan b =  10 
  8
 
(a + mb).a = 0 → a.a + mb.a = 0
a2 + m(b.a) = 0
(9)2 + m(8 – 10 – 16) = 0
9 - 18m = 0 → m = - ½
33
Dengan rumus hasil kali skalar
dua vektor, kita dapat menentukan
besar sudut antara dua vektor.
Dari a.b = |a||b|cos, kita peroleh
a.b
cos 
ab
34
Contoh 1
Tentukan besar sudut antara
vektor a = 2i + j - 2k dan
vektor b = -j + k
a.b
cos 
Jawab:
ab
cos 
2.0  1.(1)  (2).1
2 2  12  (2) 2 . (1) 2  12
35
cos 
cos 
cos 
2.0  1.(1)  (2).1
2 2  12  (2) 2 . (1) 2  12
3
3
 cos 
3 2
9. 2
1
x 2  2
2
2
2
cos = -½2
Jadi  = 135
36
Contoh 2
Diketahui titik-titik A(3,2,4), B(5,1,5)
dan C(4,3,6). AB wakil dari u dan
AC wakil dari v . Kosinus sudut
yang dibentuk oleh vektor u dan v
adalah….
Jawab: misal sudut antara u
dan v adalah 
37
u = AB = b – a =
v = AC = c – a =
 5  3  2 
     
 1  -  2     1
 5  4  1 
     
 4  3 1
     
 3 -  2  1
 6  4  2
     
u.v
cos(u,v) = cos 
uv
38
1
2
 
 
u    1 dan v   1 
 2
1
 
 
u.v
2.1  (1).1  1.2
cos 

2
2
2
2
2
2
uv
2  (1)  1 . 1  1  2
3
3
1
cos 
  cos 
2
6. 6 6
Jadi kosinus sudut antara u dan v = ½
39
Contoh 3
Diketahui |a|=2 ;|b|=3, dan
b.(a + b) =12. Besar sudut antara
vektor a dan b adalah….
Jawab: b.(a + b) =12
b.a + b.b = 12
|b|.|a| cos (a,b) + |b|² = 12
3.2.cos (a,b) + 3² = 12
40
3.2.cos (a,b) + 3² = 12
6.cos (a,b) + 9 = 12
6.cos (a,b) = 12 – 9
6.cos (a,b) = 3
cos (a,b) = ½  (a,b) = 60
Jadi besar sudut antara a dan b
adalah 60
41
Contoh 4
Diketahui |a|=6;(a –b)(a + b) =0
a.(a – b) =3. Besar sudut antara
vektor a dan b adalah….
Jawab: (a – b)(a + b) = 0
a.a + a.b – b.a – b.b = 0
|a|² - |b|² = 0
→ |a|² = |b|² → |a| = |b| = 6
42
a.(a – b) = 3
a.a + a.b = 3
|a|² + |b|.|a| cos (a,b)= 3
6 + 6.6.cos (a,b) = 3
6 - 6.cos (a,b) = 3
43
6 - 6.cos (a,b) = 3
- 6.cos (a,b) = 3 – 6
- 6.cos (a,b) = -3
cos (a,b) = ½ → (a,b) = ⅓π
Jadi besar sudut antara vektor a
dan vektor b adalah ⅓π
44
A.


ProyeksiSkalar Ortogonala pada b
A

a
o
θ

c
C
B
 
c  a cosθ

b
13 April 2015
45


a.b
a cosθ   ini berart i
b


a.b
c  
b
13 April 2015
46
B.


PanjangProyeksiVektorOrthogonala pada b
Rumusnya :

 a.b
c 
b


PanjangProyeksiVektorOrthogonala pada b
selalu berupa bilangan real positif
13 April 2015
47
C.


ProyeksiVektororthogonala pada b

Dinotasikan dengan c dan ditentukanoleh


c  P royeksiSkalar . vektorsatuan b at au
 
 a.b
c   2 .b
b


ProyeksiVektororthogonala pada b,
hasilnyaberupa vektor
13 April 2015
48
  

Diketahuia  2 i - 6 j - 3k

  
dan b  4 i  2 j - 4k tentukan:


a. P anjangproyeksia pada b.


b. P royeksiskalar orthogonala pada b.


c. P royeksiskalar orthogonalb pada a.


d. P royeksivektora pada b.
13 April 2015
49
a.


P anjangproyeksia pada b adalah
     

 a.b (2 i - 6 j - 3k).(4i  2 j - 4k
c  
b
4 2  2 2  (4) 2
(2 x 4)  (6 x 2)  (-3 x - 4)

6
13 April 2015
8 - 12  12

6
 8 4
c  
6 3
50
b.
c.

 a.b 4
c  
3
b

 b.a (4 x 2)  (2 x (6))  (4 x (3))
c  
2
2
2
a
2  (6)  (3)
8 - 12  12 8


7
49
 8
c 
7
13 April 2015
51
  

a.b
d.
c   2 .b
b



4 4 i  2 j - 4k
 .
3
6



2
 ( 4 i  2 j - 4k)
9

8 4 8
c 
i 
j- k
9
9
9
13 April 2015
52
1.

Misalkan c adalah proyeksivekt ororthogonal


dari a pada arah vektor b dan p menyatakan

panjangc :
a.
T unjukanbahwa nilai p berada dalam batas
batas
0 p a


b. Jika p  0, sebutkan kedudukan a terhadapb



c. Jika p  a , sebutkan kedudukan a terhadapb.
13 April 2015
53
 b1 
 a1 
  
  
Misalkana   a 2  dan b   b 2 
  
a 
 3
 b3 
 
 a.b

c   2 .b  c 
b
13 April 2015
 a 1   b1 
  
 a 2 . b 2 
a  b 
 3  3 
b1  b 2  b 3
2
2
2
 b1 
 
 b2 
b 
 3
54
 a1b1  a 2 b 2  a 3 b 3
c
2
2
2
2
b1  b 2  b 3
2
 a1b1  a 2 b 2  a 3 b 3
c
2
2
2
b1  b 2  b 3
2
2
2
13 April 2015
2
2
55


b
a
 1  1 


2 

 a 2  b2


 a  2 
  3  b 3 
c
2
 b1 


 b22 
 2
 b3 


2
13 April 2015


 c  a
56

 0p a
13 April 2015
57
b.


Jika p  0 maka kedudukan a pada b


adalah a dan b saling tegak lurus
c.

Jika p  a


maka kedudukan a terhadapb adalah
 
ca
13 April 2015
58
2.
DiketahuititikA(2,3,-1)dan B(-2,-4,3)
  

serta p  4 i - 3 j  k maka:
a.
T entukanproyeksiskalar orthogonal

p pada arah AB
b.
T entukanproyeksivekt ororthogonal

p pada AB
13 April 2015
59

a. Misalkan proyeksiskalar ort hogonalp pada arah AB


 p.AB
adalah c maka c 
dimana
AB
- 2  2    4
     
AB  b - a   - 4    3     7 
 3    1  4 
     

c
 4    4
  
  3 .  7 
1   4 
  
9
 1
16  49  16 9

Jadi P royeksiskalar ort hogonalp pada arah AB adalah 1
13 April 2015
60

b. Misalkan proyeksivektororthogonalp pada arah AB


 p.AB
adalah c maka c 
.AB
2
AB
4



4

4
 
 
9
 9   1   7
c   7   7   9 
81  9    4 
4 
4   9 
13 April 2015
61
13 April 2015
62