Transcript Computational Magnetohydrodynamics with - ETH E

DISS. ETH NO. 23781
Computational Magnetohydrodynamics
with Discrete Differential Forms
A thesis submitted to attain the degree of
DOCTOR OF SCIENCES of ETH ZURICH
(Dr. sc. ETH Zurich)
presented by
CECILIA PAGLIANTINI
MSc. Mathematical Modelling in Engineering,
Polytechnic University of Turin
born on 20.02.1988
citizen of Italy
accepted on the recommendation of
Prof. Dr. Ralf Hiptmair, ETH Zurich, examiner
Prof. Dr. Blanca Ayuso de Dios, Hamburg University of Technology, co-examiner
Prof. Dr. Siddhartha Mishra, ETH Zurich, co-examiner
2016
Abstract
The equations of magnetohydrodynamics (MHD) model the interaction of conducting fluids with electromagnetic fields, and provide the mathematical description of problems arising in areas as diverse
as plasma physics, astrophysics, and thermonuclear fusion. They comprise balance equations for mass,
momentum and energy, the magneto-quasistatic Maxwell’s equations for the electromagnetic fields, and
material laws. This thesis is devoted to the development and analysis of novel numerical methods for
the MHD problem based on Galerkin schemes for the electromagnetic fields via finite element exterior
calculus (FEEC), coupled with finite volume (FV) schemes for the conservation laws of fluid mechanics.
Finite element exterior calculus relies on discrete differential forms which provide structure-preserving
discretizations by supporting a discrete de Rham cohomology. The magneto-quasistatic model underlying
resistive MHD yields a magnetic advection-diffusion problem for the magnetic potential. We consider the
singular perturbation limit and devise robust numerical discretizations of generalized transient advection
problems for differential forms, through an Eulerian method of lines with explicit time-stepping and
stabilized Galerkin schemes. The spatial approximations include both conforming discrete differential
forms and genuinely discontinuous finite elements, and are designed to accommodate discontinuous
advection velocities which inevitably occur in MHD flows. A priori convergence estimates are established
for Lipschitz continuous velocities, conforming meshes and polynomial finite element spaces of discrete
differential forms. Additionally, we explore an alternative class of numerical schemes for the discretization
of the Lie derivative, built on the duality between the contraction operator and the extrusion of manifolds.
These methods incorporate an upwinding element and deliver discrete advection operators that commute
with the exterior derivative, hence ensuring that closed forms are Lie advected into closed forms. Nonlinear
flux limiters, in the form of residual-based artificial viscosity, are designed to curb the spurious oscillations
resulting from higher order polynomial discretizations.
In the resistive MHD system, the eddy current model with non-vanishing diffusion gives rise to a
parabolic problem in H(curl , Ω). Discretizations with Galerkin schemes, and implicit-explicit (IMEX)
Runge−Kutta time-stepping, entail solving, in each time step, discrete boundary value problems for the
double curl operator. Spatial discretizations with discrete differential forms pave the way for applying
fast iterative solvers, viz. multigrid. For discontinuous Galerkin discretizations, we develop a family of
preconditioners based on an auxiliary space of H(curl , Ω)-conforming finite elements, together with a
smoother. The resulting iterative solvers are shown to be asymptotically optimal in terms of independence
from the mesh width. With particular regard to the case of locally dominant transport, robustness with
respect to jumps in the zeroth- and second-order parts of the operator is shown to hold in almost all
configurations, except when the problem changes from being curl -dominated to reaction-dominated.
The balance laws for the fluid variables can be considered as a system of conservation laws with the
magnetic induction field as a space variable coefficient, supplied at every time step by one of the foregoing
structure-preserving discretizations. The design of finite volume schemes for this extended Euler problem
relies on approximate Riemann solvers, adapted to accommodate the electromagnetic contributions to
the momentum and energy directly entering the fluxes. High order spatial accuracy is achieved via
non-oscillatory reconstruction techniques, such as TVD limiters and (W)ENO-type reconstructions.
A full discretization of the MHD system results from coupling the FEEC-based numerical schemes
for the magnetic advection-diffusion problem with finite volume approximations of the conservation
laws for the fluid. The lowest order fully coupled scheme is tested on a set of benchmark tests for
the two-dimensional planar ideal MHD equations. The method based on extrusion contraction upwind
schemes for the magnetic advection preserves the divergence constraint exactly, and proves first order
accurate for smooth solutions, conservative, and stable.
