Transcript GRADIEN, DIVERGENSI DAN CURL OLEH NURUL SAILA

Orang-orang yang beriman
dan berhijrah serta berjihad
di jalan Alloh dengan harta
dan jiwa mereka, lebih besar
derajadnya di sisi Alloh, dan
mereka itulah orang-orang
yang mendapat kemenangan.
[TQS. AT TAUBAH(9):20]
OLEH
NURUL SAILA
PROGRAM STUDI TEKNIK ELEKTRO
FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS PANCA MARGA
26 DAN 27 DESEMBER 2011
Definisi:
 Operator Diferensial Vektor Del ()
= /x i+ /y j+ /z k
atau
= i /x + j /y + k /z
Operator  disebut juga ‘nabla’
Gradien
Misal (x, y, z) terdefinisi dan diferensiabel pd
setiap titik (x, y, z) dlm suatu daerah tertentu
dari ruang ( medan skalar). Gradien  ditulis:
 atau grad , didefinisikan:
= (/x i+ /y j+ /z k)
= /x i+ /y j+ /z k
 .dr=0, shg  adalah sebuah vektor yg
tegaklurus pd permukaan (x, y, z)= c,
dimana c sebuah konstanta.
 Komponen  dlm arah vektor satuan a
adalah .a
yaitu laju perubahan  pd (x, y, z) dlm arah a.

Contoh:
1. Jika (x, y, z) = 3x2y – y3z2, carilah grad 
() pada titik (1, -2, -1).
2. Carilah normal satuan terhadap permukaan
x2y + 2xz = 4 pada titik (2, -2, 3).
3. Carilah persamaan untuk bidang singgung
terhadap permukaan 2xz2-3xy-4x = 7 pada
titik (1, -1, 2).
4. Carilah turunan berarah dari =x2yz+4xz2
pada (1, -2, -1) dalam arah 2i-j-2k.
5. Carilah sudut antara permukaan-permukaan
x2+y2+z2=9 dan z=x2+y2 -3 pd titik (2, 1, 2)
Definisi:
Misalkan V(x, y, z)= V1 i+ V2 j+ V3 k
terdefinisi dan diferensiabel dlm suatu daerah
tertentu dari ruang (V medan vektor).
Divergensi dari V, ditulis: .V atau div V,
didefinisikan:
. V = (/x i+ /y j+ /z k) . (V1 i+ V2 j+ V3 k)
= (V1/x+ V2/y+ V3/z)
Contoh:
1. Jika A=x2z i – 2y3z2 j +xy2z k , maka carilah
div A (.A) pada titik (1, -1, 1).
2. Diketahui = 2x3y2z4. Carilah:
a. . (div grad )
b. 2
2 = 2/x2 + 2/y2 + 2/z2 disebut
operator Laplacian.
3. Tentukan konstanta a sehingga vektor
V=(x+3y)i+(y-2z)j+(x+az)k adalah
solenoidal [sebuah vektor V adalah
solenoidal jika divergensinya 0].
Definisi:
Jika V(x, y, z) adalah suatu medan vektor yg
diferensiabel maka curl atau rotasi V, ditulis:
curl V atau rot V, didefinisikan:
 x V = (/x i+ /y j+ /z k) x (V1 i+ V2 j+ V3 k)
=
𝑖
𝜕
𝜕𝑥
𝑉1
𝑗
𝜕
𝜕𝑦
𝑉2
𝑘
𝜕
𝜕𝑧
𝑉3
Contoh:
1. Jika A=x2z i – 2y3z2 j +xy2z k , maka carilah
curl A ( x A) pada titik (1, -1, 1).
2. Jika A=x2y i-2xz j+2yz k, carilah curl curl A.
3. Jika  adalah suatu medan skalar dan A
suatu medan vektor, buktikan:
a. Curl grad  = 0
b. Div curl A = 0
1.
2.
3.
Jika A dan B adalah fungsi-fungsi vektor yg
diferensiabel dan  dan  fungsi-fungsi
skalar dari kedudukan (x, y, z) yg
diferensiabel maka:
( + ) =  + 
atau
grad(+)= grad  + grad 
.(A + B) = .A + .B atau
div (A+B)= div A + div B
x(A + B) = x A + x B
atau
curl (A+B) = curl A + curl B
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
.(A) = (). A + (.A)
x(A) = ()x A + (xA)
.(AxB) = B.(x A) – A.(xB)
x(AxB) = (B.)A – B(.A)-(A.)B+A(.B)
(A.B) = (B.)A + (A.)B+B x(xA)+A x(xB)
.() = 2= 2/x2 + 2/y2 + 2/z2
dimana 2= 2/x2+ 2/y2+ 2/z2 disebut
operator laplace
x() = 0 curl dari gradien  adalah 0
.( x A)= 0 divergensi dari curl A adalah 0.
x( x A)=(.A)-2A
SELAMAT BELAJAR
SEMOGA SUKSES
NURUL SAILA