This research was partly supported by the Swiss NSF Grant No. 146355.
iii
Prefazione
Le equazioni della magnetoidrodinamica (MHD) costituiscono un modello per l’interazione di fluidi
elettricamente conduttori e campi elettromagnetici, e forniscono la descrizione matematica di problemi di
interesse in varie aree quali la fisica del plasma, l’astrofisica e la fusione termonucleare. Comprendono
equazioni di conservazione della massa, della quantità di moto e dell’energia, le equazioni di Maxwell nel
modello delle correnti parassite per i campi elettromagnetici, e le relazioni costitutive. Questa tesi verte
sullo sviluppo e sull’analisi di nuovi metodi numerici per il problema MHD, basati sull’accoppiamento di
schemi di tipo Galerkin, attraverso il finite element exterior calculus (FEEC), per i campi elettromagnetici
e di metodi ai volumi finiti (FV) per le leggi di conservazione della fluidodinamica.
Il finite element exterior calculus si basa su forme differenziali discrete, le quali generano schemi
numerici structure-preserving in quanto compatibili con una coomologia di de Rham discreta. Il modello
magnetostatico alla base del problema MHD porta a un problema di avvezione-diffusione magnetica
per il potenziale magnetico. Nel limite di perturbazione singolare, deriviamo discretizzazioni numeriche
robuste per problemi di avvezione generalizzati a forme differenziali, tramite schemi in tempo espliciti e
schemi di tipo Galerkin con termini di stabilizzazione. Le approssimazioni in spazio includono forme
differenziali discrete conformi e al contempo elementi finiti discontinui, e sono pensate per consentire
velocità discontinue che inevitabilmente si presentano in flussi MHD. Dimostriamo stime di convergenza
a priori per velocità lipschitziane, griglie conformi e spazi polinomiali di forme differenziali discrete.
Inoltre, analizziamo una classe alternativa di schemi numerici per la discretizzatione della derivata di
Lie fondati sulla dualità tra la contrazione di forme e l’extrusion di varietà. Questi metodi incorporano
una componente di upwinding e danno luogo a operatori discreti di avvezione che commutano con la
derivata esterna, assicurando quindi che forme differenziali chiuse vengono trasportate, nel senso della
derivata di Lie, in forme chiuse. Al fine di mitigare le oscillazioni spurie associate a discretizzazioni di
grado polinomiale alto, sviluppiamo flux limiters non lineari sotto forma di viscosità artificiale basata sul
residuo dell’equazione.
Nel problema della magnetoidrodinamica resistiva, il modello magnetostatico con diffusione non nulla dà
origine ad un problema parabolico in H(curl , Ω). Approssimazioni di tipo Galerkin con stabilizzazione e
metodi in tempo di tipo Runge−Kutta implicito-esplicito (IMEX), richiedono la risoluzione, ad ogni passo
di tempo, di problemi ai valori al bordo per l’operatore di doppio curl . Discretizzazioni in spazio con forme
differenziali discrete consentono l’applicazione di solutori iterativi efficienti, come per esempio metodi
multigriglia. Per schemi di tipo Galerkin discontinuo, sviluppiamo una famiglia di precondizionatori
basati su uno spazio ausiliario di elementi finiti in H(curl , Ω) ed uno smoother. Dimostriamo che i
metodi iterativi derivanti sono asintoticamente ottimi in termini di indipendenza dal passo di griglia.
Con particolare riguardo al caso di trasporto localmente dominante, mostriamo che i predetti solutori
sono robusti rispetto a possibili discontinuità dei coefficienti dell’operatore di ordine zero e dell’operatore
di secondo ordine. Questo vale in quasi tutte le configurazioni, fatta eccezione nel caso in cui il problema
cambia da curl -dominante a reazione-dominante.
Le leggi di conservazione della fluidodinamica possono essere considerate come un sistema di equazioni in
cui il campo di induzione magnetica si comporta da coefficiente variabile in spazio ed è fornito, ad ogni
passo di tempo, da una delle precedenti discretizzazioni structure-preserving. Construiamo schemi ai
volumi finiti per il problema di Eulero esteso fondati su solutori di Riemann approssimati, i quali tengono
conto della presenza del contributo elettromagnetico nei flussi delle leggi di conservazione della quantità
di moto e dell’energia. L’impiego di tecniche di ricostruzione non oscillatoria, come TVD limiters e
riconstruzioni di tipo (W)ENO, consente accuratezze di ordine alto.
Deriviamo metodi numerici per l’intero sistema MHD dall’accoppiamento di schemi basati su FEEC per
il problema di avvezione-diffusione magnetica, con approssimazioni ai volumi finiti per le equazioni di
conservazione della fluidodinamica. Verifichiamo le prestazioni dello schema di ordine polinomiale minimo
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così ottenuto tramite una serie di esperimenti standard per le equazioni della magnetoidrodinamica ideale,
in dimensione due e in configurazione planare. Il metodo basato sugli schemi di extrusion contraction
upwind per l’avvezione dei campi magnetici soddisfa il vincolo di divergenza in modo esatto, e si rivela
conservativo, stabile e accurato al primo ordine nel caso di soluzioni lisce.
Questo lavoro di ricerca è stato parzialmente finanziato dal Swiss NSF Grant No. 146355.
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